a) Määritä jonon (an) kymmenes jäsen, kun a1=1 ja an 1=sqrt(an 1) n=1,2,3...
b)Jono on suppeneva. Määritä sen raja-arvon tarkka arvo.
a kohta ok mutta b kohtaan sit en pääsekkään kiinni.
b)Jono on suppeneva. Määritä sen raja-arvon tarkka arvo.
a kohta ok mutta b kohtaan sit en pääsekkään kiinni.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tarkoitatko (alaindeksit suluissa):
a(1) = 1
a(n 1) = sqrt(a(n) 1)
?
Näin:
lim a(n) = a
lim a(n 1) = a
a = Sqrt (a 1)
a^2 = a 1
a^2 - a - 1 = 0
a = 1/2 - Sqrt(5)/2
Vain positiivinen juuri kelpaa, l. a = 1/2 Sqrt(5)/2
Nyt täytyy aavistuksen verran arvata merkinnöistä, mutta oletettavasti tarkoitit tätä:
a1=1
an 1=sqrt(an 1)
Lähdetään siitä, että raja-arvon tulee olla positiivinen, koska lausekkeessa kummittelee neliöjuuri ja ollaan tekemisissä reaalilukujen kanssa. Koska tehtävänannon mukaan raja-arvo on olemassa runnotaan vain mekaanisesti se esiin. Merkitään
lim an=x lim an 1=x
(raja-arvo äärettömyydessä tietenkin, mutta enpä ala nyt sekoilemaan noiden alaindeksien kanssa) Merkintä on mielekäs, sillä jos lukujono suppenee kohti jotakin lukua, niin tulee lukujonon seuraavankin jäsenen lähestyä tätä samaista lukua. Saamme nyt kirjoitettua alkuperäisen lausekkeen muotoon:
x=sqrt(x 1)
Ratkaisemalla tämä saadaan x1=(1 sqrt5)/2 ja
x2=(1-sqrt5)/2
Kiitos!