Problem kolmannen asteen yhtälöstä

"Kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohdat ovat aina rationaalilukujen kokonaislukujuurten summia " Tämä ei pidä paikkaansa. On olemassa viidennen asteen polynomi, jonka juuria ei voi ilmaista näin, koska ne eivät ole näin juurten otolla saadussa laajennuskunnassa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem )

"Sinne ei voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita (paitsi tietysti triviaaleissa muodoissa, kuten cos(0) tai sin(pii/2)" Kyllä voi. Monet kosinin ja sinin arvot ovat algebrallisia (jopa siten, että argumentti on algebrallinen).

Anonyymi kirjoitti:

"Kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohdat ovat aina rationaalilukujen kokonaislukujuurten summia " Tämä ei pidä paikkaansa. On olemassa viidennen asteen polynomi, jonka juuria ei voi ilmaista näin, koska ne eivät ole näin juurten otolla saadussa laajennuskunnassa ( https://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem )

"Sinne ei voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita (paitsi tietysti triviaaleissa muodoissa, kuten cos(0) tai sin(pii/2)" Kyllä voi. Monet kosinin ja sinin arvot ovat algebrallisia (jopa siten, että argumentti on algebrallinen).

Abel-Ruffini -lauseen mukaan viidennen (tai sitä korkeamman) asteen polynomeille ei ole yleistä ratkaisukaavaa (kaavaa, joka riippuu vain polynomin kertoimista, ja pätee kaikille polynomeille samalla tavalla). Silti kaikki noiden polynomien nollakohdat ovat ratkaistavissa ja niiden niiden nollakohdat ovat väistämättä algebrallisia lukuja.

Pahoittelut epätarkkuudesta, mutta uskon ja toivon, että oikeasti ymmärsit mitä tarkoitin kun sanoin, ettei kokonaislukupolynomin ratkaisuun voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita. Totta kai sinne voidaan aina lisätä niitä (tai jokin ratkaisumenetelmä saattaa niitä sinne tuottaa), mutta ne ovat aina muunnettavissa algebrallisiksi luvuiksi (mistä käytin triviaaleina esimerkkeinä cos(0):aa ja sin(pii/2):ta). Tietysti luku 1/sqrt(2) voidaan kirjoittaa muodossa cos(pii/4), mutta mitään hyötyä siitä ei ole, koska lopullinen ratkaisu on algebrallinen. Siksi ne eivät ole koskaan tarpeellisia polynomien ratkaisussa.

Anonyymi kirjoitti:

Abel-Ruffini -lauseen mukaan viidennen (tai sitä korkeamman) asteen polynomeille ei ole yleistä ratkaisukaavaa (kaavaa, joka riippuu vain polynomin kertoimista, ja pätee kaikille polynomeille samalla tavalla). Silti kaikki noiden polynomien nollakohdat ovat ratkaistavissa ja niiden niiden nollakohdat ovat väistämättä algebrallisia lukuja.

Pahoittelut epätarkkuudesta, mutta uskon ja toivon, että oikeasti ymmärsit mitä tarkoitin kun sanoin, ettei kokonaislukupolynomin ratkaisuun voi yhtäkkiä ilmestyä trigonometrisiä funktioita. Totta kai sinne voidaan aina lisätä niitä (tai jokin ratkaisumenetelmä saattaa niitä sinne tuottaa), mutta ne ovat aina muunnettavissa algebrallisiksi luvuiksi (mistä käytin triviaaleina esimerkkeinä cos(0):aa ja sin(pii/2):ta). Tietysti luku 1/sqrt(2) voidaan kirjoittaa muodossa cos(pii/4), mutta mitään hyötyä siitä ei ole, koska lopullinen ratkaisu on algebrallinen. Siksi ne eivät ole koskaan tarpeellisia polynomien ratkaisussa.

Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....

Anonyymi kirjoitti:

Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....

Siis tämä yhtälö: r^3-6r^2 9r-3=0

Anonyymi kirjoitti:

Ei ne nyt justiin tässä olekaan tarpeellisia, mutta tämähän onkin harjoitustehtävä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumentelmästä, ja yhtälö on juuri siksi helppo, että siitä saataisiin ne juuret muutenkin ratkaistua, eli ilman cosinikikkailuita. Ja tosiaan siellä Solmun sivulla lukeekin, että saadun lausekkeen numeerinen arvo lasketaan sitten laskimella. ja verrataan laskinarvoa niihin muuten saatuihin juuriin. Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never....

>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."

Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.

Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).

Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.

Anonyymi kirjoitti:

>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."

Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.

Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).

Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.

x^3-4x-2=0, tuollakin on eräs juuri: 4sqrt3/3*cos(1/3*acos(3sqrt3/8))

Anonyymi kirjoitti:

>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."

Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.

Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).

Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.

"Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina)."

Esittäisitkö polynomin

x^5 - x - 1

juuret rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina.

Anonyymi kirjoitti:

>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."

Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.

Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).

Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.

Tuo on aika yleinen harhaluulo. Sekoitat nyt keskenään konstruoitavat luvut ja algebralliset luvut. Konstruoitavat luvut ovat juurikin noita rationaalilukujen rationaalipotenssien summia ja algebralliset luvut kokonaislukukertoimisten polynomien nollakohtia.
Helposti voisi luulla, että ne ovat sama joukko, mutta eivätpä vain olekaan. Konstruoitavat ovat aina algebrallisia, mutta algebralliset eivät yleensä konstruoitavia.

Terveisin: Algebrallisista luvuista kandidaatintutkielmansa kirjoittanut

Anonyymi kirjoitti:

>"Täällähän muuten oli vähän aikaa sitten se kolmannen asteen yhtälö, johon juuria ei löytynyt ilaman cosinikikkailua, se juuri oli 2 2cos20. Että never say never...."

Kaikki kokonaislukukertoimisten polynomien juuret ovat algebrallisia lukuja ja se on itseasiassa algebrallisen luvun määritelmä: Luku, joka on jonkin kokonaislukukertoimisen polynomin juuri.

Kaikkien polynomien kaikkia juuria ei ole helppo ratkaista, mutta ne voidaan aina esittää algebrallisessa muodossa (rationaalilukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina).

Eli kyllä tuossa kohtaa voi jo sanoa "never". Jos sinulla on kolmannen asteen polynomi, jonka juuri on pakko esittää trigonometristen funktioiden avulla, se ei ole kokonaislukukertoiminen polynomi.

Ilmeisesti tarkoitat (rationaalikukujen rationaalipotenssien äärellisinä summina ) lauseella myös Cardanon kaavoilla saatavia kuutiojuuria kompleksiluvuista ja niiden summia.
Ne ovat kuitenkin kompleksilukuja, ja ne on muutettava ymmärrettävään muotoon juurikin sillä cosinikikkailulla, Laitan tähän nyt täällä aikaisemmin olleen yhtälön (r^3-6r^2 9r-3=0)
ratkaisun kompleksimuodossa, ja sen muuttamisen ymmärrettävään muotoon. https://aijaa.com/cQmRPt

Laitetaan nyt sitten, kun opittiin tuo juuri x=-6. Siinä täytyy sitten ottaa jakso 2pi myös mukaan.
Jos vielä laskettaisiin x=-3, niin siinä tulisi jakso 4pi:

https://aijaa.com/DGBmCn