Hei!
Jos on jokin differentiaaliyhtälö, jossa on y(x) ja x sekä y:n derivaattoja jne., yhtälöstä ratkaistaan y(x) integroimalla. Onko olemassa jotain sääntöä, että integroitaessa esim. y:n suhteen, integroitava lauseke ei saa sisältää x-termejä?
Esim.
y'(x)-y(x)=x^2
y'(x)=x^2 y(x)
dy(x)/dx=x^2 y(x) || *dx/(x^2 y(x))
dy(x)/(x^2 y(x))= dx
Voisiko nyt integroida puolittain?
Jos on jokin differentiaaliyhtälö, jossa on y(x) ja x sekä y:n derivaattoja jne., yhtälöstä ratkaistaan y(x) integroimalla. Onko olemassa jotain sääntöä, että integroitaessa esim. y:n suhteen, integroitava lauseke ei saa sisältää x-termejä?
Esim.
y'(x)-y(x)=x^2
y'(x)=x^2 y(x)
dy(x)/dx=x^2 y(x) || *dx/(x^2 y(x))
dy(x)/(x^2 y(x))= dx
Voisiko nyt integroida puolittain?
Vastaukset 10
Vanhimmat
Kyllä se niin on, että muuttujat pitäisi saada jotenkin erotettua, ja sitten vasta integroidaan puolittain omien muuttujiensa suhteen.
Jos ei niitä saada erotettua, niin sitten pitää koettaa kaikenlaisia sijoituksia, tyyliin
y=u*v
y=x*u
y=u v, joissa u ja v ovat x:n funktioita
Tässä päädyin pienen kokeilemisen jälkeen sijoitukseen y=u v
y'(x)-y(x)=x^2, y=u v, y'=u' v'
u' v'-u-v=x^2
(u'-u) (v'-v)=x^2
u'-u=0 <=>du/dx=u<=> du/u=dx<=>u=Cex
v'-v=x^2, yrite: v=-x^2 Ax B, v'=-2x A =>v'-v=-2x A x^2-Ax-B=x^2=>
-2-A=0 =>A=-2
A-B=0 =>B=-2
v=-x^2-2x-2
y=u v=Ce^x-x^2-2x-2
(Jossakin höpötettän, että ratkaisu on homogeenisen yhtälön ja jonkun yksityisratkaisun summa. Ihan sama asia se on.)
jäänyt bittiavaruuteen tuo eksponenttimerkintä: u'-u=0 <=>du/dx=u<=> du/u=dx<=>u=C*e^x
Sinun pitäisi kylläkin perustella, miten kaikki ratkaisut saadaan olettamalla ratkaisun olevan summan u v, missä u on homogeenisen yhtälön ratkaisu ja v on yksityisratkaisu. Kertomalla alkuperäinen yhtälö e^x:llä ja integroimalla voidaan päätyä tuohon yleinen ratkaisu yksityisratkaisu muotoon.
korjaa nyt sitä kerrointas
Siis y'(x)-y(x)=x^2; merkataan y(x)=e^x*z(x); tuo derivoidaan ja sijoitetaan yhtälöön, saadaan: e^x*z'(x)=x^2, eli z'(x)=e^(-x)*x^2; integroidaan tuo: z(x) = int(e^(-x)*x^2*dx) C; sijoitetaan takaisin y: y(x)=Ce^x e^x*int(e^(-x)*x^2*dx); ja tuo lauseke on integroitavissa.
Olisit vaan korjannut sen painovirheen, eli kerrotaan e^(-x):llä. Siitä tulee nimittäin kaikkien integrointikikkojen kikkailu , ja ne on aina hyviä...
y'-y=x^2, kerrotaan e^(-x) :llä
e^(-x)*y'-e^(-x)*y=e^(-x)*x^2, todetaan, että -e^(-x)=(e^(-x))'
y'*e^(-x) (e^(-x))'*y=e^(-x)*x^2
(y*e^(-x))'=e^(-x)*x^2, integroidaan puolittain, oikea puoli kahdella osittaisintegroinnilla
e^(-x)*y=-x^2*e^(-x)-2x*e^(-x)-2*e^(-x) C, kerrotaan e^x :llä
y=-x^2-2x-2 C*e^x
Ensin ratkaistaan homogeeninen yhtälö (HY) yleisessä muodossa y(x) = C f(x). Vakio C määräytyy tarvittaessa alkuehdosta.
Sitten yritetään täydellisen yhtälön (TY) ratkaisua muodossa y(x)=C(x) f(x). Siis oletetaan, että C ei olekaan vakio vaan x funktio. Sijoitetaan yrite täydelliseen yhtälöön. Tästä saadaan C(x):lle differentiaaliyhtälö. Ratkaistaan se alkuehto huomioiden. Näin löytyy alkuehdon täyttävä täydellisen yhtälön ratkaisu y(x).
Käytännössä tuo on sijoitus y=u*v. Siinä on kuitenkin hankalahko osittaisintegrointi tuplana, joten päädyin aamulla tuohon y=u v.
dy/dx - y = x^2. Ratkaistaan ensin dy/dx - y = 0 joten dy/y = dx josta d(ln(y) = dx ja siis
y = C e^x. Nyt suoritetaan "vakion variointi" eli vakio C korvataan funktiolla C(x).
y = C(x) e^x. Sijoitetaan tämä alkuperäiseen yhtälöön ja saadaan
dC/dx * e^x C e^x - C e^x = x^2 eli
dC/dx * e^x = x^2 eli dC/dx = x^2*e^( - x).
C(x) = Int(x^2 e^(- x)) D missä D on mielivaltainen vakio. Siis
C(x) = -(x^2 2x 2) * e^( - x) D ja lopulta
y(x) = e^x ( D - (x^2 2x 2) * e^(- x) = D e^x - x^2 -2x - 2.
Tark. D e^x - 2x - 2 - D e^x x^2 2x 2 = x^2. Eli ratkaistu y toteuttaa alkuperäisen yhtälön.
Jäi minulta taas yksi ) pois: P.O.
y(x) = e^x( D - (x^2 2x 2)*e^( - x)) = ...