Raja-arvon delta-epsilon-määritelmässä sanotaan, että
lim x-> a f(x)=L täsmälleen silloin, kun jokaiselle luvulle ε>0 löytyy δ>0 siten, että
|x-a|<δ => |f(x)-L|<ε.
Miksi määritelmässä ei sanota mitään deltan ja epsilonin riippuvuudesta? Kun epsilon pienenee, deltan tulisi pienetä myös.
Entä jos yllä olevassa tapauksessa löytyisikin aina delta, joka kasvaa aina epsilonin pienentyessä, eli etäisyys kohdasta x=a kasvaa? Eikö silloin tuon määritelmän mukaan silti raja-arvo lim x-> a f(x)=L olisi totta?
lim x-> a f(x)=L täsmälleen silloin, kun jokaiselle luvulle ε>0 löytyy δ>0 siten, että
|x-a|<δ => |f(x)-L|<ε.
Miksi määritelmässä ei sanota mitään deltan ja epsilonin riippuvuudesta? Kun epsilon pienenee, deltan tulisi pienetä myös.
Entä jos yllä olevassa tapauksessa löytyisikin aina delta, joka kasvaa aina epsilonin pienentyessä, eli etäisyys kohdasta x=a kasvaa? Eikö silloin tuon määritelmän mukaan silti raja-arvo lim x-> a f(x)=L olisi totta?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Deltan ja epsilonin riippuvuudesta ei tarvitse sanoa mitään, riittää että jokaiselle epsilonille löytyy jokin delta. Tämä on jatkuvuudelle riittävää ja määritelmään ei oteta mitään ylimääräistä.
Huomaa, että se "pienenevä delta" voidaan toisaalta aina valita, sillä jos jokin delta δ_1 löytyy, niin myös kaikki sitä pienemmät luvut δ_2 kelpaavat, sillä
|x-a|<δ_2 => |x-a|<δ_1,
kun
δ_2 < δ_1.
Jos löytyisi kasvava delta (en kyllä keksi nyt äkkiä muuta esimerkkiä kuin vakiofunktio, jossa nän kävisi), niin kyllä, määritelmä pitäisi silloinkin paikkansa. Silloinhan se vasta totta olisikin, koska se sanoo, että oltiinpa miten kaukana pisteestä a tahansa, niin kuvapisteet ovat silti mielivaltaisen lähellä L:ää.
Joo, nyt kun mietin, niin kyllä f:n on silloin vakiofunktio oltava. Sillä jos jokin arvo f(b) on eri kuin L, niin otetaan epsilon ensin tarpeeksi pieneksi, että delta on suurempi kuin |a-b| (koska oletettiin, että se kasvaa (tai jos ei kasva rajatta, niin silti ainakin a:n lähellä f:n oltava vakio)), jolloin |f(a)-f(b)| < ε ja sitten edelleen pienennetään epsilonia, niin että tämä aiheuttaa ristiriidan, koska L != f(b).
Tai raja-arvossahan ei sanota mitään f:n arvosta pisteessä a, joten siinä se voi olla mitään vaan, mutta muuten a:n lähellä vakio, jos nyt oletetaan esim., että jokainen "löydetty delta" on suurempi kuin jokin kiinnitetty luku r>0. Tämähän on intuitiivisestikin selvää, kun ajattelee, että f kuvaa jokaisen välin (a-r, a r) mielivaltaisen pieneen väliin (L-ε, L ε) eli arvoon L:hän sen koko välin on siis mentävä.
Jos l f(x) - L l < e kun l x - al < d niin tietenkin e-epäyhtälö pätee myös kun l x - a l <c < d.