Jahti tietovisassa kilpailija aloittaa n1 askeleen päässä maalista ja jahtaaja aloittaa n2 askeleen päässä maalista (n2>n1 1). Visassa kysytään kysymys johon pelaaja sekä jahtaaja molemmat vastaavat. Jos vastaus menee oikein, etenee yhden askeleen kohti maalia. Mikäli jahtaaja saa pelaajan kiinni (eli pääsee samaan ruutuun kuin pelaaja, nämä ruudut ovat niitä missä askelletaan), häviää pelaaja. Mikäli pelaaja pääsee maaliin, voittaa hän potin.
Pelaajalle tarjotaan mahdollisuutta aloittaa yksi askel kauempaa, eli n1 1 askeleen päästä maalista, jolloin potti olisi W2, kun se normaalista aloitusruudusta aloitettaessa on W1.
Oletetaan, että jokaisen kysymyksen kohdalla pelaaja vastaa oikein todennäköisyydellä p1 ja vastaavasti jahtaaja todennäköisyydellä p2 ja että nämä ovat riippumattomia toisistaan.
Millä ehdolla pelaajan kannattaa tarttua tarjoukseen?
Tässä ajatellaan vain tätä yhtä jahtikierrosta eli alkuperäiseen peliin kuuluvaa joukkueen yhteispeliä, finaalijahtia ei huomioida, vaan pelaaja voittaa potin heti itselleen. Lisäksi tuo yksinkertaistava riippumattomuusoletus, joka ei välttämättä oikeassa pelissä pidä paikkaansa (esim. jos tulee helppo kysymys, niin molempien tietotn nouseee, mutta toisaalta noissa p:eissä on jo huomioitu se millä tn:llä millaisiakin kysymyksiä tulee, noh kuitenkin tehdään nyt tuo riippumattomuusoletus, niin päästään tässä analyysissä jotenkin alkuun :D ).
Pelaajalle tarjotaan mahdollisuutta aloittaa yksi askel kauempaa, eli n1 1 askeleen päästä maalista, jolloin potti olisi W2, kun se normaalista aloitusruudusta aloitettaessa on W1.
Oletetaan, että jokaisen kysymyksen kohdalla pelaaja vastaa oikein todennäköisyydellä p1 ja vastaavasti jahtaaja todennäköisyydellä p2 ja että nämä ovat riippumattomia toisistaan.
Millä ehdolla pelaajan kannattaa tarttua tarjoukseen?
Tässä ajatellaan vain tätä yhtä jahtikierrosta eli alkuperäiseen peliin kuuluvaa joukkueen yhteispeliä, finaalijahtia ei huomioida, vaan pelaaja voittaa potin heti itselleen. Lisäksi tuo yksinkertaistava riippumattomuusoletus, joka ei välttämättä oikeassa pelissä pidä paikkaansa (esim. jos tulee helppo kysymys, niin molempien tietotn nouseee, mutta toisaalta noissa p:eissä on jo huomioitu se millä tn:llä millaisiakin kysymyksiä tulee, noh kuitenkin tehdään nyt tuo riippumattomuusoletus, niin päästään tässä analyysissä jotenkin alkuun :D ).
Vastaukset 7
Vanhimmat
Taitaa olla aika vaikea tehtävä täydellisesti ratkaistuna. Mutta jos itse olisin jahdattavana, varmaan laskisin summittaisesti binomijakauman odotusarvon np perusteella. Merkkaan nyt omaa todennäköisyyttäni vastata oikein kysymykseen p ja jahtaajan vastaavaa todennäköisyyttä q. Maaliin pääsee m oikealla vastauksella ja alussa jahtaajan ja jahdattavan ero on e oikeaa vastausta. Silloin kun molemmilla on yhtä suuri odotusarvo päästä maaliin samalla kysymysmäärällä, pätee:
q/p = 1 e/m
Tuosta voisin pohdiskella, mikä pitää oman oikeinvastaamistodennäköisyyteni olla suhteessa jahtaajan vastaavaan eri parametrin e arvoilla.
Jotta kannattaisi, pitää olla
W2 / W1 > P(voittaa | aloittaa n1:stä) / P(voittaa | aloittaa n1 1:stä)
Sain ratkaistua oikean puolen suhteelle kaavan, mutta sen monimutkaisuus kasvaa hyvin nopeasti, kun n1 ja n2 kasvavat.
Tässä esim. tapaus n1=5 (eli normaali potti 5 askeleen päästä, isompi 6 askeleen; mulla tuolla koodeissa on n1 merkityksessä 'suurin mille lasketaan', niin se on siellä 6, älkää siitä hämääntykö, jos niitä katselette :D) ja n2 = 8, joka oikeassa TV-pelissä nähtävästi on:
https://repl.it/repls/CanineFrivolousSearch#main.py
Kaava on siis tuolla Python-koodina, se olisi liian pitkä tänne laitettavaksi. (Huom. osoittaja ja nimittäjä eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, vaan niitä on supistettu termillä (p1*p2 - p1 - p2)^27 ). Siellä on myös toisessa tiedostossa Sage-koodi, jolla generoin tuon kaavan.
Tässäkin voidaan normalisoida tilassa paikallaan pysyminen pois:
https://repl.it/repls/GlisteningInsecureNumbers#main.py
Nyt lauseke lyhenee aika mukavasti. Näkisikö noista kertoimista jotain kaavamaisuutta?
Turha miettiä, koska TV-yhtiö säätelee voittoja ollessaan näyttämättä Jahtaajan vastausta tv-katsojille, mihin ei olisi muuten mitään syytä.
Kyllähän TV-yhtiö voisi säädellä, vaikka jahtaajan vastaus tulisi heti näkyviin 5 s päästä. Napin painallus olisi feikkiä ja joku takahuoneesta valitsisi jahtaajan vastauksen. Mutta siinä lopullisessa jahdissa vastataan suullisesti jolloin manipulointi on vaikeampaa.
Aika usein jahtaaja kertoo perusteluita valinnalleen, joten uskon rehelliseen peliin.
Jahdissa saadut voitot ovat kaiken kaikkiaan aika pienet verrattuna Nelosen Wall'iin, jossa nettoaa kymppitonneja aiika heikoilla tiedoilla.
Jahti on painotettu Delannoy Schröder ( https://en.wikipedia.org/wiki/Delannoy_number , https://en.wikipedia.org/wiki/Schröder_number ) eli lasketaan reittejä oikeasta ylänurkasta alariville (Wikipediassa mennään alanurkasta ylös, mutta sama asia) seuraavan näköisessä ruudukossa (mutta Schröderissä vaseman reunan lähtöarvot tulevat Delannoysta, joten ei se suoraan painotettu Schröder ole)
# # #
# # # #
# # # # #
# # # # # #
## # # # # #
Tässä rivi-indeksi juoksee ylhäältä n1:stä 1:een ja tarkoittaa kuinka monen askeleen päässä kilpailija on maalista. Vastaavasti sarake-indeksi n2:sta 1:een on jahtaajan etäisyys maalista.
Askel oikealle = jahtaaja tietää, kilpailija ei
Askel alas = kilpailija tietää, jahtaaja ei
Viisto askel = molemmat tietää
Se, että kumpikaan ei tiedä on taas normalisoitu pois. Summataan alariville tulevat arvot ja sitten vielä kerrotaan kerran kilpalijan onnistumisella, jotta hän pääsee maaliin.
https://repl.it/@minkkilaukku2/JahtiQuizzAnalysis#main.py
Muuten, jos noppatehtävässä jotkin silmäluvut olisivat sekä "onnistuminen" että "epäonnistuminen", niin sehän olisi diagonaali-askel ja tehtävä olisi suoraan Delannoy. Onhan se sitä tosin painolla gamma=0 sellaisenaankin. Ai, niin tässä video painotetuista Delannoy luvuista: https://vimeo.com/25262063 , josta löytyy kaava (kohdassa 3:50)
u_{r,s} = sum_{k=0}^r binomial(r, k) * binomial(s. k) \alpha^{r-k} * \beta^{s-k} (\alpha \beta \gamma)^k
Vasemmasta ylänurkasta tarkoitin!