Etäisyyksien tulo on 1

Yksikköympyrältä on valittu kolme pistettä A = (1, 0), B=(cos a, sin a) ja C = (cos a, -sin a). Tutkitaan funktiota f, joka lasketaan tason pisteelle Z laskemalla etäisyys jokaiseen pisteeseen A, B ja C ja ottamalla näistä tulo. Ts

f(Z) = |ZA| * |ZB| * |ZC|

Nyt tutkitaan tasa-arvo käyrää {f=1}. Tehtävä on ratkaista parametrin a arvo, jolla tasa-arvo käyrä sivuaa yksikköympyrää (oikeassa puolitasossa). Tässä kuva tilanteesta:
https://membolicsythodhome.files.wordpress.com/2020/05/distprod1.png?w=600

PS. tasa-arvo käyrä on aika mukavan näköinen lenkura (tai useampi osainen), kun parametri-pisteitä siirtelee (ja ottaa vielä jopa lisääkin!). Olisin tehnyt tietenkin Desmos-kuvaajiston, mutta Desmos ei näytä toimivan. Jotain "Failed to load resource: the server responded with a status of 404 (), fi is not an available language." se herjaa. Pitäiskö kokeilla vaihtaa selain enkuks...

6

87

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Jes, Desmoksen saa toimimaan, kun lisää ?lang=en osoitteen perään. Ihan sattumalta kokeilin toimisko noin, ni sehän toimi!

      https://www.desmos.com/calculator/6gkegn5ovb?lang=en

      Miten pitkälle pisteitä lisäilemällä pääsee, että ympyrä jää siltä matkalta joukon {f<1} sisään? Kokonaan se ei voi sitä syödä, sille asialle on olemassa hyvinkin elegantti todistus (vinkki: kompleksianalyysi).

    • Anonyymi

      f(Z;a)) = f(x,y;a) = 1 missä olen merkinnyt erikseen näkyviin parametrin a. Jokaisella a:n arvolla f on siis x:n ja y:n funktio. f = 1 on f:n tasa-arvokäyrä.

      f(x,y;a) = sqrt((x-1)^2 y^2)* sqrt((x-cos(a))^2 (y-sin(a))^2) * (sqrt((x-cos(a))^2 (y sin(a))^2)

      Olkoon g(x,y) = x^2 y^2 . g = 1 on g:n tasa-arvokäyrä.

      grad(f) on kohtisuorassa tuota f:n tasa-arvokäyrää vastaan ja grad(g) vastaavasti g:n tasa-arvokäyrää vastaan. Jos piste P on f:n ja g:n säännöllinen piste (grad = / 0) niin pisteessä P tapahtuvan sivuamisen ehto on, että grad(f) = k* grad(g) missä k on jokin reaaliluku =/ 0.
      Pisteet joissa jompi kumpi gradientti häviää pitää sitten vielä tarkastella.

      Olisihan tuossa laskemista ennenkuin a:n mahdolliset arvot selviävät! Enpä taida käyttää aamuani siihen.

      • Anonyymi

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ja lisäksi tietysti täytyy olla f(P) = g(P).

        Tarkennan vielä. f^( - 1) (1) =( (x,y) l f(x,y) = 1) ja vastaavasti g^( - 1) (1).Nämä ovat noiden fuktioiden tasa-arvokäyriä joiden tangenttien tulee olla yhdensuuntaisia eli normaaleiden pitää olla yhdensuuntaisia jossain pisteessä P joista seuraa tuo grad-ehto.Ja tietenkin noiden käyrien pitää leikata tuossa pisteessä P.

        Näin aamulla en näy heti pääsevän vauhtiin!


      • Kannattaa huomata, että {f^2 = 1} = {f=1}, niin neliöjuuret voi heittää pois.


    • Tässä olis miten minä sen laskin:
      https://membolicsythod.home.blog/2020/05/23/etaisyyksien-tulo-on-1/

      Useammalle pisteelle vastaavasti kohdat, joissa sivuaa saadaan Chebyshevin polynomien avulla:
      https://math.stackexchange.com/questions/3689253/n-insects-on-z-1-occupy-a-point-if-the-product-of-their-distances-to-it

      Kun n kasvaa, ympyrästä voidaan syödä mielivaltasen suuri osa ja hauskasti tasa-arvo käyrä |f|=1 muodostaa sisälle "pienemmän ympyrän". Ympyrän kehä ei voi kuitenkaan kokonaan jäädä |f|<1:n sisään, sillä ympyrällä on aina piste, jossa |f|>1. Jos tämä jäi jotakuta vaivaamaan, niin sehän tulee maksimi moduluksen periaatteesta: Funktio f on analyyttinen (sehän on polynomi) ja origossa |f| = 1. Koska f ei ole vakio, niin ympyrän reunalla täytyy olla piste jossa |f|>1.

      Maksimi moduluksen periaate: https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_modulus_principle

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Tapio Suominen on kuollut

      Urheilutoimittaja Tapio Suominen on kuollut. Suominen oli kuollessaan 60-vuotias. Selostajalegendan kuolemasta kertoo Y
      Maailman menoa
      234
      16720
    2. Tapio Suominen oli sairauden uhri

      Urheiluselostaja Tapio Suominen kuoli eilen keskiviikkona aamulla tapaturmaisesti Hattulassa. Toisen uutisen mukaan van
      23
      2118
    3. Tapio suominen

      Liian aikaisin lähdit sinua oli kiva kuunnella.
      Ikävä
      110
      1940
    4. Mitä toivot

      Tämän hetkiseen tilanteeseen?
      Ikävä
      190
      1712
    5. Sydämeni on

      varattu sinulle. Et ole minun, en ole sinun. Me on mahdottomuus. Mutta olet se joka on mielessäni ensimmäisenä kun herää
      Ikävä
      119
      1453
    6. Minä itkin kotona kun tajusin että

      Pelkuruuteni takia kun en lähestynyt vaikka järjestit otollisen hetken ja myöhemmin huomasin lasittuneen katseesi miten
      Ikävä
      10
      1092
    7. Rannalle! Uimaan!! Rinnat paljaiksi!!!

      Järki kadonnut sekä niiltä feministeiltä, jotka vaativat saada esiintyä rinnat paljaina julkisilla uimarannoilla, kuten
      Maailman menoa
      216
      962
    8. Elämääni tulee pian uusi uros

      Se on sinisilmäinen, blondi. 😍 Toivottavasti tämä ok?
      Ikävä
      119
      857
    9. Kok-edustaja: Yle aivopesee työntekijöitä

      "– Yle ei vain sensuroi Kyllä isä osaa-sarjaa, vaan haluaa jaksojen määrää manipuloimalla HÄVITTÄÄ ”ongelman” todellisuu
      Maailman menoa
      61
      738
    10. Ylen jälkiviisaat estotonta Kamala Harris suitsutusta

      Kolme samanmielistä naikkosta hehkutti Kamala Harrisia ja haukkui Trumpia estottomasti. Nyt oli tarkoituksella valittu
      Maailman menoa
      212
      731
    Aihe