1. Ratkaise separoituvat differentiaaliyhtälöt
a) y^(-1)*y' y*e^(cos(x))*sin(x) = 0
b) y' = e^(x^2)
2. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä
y' = (x-3)(y 1)^(2/3)
Osoita, että y(x) = -1 on tehtävän ratkaisu. Ratkaise tehtävä yleisesti ja osoita, ettei millään integrointivakion C arvolla saada edelläolevaa ratkaisua. Miten tämä on mahdollista?
3. Pisteitä, joissa lineaarisen differentiaaliyhtälön P(X) termi ei ole määritelty, sanotaan singulaarisiksi. Määrää yhtälön xy' 2y = 3x singulaaripisteet x0 ja ratkaisu alkuehdolla y(x0) = 1. Ratkaise myös tehtävän xy'-2y = 3x singulaaripisteet x0 ja ratkaisu alkuehdolla y(x0) = 0.
4. Ratkaise differentiaaliyhtälö y' = xy^3 alkuehdoilla y(0) = 1, y(0) = 0.5 ja y(0) = 2. Mikä on kussakin tapauksessa ratkaisun voimassaoloalue? Mikä on voimassaoloalue silloin, kun ratkaisun alkuarvo pisteessä x = 0 lähenee nollaa ja ääretöntä?
Voisikos joku älykkäämpi ratkaista helppotajuisesti edes jonkun näistä? kiitoksia.
a) y^(-1)*y' y*e^(cos(x))*sin(x) = 0
b) y' = e^(x^2)
2. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä
y' = (x-3)(y 1)^(2/3)
Osoita, että y(x) = -1 on tehtävän ratkaisu. Ratkaise tehtävä yleisesti ja osoita, ettei millään integrointivakion C arvolla saada edelläolevaa ratkaisua. Miten tämä on mahdollista?
3. Pisteitä, joissa lineaarisen differentiaaliyhtälön P(X) termi ei ole määritelty, sanotaan singulaarisiksi. Määrää yhtälön xy' 2y = 3x singulaaripisteet x0 ja ratkaisu alkuehdolla y(x0) = 1. Ratkaise myös tehtävän xy'-2y = 3x singulaaripisteet x0 ja ratkaisu alkuehdolla y(x0) = 0.
4. Ratkaise differentiaaliyhtälö y' = xy^3 alkuehdoilla y(0) = 1, y(0) = 0.5 ja y(0) = 2. Mikä on kussakin tapauksessa ratkaisun voimassaoloalue? Mikä on voimassaoloalue silloin, kun ratkaisun alkuarvo pisteessä x = 0 lähenee nollaa ja ääretöntä?
Voisikos joku älykkäämpi ratkaista helppotajuisesti edes jonkun näistä? kiitoksia.
Vastaukset 5
Vanhimmat
parasta, että suoritat kotitehtäväsi ihan itse.
demoissa täällä kanssa touhuttiin sanoissa tunnelmissa. Tehkää ite ne demot, ei ne oo vaikeita. Ja muista että palauta ne tiistaina Leipälän oven alta.
näytäpä sitten miten ratkeavat, jos kerran niin helppoja ovat.
Ratkaiskaapa nyt joku edes yksi tehtävä.
1
a) y'/y = -y * sin x * e^cos x
y'/y^2 = -sin x * e^cos x | g=e^cos x, g'=-sin x * e^cos x
-1/y = e^cos x C
y = -1/(e^cos x C)
b)
y' = e^x²
Sarjamenetelmällä. Tiedetään. että e^x = 1 x 1/2!*x² 1/3!*x³...
Tällöin e^x² = 1 x² 1/2!*x^4 1/6!*x^6 ...
Integroidaan termeittäin:
y = C x 1/3 x³ 1/10 x^5 1/7! x^7...
Eli y = summa n{ 0 ... ääretön} 1/(n!*2n 1) * x^2n 1 C
2
y = -1 on erikoistapaus. y' = 0
Sijoitetaan: 0 = (x - 3)(-1 1)^(2/3) = 0
mot.
Pitää mennä palailen ehkä asiaan.