Eli olen tuon aikaisemmankin keskustelun kirjoittaja, jossa oli 3 laskua. Sain kaksi näistä laskuista ratkaistua avullanne (ja viisastuin), suuri kiitos siitä! Tätä yhtä laskua en saa kuitenkaan ratkottua ja jos voisi siihen saada vielä apua? Ja tosiaan uuden keskustelun tein siksi, että toiseen keskusteluun oli tullut niin paljon viestejä, että vastaukset eivät hukkuisi sinne. Tehtävä tosiaan kuuluu näin:
Millä vakion a arvoilla funktiolla f ( x) =x^3-x^2 -x 4a on kolme nollakohtaa?
Olen tosiaan tuon lausekkeen derivoinut, josta sain 3x^2-2x-1 ja laskenut derivaatan nollakohdat, jotka ovat x=-1/3 ja x=1
En kuitenkaan pääse tästä eteenpäin.
Millä vakion a arvoilla funktiolla f ( x) =x^3-x^2 -x 4a on kolme nollakohtaa?
Olen tosiaan tuon lausekkeen derivoinut, josta sain 3x^2-2x-1 ja laskenut derivaatan nollakohdat, jotka ovat x=-1/3 ja x=1
En kuitenkaan pääse tästä eteenpäin.
Vastaukset 6
Vanhimmat
No eikö sinulle kelvannut se wikipedia-vinkkini jossa selostetaan nuo 3. asteen yhtälön juuret. Diskriminantti etc.
Mutta jos nyt haluat tuolla derivointimenetelmällä laskea niin katso ensin, missä nuo ääriarvot ovat kun a = 0 ja sitten muutat a:n arvoa niin että saat ne 3 nollakohtaa .
Sitten lasket sen toisen derivaatan ja sijoitat siihen nuo nollakohdat:
y``(x)=6x-2. Tuohon 1 ja tulee 4, eli x=1 on paikallinen minimi.
sitten x=-1/3 tulee -4, eli x=-1/3 on paikallinen maksimi.
Jotta funktiolla olisi kolme nollakohtaa on paikallisen minimin oltava x-akselin alapuolella, eli f(1) < 0, ja paikallisen maksimin oltava x-akselin yläpuolella, eli
f(-1/3) > 0. Ja nämä yhtäaikaa.
Siitä tulee -5/108 < a < 1/4
Tässä olen kokeukkut Woframilla tuota alarajaa: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3-x^2-x-5/27=0
WolframAlpha, siihen näköjään sitten copy/pastella tuo litania https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3-x^2-x-5/27=0, kun ei muuten onnaa...
Tässä eräs ratkaisu, jossa ei käytetä derivaattaa, vaan polynomin tekijöihin jakoa.
Ensinnäkin, Desmos on oiva paikka testailla tällaisia tehtäviä ja tarkastaa ratkaisujaan: https://www.desmos.com/calculator/4xjubm98qf
Vakio a esiintyy vain polynomin f vakiotermissä, joten se vain siirtää polynomin kuvaajaa ylös tai alaspäin. Koska siellä on termi 4a, niin kun a kasvaa, niin kuvaaja nousee ja kun a pienenee, niin kuvaaja laskee. Näin ollen ratkaisu tulee olemaan jokin väli. Meidän tarvitsee vain ratkaista päätepisteet. Huomataan, että näissä rajatapauksissa f:llä on aina yksi kaksinkertainen juuri (merk. x1) ja yksi yksinkertainen juuri (merk. x2). Siis rajatapauksissa
f(x) = (x-x1)^2 * (x-x2)
Kerrotaan tämä esitys auki ja verrataan annettuun muotoon f(x) = x^3-x^2 -x 4a, jolloin saadaan yhtälöt
2x1 x2 = 1
x1^2 2x1*x2 = -1
-x1^2*x2 = 4a
Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä ratkeaa x1:lle kaksi mahdollista arvoa: -1/3 ja 1. Ratkaistaan vastaavat a:n arvot ja saadaan ratkaisuväli (-5/108, 1/4). Väli on avoin, koska rajatapauksissa f:llä on vain kaksi juurta, sillä toinen on kaksinkertainen.
Tuossa varmaankin helpottaa, jos hahmottaa mihin tuo a vaikuttaa ja mistä se johtuu, että joskus tuolla funktiolla on 1, joskus 2 ja joskus 3 (reaalista) nollakohtaa.
Vakion a arvon muuttaminen siirtää funktion kuvaajaa y-akselin suunnassa ylös tai alas, mutta ei muuta kuvaajan muotoa, eikä siirrä sitä x-akselin suunnassa.
Tuon funktion (reaalisten) nollakohtien määrä riippuu siitä, osuuko kuvaajan "mutkittelu" x-akselin kohdalle, vai tapahtuuko "mutkittelu" x-akselin ylä- tai alapuolella. Jos mutkittelu tapahtuu kokonaan x-akselin ylä- tai alapuolella, niin nollakohtia on vain yksi. Näin tapahtuu hyvin suurilla ja hyvin pienillä vakion a arvoilla.
Jos jompi kumpi derivaatan nollakohta on myös funktion nollakohta, nollakohtia on kaksi, mikä on helppo huomata jos piirrät kuvaajan.
Koska kolmannen asteen termin kerroin on positiivinen, nollakohtia on kolme täsmälleen silloin, kun funktion arvo vasemmalta lukien ensimmäisessä derivaatan nollakohdassa (x = -1/3) on positiivinen JA funktion arvo toisessa derivaatan nollakohdassa (x = 1) on negatiivinen. (Jos kolmannen asteen termin kerroin olisi negatiivinen, sama toimisi päinvastoin.)
Selvitä siis millä a:n arvoilla pätee f(-1/3) > 0 ja f (1) < 0. Toinen näistä antaa a:n arvoille ylärajan ja toinen alarajan.