Olen jumissa insinöörifysiikan tehtävissä.
1. pyöräilijä ajaa ylös mäkeä, joka koostuu kahdesta
osasta. Alkuosan pituus on 2,0 km ja keskimääräinen jyrkkyys 7,0°. Mäki
jatkuu välittömästi tämän jälkeen siten, että loppuosan keskijyrkkyys on 10° ja
pituus 5,0 km. a) Kuinka suuri on mäen alku- ja loppupisteen välinen
korkeusero? b) Kuinka suuri on koko mäen keskimääräinen jyrkkyys?
Sain Pythagoraan lauseella kuvitteellisen hypotenuusan pituudeksi 5385 metriä. Tuo A kohta olisi helppo laskea sin avulla, jos tietäisin B kohdan vastauksen eli mäen jyrkkyyskulman suhteessa vaakasuoraan pintaan (keskimäärin). Miten se lasketaan?
2. Tasossa liikkuvaan kappaleeseen kohdistuu tietyllä hetkellä kaksi voimaa,
joiden suuntien (molemmat kyseisessä tasossa) välinen kulma on 60 astetta ja
joiden itseisarvot ovat 80 N ja 40 N. Määritä nettovoiman suuruus ja suunta.
Tähän pitäisi soveltaa vektorilaskentaa. Voimat muodostavat kolmion, jonka tuntematon sivu lienee vastaus. Mutta onko kyseessä hypotenuusa, viereinen vai vastainen kateetti (suhteessa tuohon 60 asteen kulmaan)? Kiitoksia.
1. pyöräilijä ajaa ylös mäkeä, joka koostuu kahdesta
osasta. Alkuosan pituus on 2,0 km ja keskimääräinen jyrkkyys 7,0°. Mäki
jatkuu välittömästi tämän jälkeen siten, että loppuosan keskijyrkkyys on 10° ja
pituus 5,0 km. a) Kuinka suuri on mäen alku- ja loppupisteen välinen
korkeusero? b) Kuinka suuri on koko mäen keskimääräinen jyrkkyys?
Sain Pythagoraan lauseella kuvitteellisen hypotenuusan pituudeksi 5385 metriä. Tuo A kohta olisi helppo laskea sin avulla, jos tietäisin B kohdan vastauksen eli mäen jyrkkyyskulman suhteessa vaakasuoraan pintaan (keskimäärin). Miten se lasketaan?
2. Tasossa liikkuvaan kappaleeseen kohdistuu tietyllä hetkellä kaksi voimaa,
joiden suuntien (molemmat kyseisessä tasossa) välinen kulma on 60 astetta ja
joiden itseisarvot ovat 80 N ja 40 N. Määritä nettovoiman suuruus ja suunta.
Tähän pitäisi soveltaa vektorilaskentaa. Voimat muodostavat kolmion, jonka tuntematon sivu lienee vastaus. Mutta onko kyseessä hypotenuusa, viereinen vai vastainen kateetti (suhteessa tuohon 60 asteen kulmaan)? Kiitoksia.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Tee piirrustus tilanteesta.
Mikä on mäen korkeus siinä kohdassa jossa jyrkkyyskulma muuttuu?
Laske jyrkkyyskulman ja mäen pituuden avulla korkeus taitoskohdassa. Laske sitten siitä eteenpäin jyrkemmäm mäen korkeus tuohon taitoskohtaan nähden. Summaat korkeudet niin tiedät mäen korkeuden loppukohdassa.
Olen jo piirtänyt. Kulman muuttumiskohdassa korkeus on 244 metriä (sin 7 kertaa 2000m). Mutta piirustukseen muodostuu tällöin nelikulmainen kuvio. Miten tuosta voi laskea toisen puolikkaan korkeuden ja sitten se keskijyrkkyys/keskikulma?
Ap
Toisen puolikkaan korkeuden lasket ihan samalla lailla kuin ensimmäisen puolikkaan korkeuden. Laitat nollatason korkeudessa taitekohtaan eli piirrät siihen vaakasuoran viivan. Sitten määrität tuon jälkimmäisen osan korkeuden tuohon uuteen vaakasuoraan viivaan nähden samalla lailla kuin määritit alkuosan korkeudenkin.
Kokonaiskorkeus on alkuosan korkeuden ja tuohon uuteen vaakasuoraan viivaan nähden määrittämäsi korkeuden summa.
Kiitos tästä, sain ensimmäisen tehtävän laskettua (korkeusero 1112 metriä, koko mäen kulma 12 astetta). Voitko ottaa kantaa tuohon jälkimmäiseen tehtävään?
Ap
2 Tehtävä. Kun voimien välinen kulma on 60 astetta, ei ole hypotenuusia eikä kateetteja. Kun piirrät toisen voimavektorin toisen kärjestä lähtien, saat resultanttivektorin ja kolmion, jossa tunnettujen vektorien välinen kulma on 120 astetta. Siitä voit laskea kosinilauseella, tai vaihtoehtoisesti täydentämällä kuva kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi.
Mutta kolmion kulmien summa on 180 astetta, eli jos tuossa kolmiossa on yksi 60 asteen kulma ja yksi 120 asteen kulma niin kolmas kulma jää kokonaan puuttumaan. Miten kosinilausetta voi käyttää, jos hypotenuusaa ei ole? Oletin että tuo 80 on hypotenuusan "pituus".
Ap
Ei siihen kolmioon tule 60 asteen kulmaa. Siirrät toisen vektorin suuntaa vaihtamatta ensimmäisen kärjestä lähtien. Sitten yhdistät ensimmäisen lähtöpisteen ja toisen päätepisteen, jolloin tulee resultantti, joka on kolmion kolmas ja tässä tapauksessa pisin sivu (ei ole hypotenuusa). Kolmion kahta muuta kulmaa ei tunneta, mutta ei niitä tarvitakaan tehtävässä. Kosinilause voidaan ratkaista 120 asteen kulmaan perustuen.
Onko oikea vastaus siis -40? Cos120 * 80 = -40
Ap
Ei. Kun et kerran tiedä mikä on cosinilause, niin kannattaa käyttää hakukonetta ja selvittää asia. Laskelmallasi ei ole mitään tekemistä cosinilauseen kanssa. Pythagoran lause pätee vain ja ainoastaan suorakulmaisiin kolmioihin joita tässä ei ole, joten sen sijaan tulee käyttää cosinilausetta joka pätee mihin tahansa tasokolmioon, jonka sivut ovat suoria (ei käyriä).
No tämähän selventää asiaa, sain vastaukseksi 106 newtonia. Suurkiitos avusta, sain tehtävät ratkaistua. Mietin vielä sitä, että tuleeko tuo 120 astetta siitä että toisen tunnetun sivun pituus on kaksinkertainen toiseen verrattuna, vai jostain muusta?
Ap
Etkö osaa lukea?Kts. 08:28 ja 09:19.
2. Piirretään voimat (i,j) - koordinaatistoon niin että F1 = 80 i ja F2 = 40 cos(60) i 40 sin(60) j.
F= F1 F2 = 100 i 34,64 j
l F l = sqrt(100^2 36,64^2) = 105,83
F muodostaa i-suunnan kanssa kulman artan(0,3464) = 19,11 (astetta).
Tark.
(F,i) = 105,83*cos(19,11) = 100,00
(F,j) = 105,83 * sin(19,11) = 34,65
V1 = 2 cos(7) i 2 sin(7) j
V2 = 5 cos(10) i 5 sin(10) j
V= V1 V2 = (2 cos(7) 5 cos(10)) i (2 sin(7) 5 sin(10)) j = 6,909 i 1,112 j
l V1 V2 l = 6,998 (km)
artan(1,112/6,909) = 9,143 (astetta)
Kysytty korkeus on V:n j-komponentin suuruus eli 1,112 (km)