Pythagoraan kolmiot
Jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat A, B, C missä C = hypotenuusa, niin:
Jos käsitellään siis vain niitä suorakulmaisia kolmioita, joissa A,B ja C ovat kokonaislukuja, ja lisäksi vielä eliminoidaan pois käsiteltävien kolmioiden joukosta sellaiset, joissa A > B:
Onko mahdollista, että voisi olla 2 erilaista kolmiota siten, että:
1. kolmio = A1, B1, C
2. kolmio = A2, B2, C
jossa siis A1 ≠ A2.
Mikäli ei ole mahdollista, onko tämä todistettavissa, vai onko tämä 1 niistä matematiikan outouksista, joiden yleisesti uskotaan olevan totta, mutta silti kukaan ei ole onnistunut sitä todistamaan ?
Jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat A, B, C missä C = hypotenuusa, niin:
Jos käsitellään siis vain niitä suorakulmaisia kolmioita, joissa A,B ja C ovat kokonaislukuja, ja lisäksi vielä eliminoidaan pois käsiteltävien kolmioiden joukosta sellaiset, joissa A > B:
Onko mahdollista, että voisi olla 2 erilaista kolmiota siten, että:
1. kolmio = A1, B1, C
2. kolmio = A2, B2, C
jossa siis A1 ≠ A2.
Mikäli ei ole mahdollista, onko tämä todistettavissa, vai onko tämä 1 niistä matematiikan outouksista, joiden yleisesti uskotaan olevan totta, mutta silti kukaan ei ole onnistunut sitä todistamaan ?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Pythagoraan kolmikot voidaan parametrisoida kahdella parametrilla. Jokaiselle parille m, n, kolmikko
A = 2mn
B = n^2 - m^2
C = m^2 n^2
on pythagoraan kolmikko. (Tai kumpi luvuista 2mn ja n^2-m^2 sattuu olemaan pienempi, pistetään A:ksi, kun nyt sellainen järjestys halutaan.) Jotta saataisiin sama C eri pareilla m1, n1 ja m2, n2, niin kyseisen luvun C täytyy olla esitettävissä kahden neliön summana usealla tavalla. Tällaisiahan löytyy (ja ongelma on klassinen, ratkaisujen lukumäärä riippuu luvun muotoa 4k 1 olevien alkutekijöiden määrästä, ks. esim https://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html ). Esimerkiksi
65 = 1^2 8^2 = 4^2 7^2, joten löydetään Pythagoraan kolmikot
(16, 63, 65)
ja
(33, 56, 65)
joissa siis molemmissa C=65, mutta A ja B ovat eri.
Kannattaa opetella tekemään pieniä Python-ohjelmia. Keksi jokin lisärajoitus, niin ei ole ihan näin helppoa.
c, b, a
25 20 15
25 24 7
50 40 30
50 48 14
65 52 39
65 56 33
65 60 25
65 63 16
75 60 45
75 72 21
85 68 51
85 75 40
85 77 36
85 84 13
100 80 60
100 96 28
125 100 75
125 117 44
125 120 35
130 104 78
130 112 66
130 120 50
130 126 32
145 105 100
145 116 87
145 143 24
145 144 17
150 120 90
150 144 42
169 120 119
169 156 65
170 136 102
170 150 80
170 154 72
170 168 26
175 140 105
175 168 49
185 148 111
185 153 104
185 175 60
185 176 57
195 156 117
195 168 99
195 180 75
195 189 48
Jos c on alkuluku, ratkaisuja ei löydy. Vai löytyykö sittenkin? Tuossa on jo vähän miettimistä.
Mikähän se "johtoajatus" tuossa jutussasi oikein on? Kadotin kyllä sen kuten Honkajoki aikoinaan Tuntemattomassa sotilaassa kadotti omansa.
Aloituksesta puuttui selvästi jokin lisärajoite, joka tekisi tehtävästä oikeasti hankalan.
Esim. kahden sivun pituus pitää olla alkuluku ja kolmannen pituus 2*alkuluku. Luvut saattavat kasvaa niin suuriksi, ettei kukaan ole vielä viitsinyt lähteä tosissaan hakemaan niitä.
Noilla ehdoilla ei löydy. Jos C on alkuluku, niin se ei ole kahden neliön summa kuin yhdellä tavalla, joten parametrit m ja n on määrätyt. Ja toisaalta, jos se parillinen (olkoon nyt A) on 2*alkuluku, niin, koska A = 2*m*n, täytyy olla m=1, jolloin
B = n^2 - 1 = (n 1)(n-1) ei ole alkuluku.
Tuo näkyy suoraan jo Pythagoraan yhtälöstä ilman mitään parametrejakin.
C^2-A^2 = (C-A)*(C A) = B^2
Eli B ei voi olla alkuluku edes yhtä kertaa.
A voi olla alkuluku, vain jos C-B = 1 ja C B on alkuluvun neliö.
C ja A voivat olla molemmat alkulukua. Tuollaisia pareja löytyy 101 kpl, jos C<10^7.
Ei tietystikään kahta samalla C:n arvolla.
Aloittajan tehtävästä ei siis taida syntyä millään konstilla kovin vaikeaa. Kannattaa siirtyä kuutioihin. Esim. Millä (positiivisten) alkulukujen A, B ja C arvoilla A^3 - B^3 - C^3 = 3 ? Onko ratkaisuja ääretön määrä? Onko mahdollista laskea edes yksi tapaus? Kannattaako edes yrittää?
Pitäisi myös keksiä joku menetelmä ison luvun todistamiseksi alkuluvuksi. Tuota pidetään käytännössä mahdottomana, joten ...
Alla lista pienistä kolmioista, joissa C ja A ovat alkulukuja. Jos laittaa Googleen hauksi listan kymmenestä ekasta A:n arvosta, löytyy sivu https://oeis.org/A048161 ja siitä paljon lisää tietoa. Näitä tutkittiin innokkaasti 1700-luvulla.
C B A
5 4 3
13 12 5
61 60 11
181 180 19
421 420 29
1741 1740 59
1861 1860 61
2521 2520 71
3121 3120 79
5101 5100 101
8581 8580 131
9661 9660 139
16381 16380 181
19801 19800 199
36721 36720 271
60901 60900 349
71821 71820 379
83641 83640 409
100801 100800 449
...