2*sqrt(21)*cos(1/3*arccos(9*sqrt(3)/(7*sqrt(7))
Tuon pitäisi olla tasan 9, ainakin Wolframin mukaan on , se on nimittäin yhtälön
x^3-63x-162=0 yksi juuri. Tuo litania tulee kolmannen asteen yhtälön cosini-ratkaisumenetelmällä.
Miten sen osoitetaan olevan tasan 9 ?
Problem kolmannen asteen yhtälöstä
14
<50
Vastaukset
- Anonyymi
Sinulta puuttuu tuosta yksi sulku ")" jostain kohtaa, mutta sillä ei ole hirveästi väliä, koska tuo luku ei ole tuon yhtälön ratkaisu.
Kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohdat ovat aina rationaalilukujen kokonaislukujuurten summia (ja juuri ei voi olla korkeampaa astetta kuin polynomi). Sinne ei voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita (paitsi tietysti triviaaleissa muodoissa, kuten cos(0) tai sin(pii/2), mutta niitäkään ei ole mitään syytä sinne lisätä).
On helppo huomata, että tuon yksi tuon sinun polynomisi nollakohta on -3, koska
-27 189-162=0,
joten saat pienennettyä tuon polynomin 2. asteen polynomiksi jakamalla sen (x 3):lla.
Luvut on valittu nätisti, joten onnistuu mukavasti jakokulmassa ja saat 2. asteen polynomiksi x^2 - 3x - 54, joka ratkeaa toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, josta saat nollakohdat x = -6 ja x = 9.- Anonyymi
"Kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohdat ovat aina rationaalilukujen kokonaislukujuurten summia " Tämä ei pidä paikkaansa. On olemassa viidennen asteen polynomi, jonka juuria ei voi ilmaista näin, koska ne eivät ole näin juurten otolla saadussa laajennuskunnassa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem )
"Sinne ei voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita (paitsi tietysti triviaaleissa muodoissa, kuten cos(0) tai sin(pii/2)" Kyllä voi. Monet kosinin ja sinin arvot ovat algebrallisia (jopa siten, että argumentti on algebrallinen). - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
"Kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohdat ovat aina rationaalilukujen kokonaislukujuurten summia " Tämä ei pidä paikkaansa. On olemassa viidennen asteen polynomi, jonka juuria ei voi ilmaista näin, koska ne eivät ole näin juurten otolla saadussa laajennuskunnassa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem )
"Sinne ei voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita (paitsi tietysti triviaaleissa muodoissa, kuten cos(0) tai sin(pii/2)" Kyllä voi. Monet kosinin ja sinin arvot ovat algebrallisia (jopa siten, että argumentti on algebrallinen).Abel-Ruffini -lauseen mukaan viidennen (tai sitä korkeamman) asteen polynomeille ei ole yleistä ratkaisukaavaa (kaavaa, joka riippuu vain polynomin kertoimista, ja pätee kaikille polynomeille samalla tavalla). Silti kaikki noiden polynomien nollakohdat ovat ratkaistavissa ja niiden niiden nollakohdat ovat väistämättä algebrallisia lukuja.
Pahoittelut epätarkkuudesta, mutta uskon ja toivon, että oikeasti ymmärsit mitä tarkoitin kun sanoin, ettei kokonaislukupolynomin ratkaisuun voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita. Totta kai sinne voidaan aina lisätä niitä (tai jokin ratkaisumenetelmä saattaa niitä sinne tuottaa), mutta ne ovat aina muunnettavissa algebrallisiksi luvuiksi (mistä käytin triviaaleina esimerkkeinä cos(0):aa ja sin(pii/2):ta). Tietysti luku 1/sqrt(2) voidaan kirjoittaa muodossa cos(pii/4), mutta mitään hyötyä siitä ei ole, koska lopullinen ratkaisu on algebrallinen. Siksi ne eivät ole koskaan tarpeellisia polynomien ratkaisussa. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Abel-Ruffini -lauseen mukaan viidennen (tai sitä korkeamman) asteen polynomeille ei ole yleistä ratkaisukaavaa (kaavaa, joka riippuu vain polynomin kertoimista, ja pätee kaikille polynomeille samalla tavalla). Silti kaikki noiden polynomien nollakohdat ovat ratkaistavissa ja niiden niiden nollakohdat ovat väistämättä algebrallisia lukuja.
Pahoittelut epätarkkuudesta, mutta uskon ja toivon, että oikeasti ymmärsit mitä tarkoitin kun sanoin, ettei kokonaislukupolynomin ratkaisuun voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita. Totta kai sinne voidaan aina lisätä niitä (tai jokin ratkaisumenetelmä saattaa niitä sinne tuottaa), mutta ne ovat aina muunnettavissa algebrallisiksi luvuiksi (mistä käytin triviaaleina esimerkkeinä cos(0):aa ja sin(pii/2):ta). Tietysti luku 1/sqrt(2) voidaan kirjoittaa muodossa cos(pii/4), mutta mitään hyötyä siitä ei ole, koska lopullinen ratkaisu on algebrallinen. Siksi ne eivät ole koskaan tarpeellisia polynomien ratkaisussa.Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....
Siis tämä yhtälö: r^3-6r^2 9r-3=0
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....
>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."
Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).
Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."
Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).
Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.x^3-4x-2=0, tuollakin on eräs juuri: 4sqrt3/3*cos(1/3*acos(3sqrt3/8))
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."
Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).
Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi."Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina)."
Esittäisitkö polynomin
x^5 - x - 1
juuret rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."
Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).
Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.Tuo on aika yleinen harhaluulo. Sekoitat nyt keskenään konstruoitavat luvut ja algebralliset luvut. Konstruoitavat luvut ovat juurikin noita rationaalilukujen rationaalipotenssien summia ja algebralliset luvut kokonaislukukertoimisten polynomien nollakohtia.
Helposti voisi luulla, että ne ovat sama joukko, mutta eivätpä vain olekaan. Konstruoitavat ovat aina algebrallisia, mutta algebralliset eivät yleensä konstruoitavia.
Terveisin: Algebrallisista luvuista kandidaatintutkielmansa kirjoittanut - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."
Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.
Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).
Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.Ilmeisesti tarkoitat (rationaalikukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina ) lauseella myös Cardanon kaavoilla saatavia kuutiojuuria kompleksiluvuista ja niiden summia.
Ne ovat kuitenkin kompleksilukuja, ja ne on muutettava ymmärrettävään muotoon juurikin sillä cosinikikkailulla, Laitan tähän nyt täällä aikaisemmin olleen yhtälön (r^3-6r^2 9r-3=0)
ratkaisun kompleksimuodossa, ja sen muuttamisen ymmärrettävään muotoon. https://aijaa.com/cQmRPt
- Anonyymi
Tämä on harjoitustehtävä Matematiikkalehti Solmussa , ja tarkoitus on ratkaista se cosinimenetelmällä, eli, kyllä siitä yhdeksi juureksi tulee: 2*sqrt(21)*cos(1/3*arccos(9*sqrt3/(7sqrt7))) (lopusta puuttui sulku)
Tuo on tasan 9
Ratkaisut ovat tuossa paperissa, mutta miten muuten paitsi Wolfram Alphalla voisi todeta, että ratkaisut todellakin ovat 9, -6 ja -3 ? Varmaan tämä jotenkin menee kompleksilukujen kautta....
https://aijaa.com/L4hmV1 (Aika huono harjoitustehtävä oon, jos ei pysty toteamaan muuten kuin Woframilla, että menikö oikein.) - Anonyymi
Yhtälö
2*sqrt(21)*cos(1/3*arccos(9*sqrt(3)/(7*sqrt(7)) = 9
on yhtäpitävä seuraavan kanssa
arccos ( 9*sqrt 3 / (7*sqrt 7) ) = 3 * arccos( 3 sqrt 3 / (2*sqrt 7) )
Vasemman puolen kosini on sitä mitä siellä sisällä on. Riittää osoittaa, että oikean puolen kosini on tämä sama luku eli 9*sqrt 3 / (7*sqrt 7). Osoitetaan tämä käyttäen hyväksi kosinin kolminkertaisen kulman kaavaa
cos (3t) = 4 cos(t)^3 - 3cos(t)
Saadaan
4 * (3 sqrt 3 / (2sqrt 7))^3 - 3 * 3 sqrt 3 / (2sqrt 7)
= 81 sqrt(3) / (14 sqrt 7) - 9 sqrt 3 / (2 sqrt 7)
= 9 sqrt 3 / (7 sqrt 7)
Oikea luku tuli! - Anonyymi
Kiitos pyydetystä vastauksesta.
- Anonyymi
Laitetaan nyt sitten, kun opittiin tuo juuri x=-6. Siinä täytyy sitten ottaa jakso 2pi myös mukaan.
Jos vielä laskettaisiin x=-3, niin siinä tulisi jakso 4pi:
https://aijaa.com/DGBmCn
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
KUPSinpelaaja vangittu törkeästä rikoksesta
Tänään tuli uutinen että Kupsin sopimuspelaajs vangittu törkeästä rikoksesta epäiltynä. Kuka pelaaja kysressä ja mikä ri191651- 291319
Minun oma kaivattuni
Ei ole mikään ilkeä kiusaajatyyppi, vaan sivistynyt ja fiksu sekä ystävällinen ihminen, ja arvostan häntä suuresti. Raka641224Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha111122Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.281066Tervehdys!
Sä voit poistaa nää kaikki, mut mä kysyn silti A:lta sen kokemuksia sun käytöksestä eron jälkeen. Btw, miks haluut sabot651046Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?111036Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan301009Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se61001Kaupungin valtuuston yleisötilaisuus
YouTubessa katsojia 76 Buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha2996