joulupähkinä: helminauha

Anonyymi

Maijalla on 60 helmeä: 20 sinistä, 20 punaista ja 20 keltaista. Kuinka nonta erilaista 60 helmen kaulanauhaa Maija voi näistä muodostaa?
(tämä tehtävä oli aikoinaan voittosoitto-peliohjelman vihjeenä, vastausluvusta sai laskutehtävän jälkeen luvun=ascii-koodit, mistä sai automerkin kirjaimet, mitkä piti vielä saada oikeaan järjestykseen automerkiksi. Ratkaisin tehtävän ja voitin 2500 euroa)
Löytyykö täältä rartkaisua tähän?

17

75

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      5,778312145×10²⁶

      • Anonyymi

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.

        Tietysti on niin, että ei niitä helmiä voi pujottaa naruun, jos se on suljettu lenkki. Mutta kysymys on, millaista helminauhaa tarkoitetaan tehtävässä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.

        Naiset tajuaa kymmenen kertaa enemmän värejä kuin miehet. Tuo on tieteellisesti todistettu.


    • Anonyymi

      Muistan itse kanssa joskus laskeneeni tuon. Käytin Pólyan enumeraatioteoreemaa (sen yleisempää painotettua versiota):
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_enumeration_theorem

      Ei kyllä ihan tuoreessa muistissa ollut että mitenkäs se nyt pitikään tehdä. Mutta väreille siis käytetään kolmiulotteisia painotuksia (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1).
      Generoiva funktio f on t1 t2 t3. Syklisen ryhmän sykli-indeksi löytyy Wikipediasta ja sitten vaan sijoitellaan. Tein tämmöisen m värille ja n kappaletta kutakin väriä laskennan tekevän (tai saisihan siitä lukumäärän mille tahansa määrille värejä, kun se koko generoiva polynomi lasketaan) Sage-koodin:

      https://pastebin.pl/view/44932a32

      Minkä takia muuten kaulanauhaa (necklace) ei saa kääntää ympäri (eli toimiva ryhmä on syklinen ryhmä eikä dihedraalinen) kun taas rannekoru (bracelet) voidaan?

    • Anonyymi

      Joo, tuo 5,778312145×10²⁶ on kai vastaus tehtävään, jossa helmet ovat jonossa, eli 60!/(20!)^3. Mutta jos ne ovat suljetussa lenkissä, vähenevät tapukset. Oletin että kun lenkkiä käännetään yhden helmen verran, tulee uusi "jono", joka on jo laskettu. Mutta nuo symmetriat kai tekevät, että ne uudet jo lasketut jonot esiintyvät useamman kerran.

    • Anonyymi

      RATKAISU TEHTÄVÄÄN:
      Tehtävä ei ole ihan helppo (yliopistomatematiikkaa). Oikea vastaus eli erilaisten helminauhojen määrä on: 4815260120656786955314918.
      Ratkaisu on erilaisten kombinaatio-schemojen summa, ja siihen tarvitaan Eulerin totient-fuktiota.

      Helminauha n=60 lambda=(20,20,20):
      hae gcd(20,20,20)=20 gcd=greatest common divisor=suurin yhteinen jakaja lambdan luvuille
      hae Euler function taulusta rivi, missä taulun n=gcd=20 ja siitä divisorit=d=1, 2, 4, 5, 10, 20, ne tulee -summakaavaan omina F(d)-termeinään (missä d=jakaja ko. termin arvoille), (n ja lambdan luvut parillisia: lisätermi=n*F(2)):
      [s20p20k20]D60= 1/(2*60)*{F(1) F(2) F(4) F(5) F(10) F(20) 60*F(2)}=
      tee F(d):t = n/d alle lambda/d permutaatiomerkintöinä ja sille kerroin fii(d) Euler-taulun d-riviltä:
      (permutaatiomerkinnässä / on ylim. allemerkki, se kuvaa merkintää 60 alle (20,20,20), missä on sulut ympärillä, koska tähän tekstiesitykseen ei saa oikeaoppista 2-rivistä permutaatiomerkintää)
      1/120*{(60/(20,20,20)) (30/(10,10,10)) (15/(5,5,5))*2 (12/(4,4,4))*4 (6/(2,2,2))*4 (3/(1,1,1))*8 60*(30/(10,10,10))}=
      kirjoita permutaatiot auki kertomina (/=normaali jakomerkki) ja laske lopputulos (syötä laskimeen):
      1/120*(60!/(20!*20!*20!) 30!/(10!*10!*10!) 15!/(5!*5!*5!)*2 12!/(4!*4!*4!)*4 6!/(2!*2!*2!)*4
      3!/(1!*1!*1!)*8 60*30!/(10!*10!*10!))=
      4815260120656786955314918

      (helminauhan ratkaisukaava löytyi internetistä, Nagasakin yliopiston opiskelijat oli johtianeet sen , linkkiä ei ole enää)

      Automerkki saatiin vähentämällä ratkaistusta vuhjeluvusta iso luku, tulos oli esim 659090 eli ascii-merkkeinä azz, mitkä piti saada oikeaab järjestykseen eli tässä tapauksessa zaz (=kysytty automerkki).

      • Anonyymi

        Jokin wolfram tms. sivu antoi vastaukseksi 706519304586940156873850720.

        Miten luvusta 4815260120656786955314918 saa luvun 659090.


      • Anonyymi

      • Anonyymi

        Tuo 60!/(120*(20!)^3)) antaa WAlla vastaukseksi 4.8152601206539651985988825 × 10^24 eli 12 eka numeroa samaa.


    • Anonyymi

      Tuon necklace sivun mukaan minun käyttämä kaava ja yo esimerkkilasku oli turnover necklace eli bracelet, mutta se kuitenkin oli oikea vastaus ko tehtävään Jos tuohon sijoittaa vastaavasti n=6 ja lambda=(2,2,2) saadaan 11 eli tuon sivun bracelet (suljettu ympyrä),
      Esimerkki automerkki tehtävässä vähennettävä luku oli siis 4815260120656786954655828, mistä saatiin tulos 659090.

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      30
      3531
    2. Kukka ampu taas Kokkolassa?

      T. olisi hetkeä aiemmin lähtenyt johonkin. Naapuri kai tekijä J.K., ei paljasjalkainen Kokkolalainen, vaan n. 100km pääs
      Kokkola
      9
      1588
    3. Kuinka kauan

      Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?
      Ikävä
      113
      1483
    4. Milli-helenalla ongelmia

      Suomen virkavallan kanssa. Eipä ole ihme kun on etsintäkuullutettu jenkkilässäkin. Vähiin käy oleskelupaikat virottarell
      Kotimaiset julkkisjuorut
      224
      1290
    5. Kun näen sinut

      tulen iloiseksi. Tuskin uskallan katsoa sinua, herätät minussa niin paljon tunteita. En tunne sinua hyvin, mutta jotain
      Ikävä
      34
      903
    6. Purra saksii taas. Hän on mielipuuhassaan.

      Nyt hän leikkaa hyvinvointialueiltamme kymmeniä miljoonia. Sotea romutetaan tylysti. Terveydenhoitoamme kurjistetaan. ht
      Maailman menoa
      242
      893
    7. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      132
      892
    8. Yhdelle miehelle

      Mä kaipaan sua niin paljon. Miksi sä oot tommonen pösilö?
      Ikävä
      60
      879
    9. Ja taas kerran hallinto-oikeus että pieleen meni

      Hallinto-oikeus kumosi kunnanhallituksen päätöksen vuokratalojen pääomituksesta. https://sysmad10.oncloudos.com/cgi/DREQ
      Sysmä
      66
      854
    10. Löydänköhän koskaan

      Sunlaista herkkää tunteellista joka jumaloi mua. Tuskin. Siksi harmittaa että asiat meni näin 🥲
      Ikävä
      98
      829
    Aihe