Jos p > 5 on alkuluku ja se jaetaan luvulla 6 käyttäen jakoyhtälöä, mitkä jakojäännökset ovat mahdollisia?
Jakoyhtälö: p = qb r, missä q on kokonaisluku ja 0 ≤ r < 6 on jakojäännös.
Jos tuota muokkaa muotoon r = p - qb, niin tuossa ovat mahdolliset jakojäännökset, mutta mitä tämä tarkoittaa?
r = 7 - 6q → q = 1 ja r = 1
r = 11 - 6q → q = 1 ja r = 5
r = 13 - 6q → q = 2 ja r = 1
r = 17 - 6q → q = 2 ja r = 5
r = 19 - 6q → q = 3 ja r = 1
r = 23 - 6q → q = 3 ja r = 5
r = 29 - 6q → q = 4 ja r = 5
r = 31 - 6q → q =5 ja r = 1
r = 34 - 6q → q = 5 ja r = 4
r = 41 - 6q → q = 6 ja r = 5
r = 43 - 6q → q = 7 ja r = 1
Ensin siis näyttäisi siltä, että luvut 1 ja 5 toistuvat säännöllisesti, mutta ei se menekään niin. Mikä tässä on oleellista?
Jakoyhtälö: p = qb r, missä q on kokonaisluku ja 0 ≤ r < 6 on jakojäännös.
Jos tuota muokkaa muotoon r = p - qb, niin tuossa ovat mahdolliset jakojäännökset, mutta mitä tämä tarkoittaa?
r = 7 - 6q → q = 1 ja r = 1
r = 11 - 6q → q = 1 ja r = 5
r = 13 - 6q → q = 2 ja r = 1
r = 17 - 6q → q = 2 ja r = 5
r = 19 - 6q → q = 3 ja r = 1
r = 23 - 6q → q = 3 ja r = 5
r = 29 - 6q → q = 4 ja r = 5
r = 31 - 6q → q =5 ja r = 1
r = 34 - 6q → q = 5 ja r = 4
r = 41 - 6q → q = 6 ja r = 5
r = 43 - 6q → q = 7 ja r = 1
Ensin siis näyttäisi siltä, että luvut 1 ja 5 toistuvat säännöllisesti, mutta ei se menekään niin. Mikä tässä on oleellista?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Alku on ihan sattumaa. Alkuluvut eivät käyttäydy yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Niiden esiintymistiheys harvenee lukujen suuretessa. On itsestään selvää että, jakojäännös voi olla vain 1 tai 5. Ei voi olla 3, sillä se on tekijänä luvussa 6. Parittoman luvun jakojäännös ei voi olla myöskään parillinen parillisella luvulla (6) jaettuna.
Taulukossasi on painovirhe r=34-kohdassa.
Kannatta perehtyä modulaarisen aritmetiikan alkeisiin.
Alla olevassa listassa on 22 peräkkäistä alkulukua. Niiden kaikkien jakojäännös 6:lla jaettaessa on 5. Mitä tuosta voi päätellä?
766319189 5
766319201 5
766319231 5
766319237 5
766319249 5
766319261 5
766319273 5
766319291 5
766319339 5
766319357 5
766319363 5
766319369 5
766319423 5
766319441 5
766319453 5
766319483 5
766319507 5
766319549 5
766319573 5
766319579 5
766319621 5
766319627 5
Tee vastaava 22:n peräkkäisen alkuluvun lista, jossa jakojäännös on aina 1.
Tuohon ei varmasti kukaan matemaatikko ole koskaan julkaissut ratkaisua. Liian vaikea edes keksiä noin hankalaa ongelmaa.
24061965043 1
24061965049 1
24061965061 1
24061965091 1
24061965127 1
24061965163 1
24061965181 1
24061965217 1
24061965247 1
24061965253 1
24061965283 1
24061965379 1
24061965523 1
24061965553 1
24061965589 1
24061965607 1
24061965619 1
24061965643 1
24061965649 1
24061965661 1
24061965667 1
24061965679 1
24061965703 1
Ensimmäinen löytyvä lista onkin peräti 23 peräkkäisen alkuluvun mittainen. Miksi ihmeessä? Ja miksi tämän listan alkuluvut ovat paljon 5-listaa suurempia? Yksi matematiikan historian suurimmista ratkaisemattomista mysteereistä.
Dirichlet'n lause sanoo, että alkuluvut jakautuvat (rajalla*) tasaisesti jäännösluokkiin 1 ja 5 eli luokkiin jotka ovat suhteelliset alkuluvut kutosen kanssa. Vai sanoikohan Dirichlet vain että joka (suht. alk.-) luokassa on äärettömän monta alkulukua, mutta ainakin se todistetaan (helpoiten) osoittamalla tasajakautuneisuus.
Linkki ei toimi täällä, kun siinä on heittomerkki, mutta tässä kuitenkin:
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions
* rajalla tarkoittaa raja-arvoa kun n --> inf, kun otetaan alkuluvut <= n.
En tiedä mitä tuollaiset pitkään toistuvat vitosen putket voisi "merkitä". Jos ajatellaan, että tuo prosessi on satunnainen, niin kyllähän sinne niitä putkia tulee jos minkä pituisia. Liekkö että tulee siinä määrin kuin jos se oikeasti olisi satunnainen. Sehän voisi olla mielenkiintoista tutkia.
Laskin eripituisten ketjujen määrät 1:llä ja 5:lla 50 miljardiin asti (50*10^9). Hiukan yli 2 miljardia alkulukua. Tiedän hyvin, että pitäisi laskea ainakin triljoonaan asti, jotta saisi luotettavampia tuloksia, mutta ...
2 [149647230, 149647522]
3 [67333773, 67325300]
4 [29602624, 29601236]
5 [12874344, 12869800]
6 [5544540, 5551174]
7 [2372543, 2371135]
8 [1004953, 1005325]
9 [423722, 423027]
10 [177344, 177522]
11 [73776, 73793]
12 [30449, 30853]
13 [12664, 12726]
14 [5222, 5198]
15 [2099, 2110]
16 [925, 869]
17 [377, 371]
18 [127, 144]
19 [64, 59]
20 [27, 20]
21 [7, 9]
22 [2, 6]
23 [1, 2]
24 [0, 0]
25 [1, 1]
1: 1059821708, 5: 1059832865 1 5: 2119654573
Jos kolikkoa heittää 2119654573 kertaa, montako tarkalleen 10 klaavan putkea tulee keskimäärin?
Lantinheitossa 10 klaavan putkia tulee n. 517000 kpl eli paljon enemmän.
Peräkkäisten (pienten) alkulukujen modulo 6 ei tietystikään esiinny satunnaisesti. Sillä on voimakas pyrkimys vuorotella. Heitin 2 euron kolikkoa 2119654573 kertaa peräkkäin useita sarjoja. Eri sarjoissa lyhyiden (2...20) ketjujen määrien lukumäärät eivät vaihdelleet paljoakaan.
___Kruuna_____ Klaava
2 [132480442, 132476951]
3 [66234068, 66241896]
4 [33113253, 33113314]
5 [16562253, 16563453]
6 [8279620, 8285941]
7 [4141052, 4139473]
8 [2069160, 2070547]
9 [1035599, 1035233]
10 [517999, 516882]
11 [258575, 258442]
12 [129434, 129643]
13 [64961, 64837]
14 [32251, 32165]
15 [16226, 16009]
16 [7994, 8043]
17 [4067, 4021]
18 [2014, 2039]
19 [1019, 999]
20 [494, 569]
Kruuna 1059811012. Klaava 1059843561. Yhteensä 2119654573.
Kun kasvattaa alkulukujen kokoa paljon yli 20 numeroisiksi, lähestytään hitaasti mutta varmasti kohti lantinheittoa. Peräkkäisten alkulukujen määrää ja tarkasteltavia pituuksia pitää tietysti pienentää. Voi tietysti miettiä asioita matemaattisestikin, jos siihen pystyy. On varmasti tutkittu tuhansia kertoja eri tavoilla, muttei läheskään kaikkia samoja tuloksia ole tietystikään julkaistu. Pitäisi saada eri tulos kuin kaikki muut. Vähän haastetta!