Etäisyyksien tulo on 1

Yksikköympyrältä on valittu kolme pistettä A = (1, 0), B=(cos a, sin a) ja C = (cos a, -sin a). Tutkitaan funktiota f, joka lasketaan tason pisteelle Z laskemalla etäisyys jokaiseen pisteeseen A, B ja C ja ottamalla näistä tulo. Ts

f(Z) = |ZA| * |ZB| * |ZC|

Nyt tutkitaan tasa-arvo käyrää {f=1}. Tehtävä on ratkaista parametrin a arvo, jolla tasa-arvo käyrä sivuaa yksikköympyrää (oikeassa puolitasossa). Tässä kuva tilanteesta:
https://membolicsythodhome.files.wordpress.com/2020/05/distprod1.png?w=600

PS. tasa-arvo käyrä on aika mukavan näköinen lenkura (tai useampi osainen), kun parametri-pisteitä siirtelee (ja ottaa vielä jopa lisääkin!). Olisin tehnyt tietenkin Desmos-kuvaajiston, mutta Desmos ei näytä toimivan. Jotain "Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (), fi is not an available language." se herjaa. Pitäiskö kokeilla vaihtaa selain enkuks...

6

<50

    Vastaukset

    • Jes, Desmoksen saa toimimaan, kun lisää ?lang=en osoitteen perään. Ihan sattumalta kokeilin toimisko noin, ni sehän toimi!

      https://www.desmos.com/calculator/6gkegn5ovb?lang=en

      Miten pitkälle pisteitä lisäilemällä pääsee, että ympyrä jää siltä matkalta joukon {f<1} sisään? Kokonaan se ei voi sitä syödä, sille asialle on olemassa hyvinkin elegantti todistus (vinkki: kompleksianalyysi).

    • f(Z;a)) = f(x,y;a) = 1 missä olen merkinnyt erikseen näkyviin parametrin a. Jokaisella a:n arvolla f on siis x:n ja y:n funktio. f = 1 on f:n tasa-arvokäyrä.

      f(x,y;a) = sqrt((x-1)^2 + y^2)* sqrt((x-cos(a))^2 +(y-sin(a))^2) * (sqrt((x-cos(a))^2 + (y+ sin(a))^2)

      Olkoon g(x,y) = x^2 + y^2 . g = 1 on g:n tasa-arvokäyrä.

      grad(f) on kohtisuorassa tuota f:n tasa-arvokäyrää vastaan ja grad(g) vastaavasti g:n tasa-arvokäyrää vastaan. Jos piste P on f:n ja g:n säännöllinen piste (grad = / 0) niin pisteessä P tapahtuvan sivuamisen ehto on, että grad(f) = k* grad(g) missä k on jokin reaaliluku =/ 0.
      Pisteet joissa jompi kumpi gradientti häviää pitää sitten vielä tarkastella.

      Olisihan tuossa laskemista ennenkuin a:n mahdolliset arvot selviävät! Enpä taida käyttää aamuani siihen.

      • Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).


      • Anonyymi kirjoitti:

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).

        Tarkennan vielä. f^( - 1) (1) =( (x,y) l f(x,y) = 1) ja vastaavasti g^( - 1) (1).Nämä ovat noiden fuktioiden tasa-arvokäyriä joiden tangenttien tulee olla yhdensuuntaisia eli normaaleiden pitää olla yhdensuuntaisia jossain pisteessä P joista seuraa tuo grad-ehto.Ja tietenkin noiden käyrien pitää leikata tuossa pisteessä P.

        Näin aamulla en näy heti pääsevän vauhtiin!


      • Kannattaa huomata, että {f^2 = 1} = {f=1}, niin neliöjuuret voi heittää pois.


    • Tässä olis miten minä sen laskin:
      https://membolicsythod.home.blog/2020/05/23/etaisyyksien-tulo-on-1/

      Useammalle pisteelle vastaavasti kohdat, joissa sivuaa saadaan Chebyshevin polynomien avulla:
      https://math.stackexchange.com/questions/3689253/n-insects-on-z-1-occupy-a-point-if-the-product-of-their-distances-to-it

      Kun n kasvaa, ympyrästä voidaan syödä mielivaltasen suuri osa ja hauskasti tasa-arvo käyrä |f|=1 muodostaa sisälle "pienemmän ympyrän". Ympyrän kehä ei voi kuitenkaan kokonaan jäädä |f|<1:n sisään, sillä ympyrällä on aina piste, jossa |f|>1. Jos tämä jäi jotakuta vaivaamaan, niin sehän tulee maksimi moduluksen periaatteesta: Funktio f on analyyttinen (sehän on polynomi) ja origossa |f| = 1. Koska f ei ole vakio, niin ympyrän reunalla täytyy olla piste jossa |f|>1.

      Maksimi moduluksen periaate: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle

    suomi24-logo

    Osallistu keskusteluun

    • Pistää vihaksi nuo pakkoreissaajat.

      Mikä ihmeen addiktio se on kun pakko päästä ulkomaille vaikka on omasta hengestään kiinni pahimmassa tapauksessa. Katselin uutisista porukkaa joka oli lähdössä ulkomaille, maskit kaikilla naamalla ja sanoivat, että voi sen koronan saada suomessakin. Nyt sitä hedelmää typeryydestä saadaan maksaa. https://www.is.fi/kotimaa/art-2000006595396.html

      103
    • Aiotko noudattaa maskisuositusta?

      Alatko käyttämään maskia kun liikut julkisilla paikoilla? Kyseessä on siis suositus, ei pakko.

      742
    • Ketä kiinnostaa YouTube-maailma?

      Tässä kun on kesällä ollut aikaa ja hieman seuraillut netistä kaiken maailman vlogeja sun muita videoituja mielipidekanavia niin herää yksi suuri kysymys: Ketä kiinnostaa tällainen kun täysin tuntemattomat ihmiset hölisevät omia mielipiteitään kameralle täysin merkityksettömistä asioista? Onko tämä kenestäkään muusta typerää? Niin miehet kun naiset selostavat suu vaahdossa asioitaan kameralle yksinään jossakin v..tun vaatehuoneessa. Tulee mieleen, että säilyttäkää nyt joku järki. Ketä kiinnostaa jonkun nobodyn mielipide mistään? Tai sen myday-solkkaukset sun muut? Mitä varten näitä tehdään? Ei voi muuta sanoa kuin, että netti täyttyy roskasta ja itsensä korostamisesta.

      260

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Poker Run kolari

      Ei mennyt aivan putkeen! Joku loukkaantui vakavasti ja taphtuma keskeytetty. Videolta näkyy ensin yksi vene ajaa melko hiljaa kovalla melulla ja vesis
      Yleistä veneilystä
      166
      3172