Etäisyyksien tulo on 1

Yksikköympyrältä on valittu kolme pistettä A = (1, 0), B=(cos a, sin a) ja C = (cos a, -sin a). Tutkitaan funktiota f, joka lasketaan tason pisteelle Z laskemalla etäisyys jokaiseen pisteeseen A, B ja C ja ottamalla näistä tulo. Ts

f(Z) = |ZA| * |ZB| * |ZC|

Nyt tutkitaan tasa-arvo käyrää {f=1}. Tehtävä on ratkaista parametrin a arvo, jolla tasa-arvo käyrä sivuaa yksikköympyrää (oikeassa puolitasossa). Tässä kuva tilanteesta:
https://membolicsythodhome.files.wordpress.com/2020/05/distprod1.png?w=600

PS. tasa-arvo käyrä on aika mukavan näköinen lenkura (tai useampi osainen), kun parametri-pisteitä siirtelee (ja ottaa vielä jopa lisääkin!). Olisin tehnyt tietenkin Desmos-kuvaajiston, mutta Desmos ei näytä toimivan. Jotain "Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (), fi is not an available language." se herjaa. Pitäiskö kokeilla vaihtaa selain enkuks...

6

166

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Jes, Desmoksen saa toimimaan, kun lisää ?lang=en osoitteen perään. Ihan sattumalta kokeilin toimisko noin, ni sehän toimi!

      https://www.desmos.com/calculator/6gkegn5ovb?lang=en

      Miten pitkälle pisteitä lisäilemällä pääsee, että ympyrä jää siltä matkalta joukon {f<1} sisään? Kokonaan se ei voi sitä syödä, sille asialle on olemassa hyvinkin elegantti todistus (vinkki: kompleksianalyysi).

    • Anonyymi

      f(Z;a)) = f(x,y;a) = 1 missä olen merkinnyt erikseen näkyviin parametrin a. Jokaisella a:n arvolla f on siis x:n ja y:n funktio. f = 1 on f:n tasa-arvokäyrä.

      f(x,y;a) = sqrt((x-1)^2 y^2)* sqrt((x-cos(a))^2 (y-sin(a))^2) * (sqrt((x-cos(a))^2 (y sin(a))^2)

      Olkoon g(x,y) = x^2 y^2 . g = 1 on g:n tasa-arvokäyrä.

      grad(f) on kohtisuorassa tuota f:n tasa-arvokäyrää vastaan ja grad(g) vastaavasti g:n tasa-arvokäyrää vastaan. Jos piste P on f:n ja g:n säännöllinen piste (grad = / 0) niin pisteessä P tapahtuvan sivuamisen ehto on, että grad(f) = k* grad(g) missä k on jokin reaaliluku =/ 0.
      Pisteet joissa jompi kumpi gradientti häviää pitää sitten vielä tarkastella.

      Olisihan tuossa laskemista ennenkuin a:n mahdolliset arvot selviävät! Enpä taida käyttää aamuani siihen.

      • Anonyymi

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).

        Tarkennan vielä. f^( - 1) (1) =( (x,y) l f(x,y) = 1) ja vastaavasti g^( - 1) (1).Nämä ovat noiden fuktioiden tasa-arvokäyriä joiden tangenttien tulee olla yhdensuuntaisia eli normaaleiden pitää olla yhdensuuntaisia jossain pisteessä P joista seuraa tuo grad-ehto.Ja tietenkin noiden käyrien pitää leikata tuossa pisteessä P.

        Näin aamulla en näy heti pääsevän vauhtiin!


      • Kannattaa huomata, että {f^2 = 1} = {f=1}, niin neliöjuuret voi heittää pois.


    • Tässä olis miten minä sen laskin:
      https://membolicsythod.home.blog/2020/05/23/etaisyyksien-tulo-on-1/

      Useammalle pisteelle vastaavasti kohdat, joissa sivuaa saadaan Chebyshevin polynomien avulla:
      https://math.stackexchange.com/questions/3689253/n-insects-on-z-1-occupy-a-point-if-the-product-of-their-distances-to-it

      Kun n kasvaa, ympyrästä voidaan syödä mielivaltasen suuri osa ja hauskasti tasa-arvo käyrä |f|=1 muodostaa sisälle "pienemmän ympyrän". Ympyrän kehä ei voi kuitenkaan kokonaan jäädä |f|<1:n sisään, sillä ympyrällä on aina piste, jossa |f|>1. Jos tämä jäi jotakuta vaivaamaan, niin sehän tulee maksimi moduluksen periaatteesta: Funktio f on analyyttinen (sehän on polynomi) ja origossa |f| = 1. Koska f ei ole vakio, niin ympyrän reunalla täytyy olla piste jossa |f|>1.

      Maksimi moduluksen periaate: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      56
      5443
    2. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      91
      4251
    3. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      372
      2510
    4. Ovatko naiset lopettaneet sen vähäisenkin vaivannäön Tinderissa?

      Meinaan vaan profiileja selatessa nykyään valtaosalla ei ole minkäänlaista kirjoitettua tekstiä siellä. Juuri ja juuri s
      Nettideittailu
      70
      1038
    5. Suomi vietiin Natoon väärin perustein. Viides artikla on hölynpölyä. Yksin jäämme.

      Kuka vielä uskoo, että viides artikla takaa Suomelle avun, jos Suomeen hyökätään. Liikuttavasti täällä on uskottu ja ved
      Maailman menoa
      329
      1018
    6. Et ilmeisesti aio enää ikinä olla tekemisissä

      Että näinkö se menee
      Ikävä
      61
      833
    7. Sydämeni on sinun luona

      Koko ajan. Oli ympärilläni ketä oli niin sinä olet vain ajatuksissa ja tunteissa. En halua muiden kosketusta kuin sinun
      Ikävä
      46
      806
    8. Trump ja Venäjä

      Huomasitteko muuten... Käytännössä ainoat valtiot, joille Trump EI eilen asettanut typeriä tariffejaan, olivat Venäjä ja
      Maailman menoa
      102
      789
    9. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      25
      774
    10. Jatkuva stressitila

      On sinun vuoksesi kun en tiedä missä mennään mutta tunteeni tiedän ainoastaan
      Ikävä
      52
      769
    Aihe