lim x→a f(x)=L ⇔ (∀ε>0, ∃δ>0, |x-a|<δ ⇒ |f(x)-L|<ε)
Mistä tulee tuo määritelmän ∀ε>0?
Miksei riitä, että lause pätee joillain luvuilla ε, joille 0<ε<C<∞?
Mistä tulee tuo määritelmän ∀ε>0?
Miksei riitä, että lause pätee joillain luvuilla ε, joille 0<ε<C<∞?
Vastaukset 3
Vanhimmat
∀ε>0 on aivan oleellinen! Ilman sitä raja-arvo ei olisi edes yksikäsitteinen. Mieti vaikka askelfunktiota, joka on 0, kun x<0 ja tekee hypyn arvoon a origossa. Sillähän ei ole raja-arvoa origossa, mutta jos valitaan ε = a 1, niin ehto
|f(x)-0| < ε
pätee aina. Ja itse asiassa voitaisiin valita L:ksi muutakin kuin 0, joten tästä nähdään myös tuo, että raja-arvo ei olisi yksikäsitteinen.
Siis, mikäli vaaditaan vain että jokin ε löytyy, niin "pientä skaalaa" ei saada tarkistettua.
Oletetaan, että l f(x) - L l < e kun l x - a l < d . Tällöin voi esimerkiksi olla niin että l f(x) - L l >= e/2 koko tuolla välillä lx - a l < d.Tällöinhän f:n arvo pysyy "kaukana" L:stä koko ajan eikä L mitenkään ole f:n raja-arvo.
Täytyy olla niin, että valittiiinpa mikä hyvänsä e > 0 tuo ehto l f(x) - L l < e täyttyy kunhan sopiva d löytyy.
ideanahan tuossa on, että kun lähestytään raja-arvokohtaa eli delta pienenee, pitää funktion arvon lähestyä raja-arvoa, sitä lähemmäs mitä pienempi on delta. Tuon matemattisesti täsmällinen ilmaisu vaatii tuollaisen äkillisesti vaikeasti hahmotettavan formuloinnin.