Radiosondi, jonka paino moottoreineen ja polttoainesäiliöineen on 10 kg, ammutaan kohtisuoraan maan pinnalta ylöspäin, moottori tuottaa työntövoiman 1,2 kN, ja polttoainetta kuluu 2 kg/s.
Miten korkealle se voi nousta, jos polttoainetta on lähdössä 100 kg ?
Ilmanvastusta ei tarvitse huomioida ja gravitaation oletetaan muuttuvan normaalisti suhteessa etäisyyden neliöön.
Miten korkealle se voi nousta, jos polttoainetta on lähdössä 100 kg ?
Ilmanvastusta ei tarvitse huomioida ja gravitaation oletetaan muuttuvan normaalisti suhteessa etäisyyden neliöön.
Vastaukset 50
Vanhimmat
Päässälaskuna 10 km.
Tuo siis siihen mennessä, kun polttoaine loppuu. Sen jälkeen noustaan vielä yli 40 km saavutetun nopeuden energialla.
Päässälasku on hieman vaikeaa, energiaa kun sondin nostamisen lisäksi kuluu myös osan polttoainelastin nostamiseen.
Löysä arvaus = 8.8 km
Tässä lentävän esineen (radiosondi polttoaine) massa muuttuu, joten liikeyhtälö on
F = d(mv)/dt = dm/dt*v m*dv/dt
missä dm/dt= - 2 kg/s. m(t) = (10 100) - 2*t. m(0) = 110. m(t0) = 10 kun t0 on hetki jolloin polttoaine loppuu eli t0 = 100/2 = 50 (s)
Maan pinnalla gravitaatio FG(R) = - G M m/R^2 =- mg missä g = GM/R^2. Korkeudella h on gravitaatio FG(R h) = - GMm/(R h)^2 = - R^2/(R h)^2 * g.
Tässä h = h(t) (ajan funktio) ja liikeyhtälöksi tulee
(1) d(mv)/dt = 1200 FG((R h(t)) kun 0 <= h <= h(t0)
. Suunta ylöspäin on tässä siis positiivinen ja alaspäin negatiivinen.
Hetkellä t0 on sondi saavuttanut nopeuden v(t0).Tuo nopeus lasketaan liikeyhtälöstä (1). Tämän jälkeen siihen eli massaan m(t0) = 10 vaikuttaa yksistään gravitaatio joten nyt liikeyhtälö on
(2) 10 dv(t) /dt = FG(R h(t))
missä t0 <= t <= tl, missä tl on aika joka kuluu lakikorkeuteen nousemiseen. Koko lentoaika ylöspäin on siis tl.
Kun t= t0 non sondi saavuttanut yo. liikeyhtälöstä laskettavan nopeuden v(t0).
Tämän jälkeen v(t) lasketaan liikeyhtälöstä (2)
Lakikorkeus saavutetaan kun v(tl) = 0.
Laskepa noin. Ei taida mennä ihan päässälaskulla kuten täällä jotkut luulivat!
Lisään vielä, että hetken t0 jälkeen liikeyhtälöstä (2) siis saadaan v(t) (t0 <= t <= tl)
v(t) = v(t0) - Int(t0 <= t <= tl) (dv/dt) dt
Sondin korkeus maanpinnasta h(t) on
h(t) = h(t0) Int(t0 <= t <= tl) v(t) dt.
Kysytty lakikorkeus on h(tl)
Oikeastaan pitää kirjoittaa v(t) = v(t0) Int(t0 <= t <= tl) (dv(dt)) dt sillä käyttämilläni merkinnöillä on dv/dt < 0.
Luin uudestaan ja huomasin pikku virheen. Massaan m vaikuttava gravitaatio korkeudella h on tietenkin
FG(R h) = - R^2/(R h)^2 m g
jossa siis m = m(t) = 110 - t*2 kun 0 <= t <= t0 ja m(t) = 10 kun t0 <=t <= tl.
Tuo m oli pudonnut yllä olevasta kommentistani pois.
no mikä se vastaus on?
Olettaisin sen menevän jotenkin näin:
s''(t) = F/mg
Hossa m=f(t)
ja g= f(s)
Riippuvuudet kaavaan, ja wolframiin, derivoimala löytyy loppunopeus ja siitä saa sitten sen vapaan nousun.
Mielenkiintoista askartelua ajalta ennen digitaaliaikaa.
Onko jo keksitty digitaalisia raketteja? Pääsisikö niillä kuuhun asti?
Hups.
Se miinusmerkki ennen g.tä, jäi pis.
Polttoaine palaa 50 s, raketin paino siis muuttuu seuraavasti
m(t) = 110-2*t
Siten liikeyhtälö:
(110-2*t)*dv/dt = -9,8*(110-2*t) 1200, mistä
v = 2404 - 9,8*t -600*ln(55-t)
Raketin polton loppuessa nopeus on siis 950 m/s.
Kun tuo v:n lauseke integroidaan 0->50, saadaan korkeudeksi polton loputtua 10,5 km.
Sondi jatkaa nousuaan 950/9,8 = 97 s ajan ja nousee lisää korkeutta 46 km.
Maan vetovoiman pienenemisen takia hieman lisää.
Mahtoikohan mennä oikein?
Aika lailla samaan päädyit, kuin minäkin tuolla alussa.
Tuota painovoiman pienenemisen vaikutusta voisi karkeasti arvioida. Rakettimoottorin palaessa nousu on siis noin 10 km. Jos otetaan puolivälistä 5m ja lasketaan neliöt etäisyydestä maan keskispisteeseen siinä korkeudessa ja maan pinnalta, saadaan suhde 1,0015. Jos g=9,81, tuo laskelmassa valittu 9,8 vastaa hyvin keskimääräistä painovoimakiihtyvyyttä. Vapaalle nousulle voidaan vastaavasti valita keskikorkeus 28 km. Etäisyyksien neliöiden suhde on silloin 1,0088, eli nousukorkeutta 46 km pitää lisätä vajaalla prosentilla. Joten koko nousukorkeudelle saadaan arvio 57 km kahden numeron tarkkuudella.
Vastauksesi on virheellinen. Liikeyhtälössäsi ei oteta huomioon gravitaation muutosta korkeuden funktiona ja lisäksi vasemmalla puolella tulee olla d (mv)/dt eli m'(t) * v(t) m(t) * v'(t).
Aloittaja nimenomaan mainitsi tuon gravitaation riippuvuuden korkeudesta joten nei sitä tehtävässä voi jättää pois. Ja Newtonin laki pitöö kirjoittaa F(t) = d/dt (mv).
Anonyymi/eilen 10:44 lisäkommentteineen antoi oikean selostuksen siitä, miten pitää laskea. Sen jälkeiset kommentit ovat turhaa höpinää, ilmeisesti luetun ymmärtämisen puutetta.
Alan nyt itse epäillä tuota laskuani. Tautaa olla niin että tuota kaavaa F = d/dt (mv) ei voi tässä käyttää. Mutta en nyt tähän hätään muista onko tosiaan niin.Se on kyllä joissain kirjoiissa esitetty noin mutta muistelen sitä kritisoidun. En nyt tähän hätään keksi mistä siinä oli kyse., Ikäänkuin Newtonin laki sopisi vain vakiomassalle.
No kerropa sitten, mikä on oikea vastaus! Et sattunut huomaamaan, että ennen viestiäsi laitoin lisätarkastelun painovoiman muutoksen vaikutuksesta. Oma ratkaisuni on lähellä sitä, mitä ensimmäinen vastaaja arvioi. Tuon 10:44 kirjoitettua ratkaisumenetelmää kommentoin toisessa viestissä.
Olen samaa mieltä, että sitä ei voi noin käyttää. Nimittäin (dm/dt)*v termissä tuo v pitäisi olla suihkuavan polttoaineen nopeus eikä sondin nopeus. Voisit käyttää tuota noin, jos tarkastelet vaikkapa sora-autoa, joka kiihdyttää tiellä samalla kun siitä valuu soraa tielle. Silloin tuo nopeus v olisi yhtä kuin auton nopeus . Mutta jos tuo pois lähtevä massa saa vauditusta vastaikkaiseen suuntaan, on impulssin muutos luonnollisesti suurempi.
"Sen jälkeiset kommentit ovat turhaa höpinää, ilmeisesti luetun ymmärtämisen puutetta."
Sinulla tuntuu puolestan olevan fysiikan ymmärtämisen puutetta!
Tarkennettu laskelmani antaa 10 km 50 km = 60 km.
Aloittajan kannattanee käyttää tehtävän ratkaisun tarkistamiseen rakettiyhtälöä, tunnetaan myös nimellä Tsiolkovskin laki.
Häh !
Kyseessä on pelkkä laskuharjoitustehtävä, kyllä tämän pitäisi aueta ilman 'rakettitiedettäkin'.
Tsiolkovskin yhtälö ei ota huomioon painovoimaa.
Lisäksi tässä tehtävässä annettiin tuo työntövoiman suuruus, ei tarvita mitään rakettiyhtälön suihkunopeuksia.
Jos myös painovoiman muutos otetaan suoraan huomioon, diffisyhtälö olisi käsittääkseni:
h''(t) = -9,81/(1 h(t)/6570000)^2 1200/(110-2*t)
Muttaaika paha tuota on ratkoa.
Vakio.g:llä tuon yhtälön ratkaisu on muotoa h= a*t^2 b*t (c-600*t)*ln(55-t)-d. Eli voitaisiin mennä vaikkapa sekunti kerrallaan eteenpäin, laskea uusi h:n arvo ja sitä kautta uusi g ja toistaa. Vastaavasti vapaan housun aikana h = (1/2)*g* t^2 ja h''(t) = g*dt/(1 h(t)/6570000)^2 ja tuokin voitaisiin ratkaista askelittain.
Vielä tuosta impulsiin muutoksen m*(dv/dt) (dm/dt)*v käytöstä.
Ajatellaan tilanne, että on vyyhti hekkäliikeistä ketjua tasolla vyyhtinä. Ketju kulkee ylempänä olevan kitkattoman pyörän yli ja roikkuu niin, että sen pää on tasoa alempana. Vielä alempana on toinen taso, jolle ketjua voi kasaantua.
Kun ketju päästetään irti, se lähtee liikkeelle. Liikeyhtälössä on otettava huomioon (dm/dt)*v termi, sillä liikkeellä oleva ketju tempaa vyyhdistä mukaan uutta ketjua vauhtiin v(t). Ketjun massan muutos on toki otettava myös huomioon.
Mutta kun ketjua alkaa kertyä alemmalle tasolle, tuota termiä (dm/dt)*v ei oteta huomioon, sillä ketjun osan pysähtyminen tasolle ei vaikuta muun ketjun liikkeeseen. Vain massan muutos otetaan huomioon.
Kuorma kevenee, kun moottori suihkuttaa kaasua. Työntövoima on F=(dm/dt) * V0, eli massavirta kertaa suihkun nopeus V0. F on nyt annettu valmiina eli 1200 N. Kun dm/dt = 2 kg/s, niin V0= 600 m/s.
Ei kai tuota termiä (dm/dt)*v enää pidä tässä ottaa mukaan, v on sondin nopeus (alussa jopa nolla). Jos ajatellaan, että on vain jokin voima F (vaikka potkurilla), joka vaikuttaa sondiin, niin tuon termin mukaan ottaminen vastaa sitä, että kuormaa kevennetään nopeudella v eli pudotetaan vain "laidan yli".
Ei tuossa mitään ketjua ole käytössä. Jos haluaa mekaanisen analogian, niin sitten pudotellaan kiviä tai laakerikuulia. Ne putoavat ihan itsestään ties minne painovoiman vaikutuksesta eivätkä ne mitään tempaa mukaansa.
Mene sinä pudottelemaan kiviä äläkä sekaannu keskusteluun, jota et ymmärrä.
Varmaan parempi olisi, jos ketjuttaisit itsesi sinne alemmalle tasolle.
Olen nyt tullut sille kannalle että tuossa 26.5 10:44 - kommentissani liikeyhtälössä pitää tosiaan olla m(t) v'(t) ja se termi m'(t) v(t) on liikaa. Muuten esitykseni lisäkorjauksineen on oikein. Eli vielä näin: p.o. m(t) v'(t) eikä d/dt (m(t) v(t)) kuten tuolloin kirjoitin.
Mitenkä otat huomioon massan vähenemisen nousun aikana? Voitko laskea tuloksen vakio-g-tapaukselle, niin voidaan verrata muihin tässä ketjussa saatuihin tuloksiin.
Kerroin jo ihan tuon kommenttini /26.5 10:44 alussa, että massa on
m(t) = 110 - t*2. m(0) = 110 ja m(t0) = 10 kun polttoaine loppuu eli t0 = 50 (s).
Aloittaja nimenomaan huomautti että gravitaatio riippuu korkeudesta joten tämä seikka on otettava huomioon.
Tuo virheellinen kaava muuten esiintyy joissain hyvissäkin oppikirjoissa. On jopa selitetty, kuinka Newton kaukonäköisesti kirjoitti F = dP/dt, missä P on liikemäärä, eikä kirjoittanut F = m a.
Raketin liike seuraa tarkastelemalla ulos suihkuavan polttoaineen ja itse raketin sen sisällä vielä olevan polttoaineen liikemääriä. Näiden tulee olla itseisarvoltaan samat mutta vastakkaissuuntaiset.Siitä seuraa oikea tapa käsitellä asiaa.
Eihän tuo kaava ole virheellinen. Tässä tehtävässä tuo massan vähenemisestä aiheutuva liikemäärän muutos tulee huomioitua työntövoimassa. Ja joissakin tapauksissa tuossa termissä (dm/dt)*v tuo v voi olla tarkasteltavan kohteen nopeus. Kussakin tapauksessa pitää erikseen tulkita tuon termin merkitys.
Aloittaja ei täsmennä, millä tasolla tehtävä pitää ratkaista. Jos tärkeintä on vain lopputulos, riittää hyvin ratkaista vakio-g:llä ja sitten tehdä likimääräiskorjaus g:n muutokselle. Voidaan myös johtaa eksakti diffisyhtälö mutta se pitää ratkaista numeerisesti tietokoneohjelmalla.
Kyllä se on virheellinen, vaikka esiintyykin joissakin oppikirjoissa. Tuossa liikemäärätarkastelussa pitää tietää suihkun nopeus (exhaust velocity)Q joka ei ole sama kuin raketin nopeusV.Q lasketaan siis raketin suhteen.
(1) m'(t) Q(t) = m(t) V'(t)
Kun rakettiin vaikuttaa ulkoinen voima (esim. gravitaatio) F(t) on liikeyhtälö
F(t) = m(t) * v'(t) - m'(t) Q(t)
tai toisin
F(t) = (m(t) V(t))' - m't)( V(t) Q(t))
Sekä F(t) = m(t) v'(t)
että
F(t) = (mV)'(t)
ovat virheellisiä! Ne ovat kumpikin ristiriidassa yhtälön (1) kanssa . Tuo ensimmäinen on vastoin yhtälöä (1) kun F=0 paitsi jos Q = 0 ja toinen silloin kun F = 0 paitsi jos Q = - V.
Ei tämä kyllä valitettavasti selvinnyt yhtään. Raketilla on se ulkoinen voima, eli gravitaatio, mutta tehtävässä sanotaan myös, että sen moottori tuottaa työntövoiman F=1200 N. Mihinkäs se tuossa sijoitetaan ?
Onko se jompi kumpi m'(t) Q(t) tai m(t) V'(t) ?
Tuo dp/dt ei ole virhellinen, sen sijaan tuo d(mv)/dt on tässä tehtävässä, jossa
dP/dt = m*(dvdt) (dm/dt)*u, missä v on sondin nopeus u on siitä ulos purkautuvien kaasujen nopeus. Annetuista arvoista voidaan laskea u arvoksi 600 m/s ja se kerrottuna massan vähenemisellä 2 kg/s antaa tuon voiman 1200 N, jota voidaan käyttää suoraan diffisyhtälössä.
Eli tuo dp/dt pitää tulkita tapauskohtaisesti. on tapauksia, joissa se on d(mv)/dt, esim tuolla edellä esittämässäni ketjutehtävässä.
Voihan se olla vesirakettikin. Tosin ulospurkautuvan massan nopeudella ei ole yhtään mitään merkitystä kun kerran työntövoima on tehtävässä annettu.
Moottorin toimiessa yhtälö on:
m(t)*(dv/dt) = F - m(t)*g(h)
Arvot sijoitettuna vakio-g:llä:
(110-2*t)*dv/dt =1200 - 9,8*(110-2*t)
Ratkaisu v:lle on:
v = 2404 - 9,8*t -600*ln(55-t)
mikä antaa 50 s kuluttua nopeudeksi 948 m/s
Jos intergroidaan v ajan suhteen, saadaan korkeuden kaava:
h = -4,9*t^2 3004*t (33000 - 600*t)*ln(55-t) - 132242
mistä saadaan 50 s kuluttua korkeudeksi 10 536 m.
Kaava ei ole kovin herkkä painovoiman arvolle, esim g=9,7 antaa korkeuden 10661 m.
Vapaa nousu tapahtuu saavutetulla nopeudelle v = 948 m/s ja korkeuden kaava on:
h = v^2/(2*g)
Arvolla g=9,8 saadaan 45 852 m ja arvolla g=9,7 saadaan 46 325 m.
Arvio nousukorkeudelle on siis hieman alle 57 km.
Nollan arvoinen suoritus. Jos kerran tehtävässä selvästi mainitaan että gravitaatio on otettava huomioon, niin jaarittelut jostain herkkyyksistä eivät tuota edes kymmentä pistettä ja papukaijamerkkiä.
Heh-heh-heh. Olisikohan että happamia.... Kun ei itse kykene tehtävää ratkomaan, niin pitää täällä päivystää muille kettuilemassa.
Vielä approksimaatioista: maan vetovoima muuttuu funktion (1 h/R)^2 mukaisesti. Sitä saadaan hyvä approksimaatio funktiolla 1 2*h/R (virhe < 10^-4 tehtävässä kyseesseen tulevilla arvoilla). Sen avulla voitaisiin molemmat tapaukset (nousu moottorilla ja vapaa nousu) ratkaista eksponenttimuotoisina. Mutta aika työlästä, en lähde sitä tässä tekemään.
Tai siis 1/(1 h/R)^2 mukaisesti. Jos g on lausekkeen nimittäjässä, saadaan osoittajaan tuo lauseke 1 2*h/R. Jos g on osoittajassa, voidaan kertoa lausekkeella 1/(1-h/R)^2, jolloin, kun toiset potenssit asetetaan nollaksi, saadaan osoittajaan 1-2*h/R.
Laskin nyt kuitenkin vielä tuolla likimääräiskaavalla "vapaan nousun" osuuden. Siis painovoiman oletetaan riippuvan korkeudesta seuraavan kaavan mukaisesti:
g(h) = 9,8*(1-2*h/6370000)
Silloin vapaan nousun liikeyhtälöksi saadaan:
h''(t) = (2*h(t)/6370000-1)*9,8
Sen ratkaisuiksi saadaan:
h(t) = 3185000 - 1862720*exp(-0,001754*t) -1322280*exp(0,001754*t)
v(t) = 3267*exp(-0,001754*t) - 2319*exp(0.001754*t)
Vapaassa nousussa sondilla oli siis alkuvauhti 948 m/s. Nousu kestää 97,7 s. Nousukorkeus on 46,2 km, eli vajaan prosentin enemmän kuin vakioarvoa g=9.8 käytettäessä.
Loppunousu voidaan laskea tuostakin: dv/dt=-gR^2/(R y)^2 <=> vdv=-gR^2/(R y)^2 dy,
siis, jos on jotenkin onnistunut laskemaan ne alkuarvot v=948 m/s, ja y=10536 m
Integrointi y:n suhteen=> ½v^2=gR^2/(R y) ½*948^2-gR^2/(R 10536) => v=0, y=56826m
(56826-10536=46290)
En pääse oikein millään samaan tulokseen.
Laskin vain suuruusluokkaa, ilman gravitaation muutosta ja g.n arvolla 10 välttääkseni turhia desimaaleja.
Nopeus oli n. 950m/s, mutta matkaksi WA tarjosi tällaista :
y(x) = c_1 - 5 x^2 3000 x - 600 x log(55 - x) 33000 log(55 - x)
Missähän meni vikaan ?
Auts !
Ei mikään huolimattomuus vihre paholainen.
Tuolla joitakin viestejä aiemmin on mun viestini, jossa on tehty samanlaista laskelmaa. Siinä saatiin:
h = -4,9*t^2 3004*t (33000 - 600*t)*ln(55-t) - 132242
Eli samanlaista. Tuo vaan on normeerattu siten, että h(0)=0.