Olkoon meillä tuntematon funktio f, josta tiedetään vain että se on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat luonnollisia lukuja.
Siis f(x) = a0 a1*x a2*x^2 ... an*x^n.
Miten funktio f saadaan selvitettyä laskemalla sen arvo kahdessa pisteessä?
Polynomin kertoimien selvittäminen
Anonyymi
14
172
Vastaukset
- Anonyymi
Jos tiedetään, että polynomin kertoimet saadaan selville polynomin arvoista kahdessa pisteessä, niin silloin polynomi on muotoa a0 a1x.
- Anonyymi
Tuo on se intuitiivinen vastaus, mutta olet väärässä.
Vinkki: Toisen pisteen valinta voi riippua siitä, mikä arvo ensimmäisenä valitussa pisteessä saatiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuo on se intuitiivinen vastaus, mutta olet väärässä.
Vinkki: Toisen pisteen valinta voi riippua siitä, mikä arvo ensimmäisenä valitussa pisteessä saatiin.Astetta n olevan polynomin määräämiseen tarvitaan aina n 1 pistettä, joten kaksi pistettä voi määrätä vain suoran a0 a1*x.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Astetta n olevan polynomin määräämiseen tarvitaan aina n 1 pistettä, joten kaksi pistettä voi määrätä vain suoran a0 a1*x.
Yleisessä tapauksessa kyllä, mutta tehtävän oletukset rajaavat mahdollisten polynomien joukkoa niin, että kahdella pisteellä voidaan määrätä yksikäsitteisesti minkä tahansa asteen polynomi.
Mieti vaikka esimerkkitapausta, jossa f(1)=1 ja f(2)=4. Nuo ehdot toteuttaa täsmälleen yksi polynomi, jonka kertoimet ovat luonnollisia lukuja. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Yleisessä tapauksessa kyllä, mutta tehtävän oletukset rajaavat mahdollisten polynomien joukkoa niin, että kahdella pisteellä voidaan määrätä yksikäsitteisesti minkä tahansa asteen polynomi.
Mieti vaikka esimerkkitapausta, jossa f(1)=1 ja f(2)=4. Nuo ehdot toteuttaa täsmälleen yksi polynomi, jonka kertoimet ovat luonnollisia lukuja.Mieti vaikkapa esimerkkitapausta f(-1) = f(1) = 1. Nuo ehdot toteuttavat polynomit f = 1, x^2, x^4...
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mieti vaikkapa esimerkkitapausta f(-1) = f(1) = 1. Nuo ehdot toteuttavat polynomit f = 1, x^2, x^4...
Ei tietenkään mitkä tahansa kaksi pistettä kelpaa kaikille polynomeille, mutta jokaiselle polynomille on olemassa kaksi pistettä siten, että mikään toimen polynomi ei saa samoja arvoja molemmissa pisteissä.
- Anonyymi
Keksin ratkaisun, mutta en vielä spoilaa muilta.
Kannattaa huomata, ettei matematiikassa yleensä anneta tarpeettomia oletuksia, joten alkuun pääsyä voi helpottaa kun miettii miksi on olennaista, että kertoimet ovat juuri luonnollisia lukuja.
Jos polynomin kertoimet saisivat olla myös negatiivisia tai jos niiden ei tarvitsisi olla kokonaislukuja, niin tätä ei voisi ratkaista. - Anonyymi
Minäkin keksin. Hyvä tehtävä!
.
.
.
SPOILER!!!
.
.
.
Vinkki: https://www.desmos.com/calculator/ep43vsyqi9 Älkää katsoko tätä jos haluatte miettiä. - Anonyymi
Jos tiedetään, että polynomin kertoimet < 10^n, lasketaan f(10^n), ja tuloksesta voidaan lukea polynomin kertoimet.
- Anonyymi
Siis lasketaan ensin f(1) jolloin saadaan kertoimien summa S. Sitten valitaan n niin että 10^n > S. Sitten lasketaan f(10^n) jolloin polynomien kertoimet helposti nähdään.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Siis lasketaan ensin f(1) jolloin saadaan kertoimien summa S. Sitten valitaan n niin että 10^n > S. Sitten lasketaan f(10^n) jolloin polynomien kertoimet helposti nähdään.
Juuri näin!
- Anonyymi
P(x) = 1 20 x^2
P(1) = 21 joten n = 2
P(100) = 200001
Q(x) = 1 2000 x
Q(1) = 2001 joten n = 4
Q(10000) = 20000001
???- Anonyymi
Ei sitä n:ää päätellä ensimmäisestä pisteestä, vaan toisesta. Ensimmäinen kertoo vain, mitä toiseksi pisteeksi pitää valita.
P(x) = 1 2000x.
P(1) = 2001, joten toiseksi pisteeksi valitaan 10000.
P(10000) = 20 000 001, jolloin tiedetään, että vakiotermi a0 = 1, x:n kerroin a1 = 2000, ja sitä suurempien x:n potenssien kertoimet ovat nollia.
P(x) = 1 20*x^2
P(1) = 21, joten valitaan toiseksi pisteeksi 100.
P(100) = 200 001, joten tiedetään, että vakiotermi a0=1, x:n kerroin a1=0, x^2:n kerroin a2=20, ja sitä suurempien x:n potenssien kertoimet ovat nollia.
Kun toiseksi pisteeksi valitaan tarpeeksi iso 10^k, polynomin kertoimet voidaan lukea kutakin potenssia vastaavasta kohdasta polynomin arvoa tuossa pisteessä. - Anonyymi
Kun n = 2, se kertoo, että tuon P(100) numerot pitää ryhmitellä lopusta alkaen kahden välein kertoimien määrittämiseksi, eli 20 00 01, eri potenssien kertoimet ovat siis suurimmasta alkaen 20, 0 ja 1. Eli yleisesti ryhmittely tehdään n numeron sarjoihin.
Fiksumpi olisi tuon itsekin huomannut.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat
Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude27415346Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %
Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy13910592Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat
Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h1109442Polttomoottoriauto tulessa parkkihallissa Tampereella
Pystyy näkemättä jo sanomaan, koska sähköautoissa ei ole palavia nesteitä lainkaan. Ihme ettei polttomoottoriautoja ole678222Sanna Marin saa ylistystä Hillary Clintonilta
Jos joku ei tiedä kuka tämä rouva Hillary Clinton on, niin kerrottakoon "fun fact", eli hän on se keneltä Donald Trump297705Johtuuko vasemmistolaisten inho kristinuskoa kohtaan heidän islamin uskostaan?
Tätä jäin pohdiskelemaan.1866615Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija
https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua1936343Ohhoh. Kokoomusvirkamiehen mukaan Suomessa ei ole työttömyyskriisiä
Kun kokoomuksen johtama hallitus epäonnistuu täydellisesti talouspolitiikassaan, niin aikaisemmin erittäin pahaksi määri355948IL - Patteriauto syttyi parkkihallissa Tampereella - 50 autoa LUNASTUKSEEN!
"Palon aikaan parkkihallissa oli 90 autoa, joista noin 50 tuhoutui palossa korjauskelvottomiksi. Lisäksi palo vaurioitti1654191Ja jälleen uusi latauksessa olleen sähköauton palo! Nyt Keravan Prisman parkkihallissa.
IS 3.10.2025 Latauksessa ollut sähköauto syttyi yöllä tuleen Keravan Prisman parkkihallissa, Keski-Uudenmaan pelastusla263352