Olkoon meillä tuntematon funktio f, josta tiedetään vain että se on polynomi, jonka kaikki kertoimet ovat luonnollisia lukuja.
Siis f(x) = a0 a1*x a2*x^2 ... an*x^n.
Miten funktio f saadaan selvitettyä laskemalla sen arvo kahdessa pisteessä?
Polynomin kertoimien selvittäminen
Anonyymi
14
123
Vastaukset
- Anonyymi
Jos tiedetään, että polynomin kertoimet saadaan selville polynomin arvoista kahdessa pisteessä, niin silloin polynomi on muotoa a0 a1x.
- Anonyymi
Tuo on se intuitiivinen vastaus, mutta olet väärässä.
Vinkki: Toisen pisteen valinta voi riippua siitä, mikä arvo ensimmäisenä valitussa pisteessä saatiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuo on se intuitiivinen vastaus, mutta olet väärässä.
Vinkki: Toisen pisteen valinta voi riippua siitä, mikä arvo ensimmäisenä valitussa pisteessä saatiin.Astetta n olevan polynomin määräämiseen tarvitaan aina n 1 pistettä, joten kaksi pistettä voi määrätä vain suoran a0 a1*x.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Astetta n olevan polynomin määräämiseen tarvitaan aina n 1 pistettä, joten kaksi pistettä voi määrätä vain suoran a0 a1*x.
Yleisessä tapauksessa kyllä, mutta tehtävän oletukset rajaavat mahdollisten polynomien joukkoa niin, että kahdella pisteellä voidaan määrätä yksikäsitteisesti minkä tahansa asteen polynomi.
Mieti vaikka esimerkkitapausta, jossa f(1)=1 ja f(2)=4. Nuo ehdot toteuttaa täsmälleen yksi polynomi, jonka kertoimet ovat luonnollisia lukuja. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Yleisessä tapauksessa kyllä, mutta tehtävän oletukset rajaavat mahdollisten polynomien joukkoa niin, että kahdella pisteellä voidaan määrätä yksikäsitteisesti minkä tahansa asteen polynomi.
Mieti vaikka esimerkkitapausta, jossa f(1)=1 ja f(2)=4. Nuo ehdot toteuttaa täsmälleen yksi polynomi, jonka kertoimet ovat luonnollisia lukuja.Mieti vaikkapa esimerkkitapausta f(-1) = f(1) = 1. Nuo ehdot toteuttavat polynomit f = 1, x^2, x^4...
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mieti vaikkapa esimerkkitapausta f(-1) = f(1) = 1. Nuo ehdot toteuttavat polynomit f = 1, x^2, x^4...
Ei tietenkään mitkä tahansa kaksi pistettä kelpaa kaikille polynomeille, mutta jokaiselle polynomille on olemassa kaksi pistettä siten, että mikään toimen polynomi ei saa samoja arvoja molemmissa pisteissä.
- Anonyymi
Keksin ratkaisun, mutta en vielä spoilaa muilta.
Kannattaa huomata, ettei matematiikassa yleensä anneta tarpeettomia oletuksia, joten alkuun pääsyä voi helpottaa kun miettii miksi on olennaista, että kertoimet ovat juuri luonnollisia lukuja.
Jos polynomin kertoimet saisivat olla myös negatiivisia tai jos niiden ei tarvitsisi olla kokonaislukuja, niin tätä ei voisi ratkaista. - Anonyymi
Minäkin keksin. Hyvä tehtävä!
.
.
.
SPOILER!!!
.
.
.
Vinkki: https://www.desmos.com/calculator/ep43vsyqi9 Älkää katsoko tätä jos haluatte miettiä. - Anonyymi
Jos tiedetään, että polynomin kertoimet < 10^n, lasketaan f(10^n), ja tuloksesta voidaan lukea polynomin kertoimet.
- Anonyymi
Siis lasketaan ensin f(1) jolloin saadaan kertoimien summa S. Sitten valitaan n niin että 10^n > S. Sitten lasketaan f(10^n) jolloin polynomien kertoimet helposti nähdään.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Siis lasketaan ensin f(1) jolloin saadaan kertoimien summa S. Sitten valitaan n niin että 10^n > S. Sitten lasketaan f(10^n) jolloin polynomien kertoimet helposti nähdään.
Juuri näin!
- Anonyymi
P(x) = 1 20 x^2
P(1) = 21 joten n = 2
P(100) = 200001
Q(x) = 1 2000 x
Q(1) = 2001 joten n = 4
Q(10000) = 20000001
???- Anonyymi
Ei sitä n:ää päätellä ensimmäisestä pisteestä, vaan toisesta. Ensimmäinen kertoo vain, mitä toiseksi pisteeksi pitää valita.
P(x) = 1 2000x.
P(1) = 2001, joten toiseksi pisteeksi valitaan 10000.
P(10000) = 20 000 001, jolloin tiedetään, että vakiotermi a0 = 1, x:n kerroin a1 = 2000, ja sitä suurempien x:n potenssien kertoimet ovat nollia.
P(x) = 1 20*x^2
P(1) = 21, joten valitaan toiseksi pisteeksi 100.
P(100) = 200 001, joten tiedetään, että vakiotermi a0=1, x:n kerroin a1=0, x^2:n kerroin a2=20, ja sitä suurempien x:n potenssien kertoimet ovat nollia.
Kun toiseksi pisteeksi valitaan tarpeeksi iso 10^k, polynomin kertoimet voidaan lukea kutakin potenssia vastaavasta kohdasta polynomin arvoa tuossa pisteessä. - Anonyymi
Kun n = 2, se kertoo, että tuon P(100) numerot pitää ryhmitellä lopusta alkaen kahden välein kertoimien määrittämiseksi, eli 20 00 01, eri potenssien kertoimet ovat siis suurimmasta alkaen 20, 0 ja 1. Eli yleisesti ryhmittely tehdään n numeron sarjoihin.
Fiksumpi olisi tuon itsekin huomannut.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
En usko et meistä tulee jotain
Se ei kuitenkaan estä toivomasta et tulisi. Toivon et voitas suudella ja se sais asioita loksahtamaan paikoilleen. Jutel102910- 1152155
Eini paljastaa nuorekkuutensa salaisuuden - Tämä nousee framille: "Se on pakko, että jaksaa!"
Discokuningatar Eini on täyttänyt upeat 64 vuotta. Lavoilla ja keikoilla nähdään entistä vapautuneempi artisti, joka ei431574- 2601398
- 711033
Olen J-mies
Jos kerrot sukunimeni alkukirjaimen, ja asuinpaikkakuntani. Lupaan ottaa yhteyttä sinuun.47911Ei sitten, ei olla enää
Missään tekemisissä. Unohdetaan kaikki myös se että tunsimme. Tätä halusit tämän saat. J miehelle. Rakkaudella vaalea na77890- 55884
- 44795
Ma 30.9 tosiko tv klo 18 suorana Tikkalanmäeltä
Virastolta suorana. Äänestyksistä sitten puhutaan illalla ja huomenna, onko kepuvasemmisto kuntalaisten tahdon mukaan to93736