1. Funktio f toteuttaa välillä -1<x< 1 yhtälöt
f(x) 1 2x x^2f(x^2) ja limf(x) =1 x-->0
Määritä f '(0) derivaatan määritelmän nojalla.
2.Kahden positiivisen luvun summa on 60. Määritä näiden kahden luvun käänteislukujen summan pienin arvo
3. Millä vakion a arvoilla funktiolla f ( x) =x^3-x^2 -x 4a on kolme nollakohtaa?
Joo olen tyhmä... Koko kirjan olen selannut kannesta kanteen ja en vain löydä apuja tällaisiin tehtäviin yhtään.
f(x) 1 2x x^2f(x^2) ja limf(x) =1 x-->0
Määritä f '(0) derivaatan määritelmän nojalla.
2.Kahden positiivisen luvun summa on 60. Määritä näiden kahden luvun käänteislukujen summan pienin arvo
3. Millä vakion a arvoilla funktiolla f ( x) =x^3-x^2 -x 4a on kolme nollakohtaa?
Joo olen tyhmä... Koko kirjan olen selannut kannesta kanteen ja en vain löydä apuja tällaisiin tehtäviin yhtään.
Vastaukset 37
Vanhimmat
Voin lohduttaa aloittajaa, että aikanaan opiskelin noita, mutta en tosielämässä koskaan sen jälkeen ole tarvinnut noita.
Valitettavasti kahden viikon päästä matikan kokeessa tarvitsee...
Viimeisessä pitää laskea derivaatan nollakohdat (2kpl) ja sitten toisenderivaatan avulla tutkia kumpi om maksimi ja kumpi minimi. Sitten sijoittaa ne nollakohdat alkuperäiseen funtiioon ja vaatia, että maksimi kohta on x-akselin ykäpuolella ja minimikohta x-akselin alapuolella. Siitä tulee joku vali , jossa a on oltava , silloin kun funktiolla on kolme nollakohtaa, Kannattaa katsoa jostain kolmannen asteen funktion kuvaajaaa, vaikka tosta; https://www.geogebra.org/m/EMBr9QuZ
Toka tehtävä on minimoida f(x)=60/(x(60-x))
Ekasta ei saa mitään tolkkua
oikeastaan tästä: https://www.geogebra.org/m/EMBr9QuZ
Siis miten tutkin tuon maksimin ja minimin? Ei aivot yhdistä... Olen nyt laskenut derivaatan nollakohdat, jotka ovat -1/3 ja 1 ja olen sijoittanut ne alkuperäiseen lausekkeeseen, joista sain vastaukseksi 4a 5/27 ja 4a-1. Miten tästä jatkan siis eteenpäin?
1. Tehtävässäsi jokin virhe, taitaa yksi = - merkki puuttua.
2. Aritmeettinen keskiarvo > 0 harmoninen ka.a b = 60. a>0,b>0.
1/2 (1/a 1/b) >= 2/(a b) >=1/15. Pienin arvo 1/15 saavutetaan kun a=b = 30.
Voi myös laskea differentiaalilaskulla käyttämällä Lagrangen kertojaa.
f(a,b) = 1/a 1/b k(a b-60)
df/da = - 1/a^2 k = 0 => a = 1/ sqrt(lkl)
df/db = - 1/b^2 k => b = 1/sqrt(l k l)
a b = 60 => 2/sqrt(lkl) = 60 joten sqrt(lkl)= 1/30 eli a =b=1/30 ja lausekkeen 1/a 1/b minimi on 1/15.
Jatkoa. Tehtävä 3.
3. asteen yhtälöllä on aina 3 juurta. Tässä tarkoitettanee reaalisia juuria. Tällöin diskriminantin tulee olla > 0 tai koska kertoimet ovat reaaliset myös tapauksessa diskriminantti = 0 löytyy juuria.
Kts. engl. Wikipedia "cubic equation" ja siitä kohdat "nature of roots" ja "multiple roots"
Tuli tuohon kirjoitusvirhe. p.o.: ...eli a=b=30 ja lausekkeen...
Tämä kommentti koski siis tuota 2. tehtävää. En tiedä mitä tämä systeemi pelleilee kun paiskasi sen tuohon vaikka oli tarkoitettu 2. tehtävää koskevan kommentin perään.
Jo näitä kirjoitusvirheitä syntyy! Tietysti p.o.: ..Aritmeettinen keskiarvo >= harmoninen ka...
Oli tullut 0 tuon = - merkin tilalle. Sormeni taitavat elää omaa, minusta riippumatonta, elämäänsä!
Tehtävä 2 voidaan ratkaista myös näin:
b = 60 - a
f(a) = 1/a 1/(60 - a)
f'(a) = - 1/a^2 1/(60 - a)^2 = 0 josta
( - ( 60 - a)^2 a^2) / (a^2 (60-a)^2) = 0 . Tässä a>0 ja a < 60 sillä oli b>0 ja a = 60 - b > 0 joten
- (60-a)^2 a^2 = 0
120 a 3600 = 0
a = 30 ja b = 60 - a = 30
Kun a < 30 on f'(a) < 0 ja kun a > 30 on f'(a) > 0 joten a = 30 on minimipiste.
f(30) = 1/15 joka siis on kysytty pienin arvo.
Tehtävä 2 voidaan ratkaista myös näin:
b = 60 - a
f(a) = 1/a 1/(60 - a)
f'(a) = - 1/a^2 1/(60 - a)^2 = 0 josta
( - ( 60 - a)^2 a^2) / (a^2 (60-a)^2) = 0 . Tässä a>0 ja a < 60 sillä oli b>0 ja a = 60 - b > 0 joten
- (60-a)^2 a^2 = 0
120 a 3600 = 0
a = 30 ja b = 60 - a = 30
Kun a < 30 on f'(a) < 0 ja kun a > 30 on f'(a) > 0 joten a = 30 on minimipiste.
f(30) = 1/15 joka siis on kysytty pienin arvo.
Tehtävä 2 voidaan ratkaista myös näin:
b = 60 - a
f(a) = 1/a 1/(60 - a)
f'(a) = - 1/a^2 1/(60 - a)^2 = 0 josta
( - ( 60 - a)^2 a^2) / (a^2 (60-a)^2) = 0 . Tässä a>0 ja a < 60 sillä oli b>0 ja a = 60 - b > 0 joten
- (60-a)^2 a^2 = 0
120 a 3600 = 0
a = 30 ja b = 60 - a = 30
Kun a < 30 on f'(a) < 0 ja kun a > 30 on f'(a) > 0 joten a = 30 on minimipiste.
f(30) = 1/15 joka siis on kysytty pienin arvo.
Kyllä tämä systeemi nyt vikuroi. Kertoi että lähetyksessä tuli virhe, yritä kohta uudestaan. Tein työtä käskettyä ja nyt täällä sitten on 3 samaa juttua!
Aamulla kun kirjoittelin niin hävitti juttujani ja jouduin kirjoittamaan saman jutun useampaan kertaan.
Eikös palstan tekniikkaa voisi laittaa kuntoon,arvon moderaattorit?
Tehtävä 2 voidaan ratkaista myös derivoimatta. Merktaan lukuja 30 a ja 30-a. Tällöin on löydettävä pienin arvo summalle:
1/(30 a) 1/(30-a) = 60/(900-a^2)
Nähdään suoraan, että pienin arvo 2/30 saavutetaan kun a=0.
Siis sievennettynä 1/15.
Oletetaan, että 1. tehtävässä olisi sanottu
f(x) = 1 2x x^2f(x^2).
Halutaan tutkia erotusosamäärää
(f(x) - f(0)) / x
kun x→0.
Nyt f(0) = 1, sillä lim f nollassa on 1 ja f on jatkuva nollassa (oletetaan tämä, en tiedä saisiko sitä tuosta yhtälöstä todistettua).
No, nythän annetussa yhtälössä voidaan ykkönen siirtää toiselle puolelle ja jakaa puolittain x:llä, jolloin saadaan
(f(x) - 1) / x = 2 xf(x^2) → 2, kun x→0,
sillä xf(x^2) → 0 * f(0) = 0 * 1 = 0.
Siis f'(0) = 2.
Lim x-> 0 f(x) = 1 eli kun otetaan e> 0 niin on olemassa d(e) siten että
l f(x) - 1 l < e kun l x l < d(e)
Jos l x l < sqrt(d(e)) niin l x^2 l < d(e) joten l f(x^2) - 1 l < e eli lim x-> 0 f(x^2) = 1.
=> lim x -> 0 (x f(x^2)) = 0.
Ja tosiaan sitten f'(0) = 2 kuten Anonyymi Eilen 20:32 jo johti.
Ai niin tosiaan, f(0) = 1 tulee suoraan tuosta yhtälöstä sijoittamalla siihen x=0.
Tässä muuten vielä toinen tapa, jos oletetaan että f on analyyttinen nollassa eli se on esitettävissä Taylorin sarjana. Tällöin f'(0)=2 nähdään suoraan siitä, että se on x:n kerroin f:n esityksessä, sillä x^2 f(x^2):ssa kaikki termit ovat kerrottu x^2:lla, joten ne eivät vaikuta ensimmäisen asteen termiin.
Emme nyt kuitenkaan tiedä miten tehtävä oikeasti kuuluu? Miksi tuo limes oli annettu kun kerran f(0) = 1 seuraisi määrittely-yhtälöstä kuten mainitsit.
Eipä aloittajaa tunnu kiinnostavan koko asia. Miksi ihmeessä kyselee ja teettää muilla turhaa työtä? Ei ole kommentoinut antamiensa muidenkaan tehtävien psalta mitään.
Lisäys edelliseen: Ei sittenkään pelkätään määrittely-yhtälöstä voi päätellä että f(0) =1 . Jos olisi niin, että f kasvaa rajatta kun x -> 0 niin ei tuollainen päättely pätisi.Nyt sensijaan tiedetään että f(x) -> 1 kun x -> 0.
Joo, mutta kai se on oletettava, että f on 0:ssa määritelty ja arvo on jokin reaaliluku.
Limes tarvitaan kuitenkin myös siihen, että derivaatta lasketaan raja-arvona, jolloin tuota raja-arvoakin tarvitaan.
Olet oikeassa,on se oletettava. muutenhan f ei "toteuttaisi" yhtälöä koko välillä - 1 < x < 1.
Ja limeskin tarvitaan.
Kyllä täällä yhä roikun :D En ole nyt vielä ehtinyt noita kaikkia tehtäviä käymään lävitse, mutta toistaiseksi neuvot ovat kyllä auttaneet, kiitos siitä!
Koska f on määritelty koko välillä - 1 < x < 1 niin sillä on siis jokaisessa tuon välin pisteessä äärellinen arvo. f(0) = f(2*0) ja siis f(0) = 1. Myös lim(x->0) f(x) = 1.
f'(0) = lim(h->0) (1 2 h h^2* f(2h) - 1) / h =2 lim(h-> 0) h*f(2h) = 2.
Ja itse asiassa oletusta lim(x->0) f(x) = 1 ei tarvittu!
Tulipa taas kirjoitusvirhe: p.o.: ...f(0) = f(0^2) ja siis ...
Kirjoitan uudestaan:Koska f on määritelty koko välillä - 1 < x < 1 niin sillä on tuon välin joka pisteessä äärellinen arvo.f(0) = f(0^2) ja siis f(0) = 1
f'(0) = lim(h->0) (1 2h h^2 f(h^2) - 1)/h = 2 lim(h->0) h*f(h^2) = 2
Oletusta lim(x->0) f(x) = 1 ei tarvittu!
Sori sotkuistani. Kirjoitin ensin jostain syystä f(2h) vaikka pitää olla f(h^2).
Jokin limes tieto f:stä nollan lähellä tarvitaan, että saadaan tuo
lim(h-> 0) h*f(2h) = 0
Tai en tiedä tarvitaanko aivan välttämättä vai tuleeko tämä tieto jo annetusta ensimmäisestä yhtälöstä. Mutta jotenkin se on perusteltava.
Kaipa nyt huomaat että kun kerran f:llä on äärellinen arvo joka pisteessä välillä ( - 1, 1) niin
h* f(h^2)) -> 0 kun h -> 0.Tähän ei tarvita tuota oletusta lim (x -> 0) f(x) = 1
(Tuo f(2h) jonka kirjoitit oli minun aiempi kirjoitusvirheeni jonka sittemmin korjasin. Oikea lauseke on tehtävässä annettu f(h^2,)
Meille ei ole sanottu mitään, että f on jatkuva tai muuta sellaista, joten se saattaisi olla vaikka f(x) = 1/x, kun x!=0 ja f(0) = 1. Tämä ei taida toteuttaa annettua yhtälöä, mutta näin niinkuin esimerkkinä, että raja-arvo h*f(h^2) kun h->0 ei välttämättä ole nolla.
Tietenkään, jos f ei ole jatkuva nollassa, niin eihän sillä ole siellä derivaattaakaan olemassa, joten jatkuva sen on nollassa oltava, jotta tehtävässä olisi edes järkeä. Mutta kuten sanottu, minä en ainakaan osaa päätellä tuota jatkuvuutta pelkästään annetusta ensimmäisestä yhtälöstä.
f:llä on äärellinen arvo joka pisteessä välillä ( - 1, 1). Määrittely-yhtälöstä seuraa, että f(0) = 1, kuten jo osoitin.Kun kirjoitetaan derivaatan määritelmässä tarvittava erotusosamäärä niin sen limes kun x-> 0 on 2, kuten osoitin.f:llä on siis derivaatta pisteessä x=0.
Miten sinä osoitat, että
lim_{h→0} h* f(h^2)) = 0
f(x) = 1 2x x^2 f(x^2). f on määritely koko välillä ( - 1, 1). Sen kaikki arvot ovat siis äärelliset tuolla välillä eikä se siis kasva rajatta kun x -> 0 Ja määrittelyalueella on x^2 < l x l. Näin ollen x^2 f(x^2) = 0 kun x = 0 ja siis f(0)= 1.
0 kertaa äärellinen luku = 0.
Kun h -> 0 niin tietenkin myös h* f(h^2) -> 0.
Mistä tiedät, että ei kasva rajatta? Vaikka kaikki arvot ovat äärelliset, niin voihan se silti kasvaa rajatta, niinkuin esimerkissä, jonka annoin: f(x) = 1/x kun x != 0 (ja f(0) = 1).
1. Annettu (oletettu) tehtävä on siis jo ratkaistu oletusta lim (x-> 0) f(x) = 1 käyttäen.
2. Esimerkkisi f(x) = 1/x kun x =/ 0 ja f(0) = 1 ei toimi, sillä 1/x ei toteuta määrittely-yhtälöä.
Pitäisi olla 1/x = 1 2x x^2 (1/x)^2 = 2(1 x).
Sillä ei myöskään ole derivaattaa pisteessä x =0 jonka derivaatan voisi määritellä kuten tehtävässä pyydettiin.
Löydätkö esimerkkiä joka toimisi?
3. Tehtävässä pyydettiin määrittämään f'(0) derivaatan määritelmän avulla. Tuosta voi lukea oletettavan että f'(0) on olemassa. Tällöin f on jatkuva pisteessä x = 0 eikä siis kasva rajatta kun x -> 0.
4. Tietysti on silti mielenkiintoista miettiä, ratkeaako tehtävä ilman että tiedetään f'(0):n olevan olemassa ja ilman tuota oletusta lim (x ->0) f(x) = 1. En nyt tähän aamuun huomaa mitään erityistä sanottavaa tästä.
...annettu f(h^2).)