Etäisyyksien tulo on 1

Yksikköympyrältä on valittu kolme pistettä A = (1, 0), B=(cos a, sin a) ja C = (cos a, -sin a). Tutkitaan funktiota f, joka lasketaan tason pisteelle Z laskemalla etäisyys jokaiseen pisteeseen A, B ja C ja ottamalla näistä tulo. Ts

f(Z) = |ZA| * |ZB| * |ZC|

Nyt tutkitaan tasa-arvo käyrää {f=1}. Tehtävä on ratkaista parametrin a arvo, jolla tasa-arvo käyrä sivuaa yksikköympyrää (oikeassa puolitasossa). Tässä kuva tilanteesta:
https://membolicsythodhome.files.wordpress.com/2020/05/distprod1.png?w=600

PS. tasa-arvo käyrä on aika mukavan näköinen lenkura (tai useampi osainen), kun parametri-pisteitä siirtelee (ja ottaa vielä jopa lisääkin!). Olisin tehnyt tietenkin Desmos-kuvaajiston, mutta Desmos ei näytä toimivan. Jotain "Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (), fi is not an available language." se herjaa. Pitäiskö kokeilla vaihtaa selain enkuks...

6

57

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Jes, Desmoksen saa toimimaan, kun lisää ?lang=en osoitteen perään. Ihan sattumalta kokeilin toimisko noin, ni sehän toimi!

      https://www.desmos.com/calculator/6gkegn5ovb?lang=en

      Miten pitkälle pisteitä lisäilemällä pääsee, että ympyrä jää siltä matkalta joukon {f<1} sisään? Kokonaan se ei voi sitä syödä, sille asialle on olemassa hyvinkin elegantti todistus (vinkki: kompleksianalyysi).

    • Anonyymi

      f(Z;a)) = f(x,y;a) = 1 missä olen merkinnyt erikseen näkyviin parametrin a. Jokaisella a:n arvolla f on siis x:n ja y:n funktio. f = 1 on f:n tasa-arvokäyrä.

      f(x,y;a) = sqrt((x-1)^2 y^2)* sqrt((x-cos(a))^2 (y-sin(a))^2) * (sqrt((x-cos(a))^2 (y sin(a))^2)

      Olkoon g(x,y) = x^2 y^2 . g = 1 on g:n tasa-arvokäyrä.

      grad(f) on kohtisuorassa tuota f:n tasa-arvokäyrää vastaan ja grad(g) vastaavasti g:n tasa-arvokäyrää vastaan. Jos piste P on f:n ja g:n säännöllinen piste (grad = / 0) niin pisteessä P tapahtuvan sivuamisen ehto on, että grad(f) = k* grad(g) missä k on jokin reaaliluku =/ 0.
      Pisteet joissa jompi kumpi gradientti häviää pitää sitten vielä tarkastella.

      Olisihan tuossa laskemista ennenkuin a:n mahdolliset arvot selviävät! Enpä taida käyttää aamuani siihen.

      • Anonyymi

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).

        Tarkennan vielä. f^( - 1) (1) =( (x,y) l f(x,y) = 1) ja vastaavasti g^( - 1) (1).Nämä ovat noiden fuktioiden tasa-arvokäyriä joiden tangenttien tulee olla yhdensuuntaisia eli normaaleiden pitää olla yhdensuuntaisia jossain pisteessä P joista seuraa tuo grad-ehto.Ja tietenkin noiden käyrien pitää leikata tuossa pisteessä P.

        Näin aamulla en näy heti pääsevän vauhtiin!


      • Kannattaa huomata, että {f^2 = 1} = {f=1}, niin neliöjuuret voi heittää pois.


    • Tässä olis miten minä sen laskin:
      https://membolicsythod.home.blog/2020/05/23/etaisyyksien-tulo-on-1/

      Useammalle pisteelle vastaavasti kohdat, joissa sivuaa saadaan Chebyshevin polynomien avulla:
      https://math.stackexchange.com/questions/3689253/n-insects-on-z-1-occupy-a-point-if-the-product-of-their-distances-to-it

      Kun n kasvaa, ympyrästä voidaan syödä mielivaltasen suuri osa ja hauskasti tasa-arvo käyrä |f|=1 muodostaa sisälle "pienemmän ympyrän". Ympyrän kehä ei voi kuitenkaan kokonaan jäädä |f|<1:n sisään, sillä ympyrällä on aina piste, jossa |f|>1. Jos tämä jäi jotakuta vaivaamaan, niin sehän tulee maksimi moduluksen periaatteesta: Funktio f on analyyttinen (sehän on polynomi) ja origossa |f| = 1. Koska f ei ole vakio, niin ympyrän reunalla täytyy olla piste jossa |f|>1.

      Maksimi moduluksen periaate: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Turkipippurin omistaja törkeä lapsenraiskaus 21.2.2024

      Lapin käräjäoikeus Rovaniemi 1.3.2024 törkeä lapsenraiskaus,syyllinnen Turkinpippurin omistaja Farsad Doski Reger https:
      Rovaniemi
      56
      3139
    2. Piruilua suhdekohusta? Anssi Heikkilä julkaisi kuvia "deitti-illasta" - Missä Pernilla Böckerman?!

      Anssi Heikkilä ja Pernilla Böckerman voittivat viime vuonna Tanssii Tähtien Kanssa -kisan. Nyt heidän ympärillään kuhist
      Kotimaiset julkkisjuorut
      15
      1722
    3. Mitä muuttaisit kaivatussasi?

      Rehellisiä vastauksia kiitos.
      Ikävä
      114
      1644
    4. Raideliikenne

      Kuka jäi junan alle?
      Kiuruvesi
      26
      1562
    5. Purra antoi Hakkaraiselle tylysti kenkää

      Persujen puheenjohtaja Riikka Purra, joka on myös persujen puoluehallituksen puheenjohtaja, on päättänyt hovinsa kanssa
      Perussuomalaiset
      337
      1556
    6. Farmi Suomi -matskua julki! Iida Vainio ja Archie Cruz intiimissä hetkessä: "...yölläkin sitten..."

      Sutinaa kerrakseen… Rokkari Archie Cruzilla ja kultamekolla kohahduttaneella Iida Vainiolla on ollut mm. tällaista visp
      Kotimaiset julkkisjuorut
      12
      1350
    7. Siitä näkemisestä tuolla oikeissa kuvioissa

      Odotusarvo olisi, että hakeutuisit aktiivisesti tilanteisiin tai paikkoihin, missä olisi mahdollista törmätä. No niinpä.
      Ikävä
      110
      1317
    8. Ranskan presidentti: Nato joukkoja Ukrainaan?

      Silloinhan Suomenkin pitäisi lähettää Ukrainaan joukkoja. Miltä kuulostaa? Macron ei sulje pois länsijoukkojen lähettäm
      Maailman menoa
      420
      1221
    9. Kun kohtasin sinut muutit elämäni

      Se ei ole entisellään enää. Olen järkyttynyt ja jäänyt suuren hämmennyksen valtaan. Mitä tämä oli? En tiedä enää, mitä a
      Ikävä
      77
      1205
    10. Vanha valta heitti nyt Kelloniemen ulos

      Vanhan vallan juoksupoika Ilpo Tervonen kruunattiin Heikin ritarikunnan ensimmäisen rasvaajan ansiomerkillä. Juhana Kell
      Kemijärvi
      76
      1097
    Aihe