Aihe

joulupähkinä: helminauha

Anonyymi

Maijalla on 60 helmeä: 20 sinistä, 20 punaista ja 20 keltaista. Kuinka nonta erilaista 60 helmen kaulanauhaa Maija voi näistä muodostaa?
(tämä tehtävä oli aikoinaan voittosoitto-peliohjelman vihjeenä, vastausluvusta sai laskutehtävän jälkeen luvun=ascii-koodit, mistä sai automerkin kirjaimet, mitkä piti vielä saada oikeaan järjestykseen automerkiksi. Ratkaisin tehtävän ja voitin 2500 euroa)
Löytyykö täältä rartkaisua tähän?

16

79

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      5,778312145×10²⁶

      • Anonyymi

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.

        Tietysti on niin, että ei niitä helmiä voi pujottaa naruun, jos se on suljettu lenkki. Mutta kysymys on, millaista helminauhaa tarkoitetaan tehtävässä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.

        Naiset tajuaa kymmenen kertaa enemmän värejä kuin miehet. Tuo on tieteellisesti todistettu.


    • Anonyymi

      Muistan itse kanssa joskus laskeneeni tuon. Käytin Pólyan enumeraatioteoreemaa (sen yleisempää painotettua versiota):
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_enumeration_theorem

      Ei kyllä ihan tuoreessa muistissa ollut että mitenkäs se nyt pitikään tehdä. Mutta väreille siis käytetään kolmiulotteisia painotuksia (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1).
      Generoiva funktio f on t1 + t2 + t3. Syklisen ryhmän sykli-indeksi löytyy Wikipediasta ja sitten vaan sijoitellaan. Tein tämmöisen m värille ja n kappaletta kutakin väriä laskennan tekevän (tai saisihan siitä lukumäärän mille tahansa määrille värejä, kun se koko generoiva polynomi lasketaan) Sage-koodin:

      https://pastebin.pl/view/44932a32

      Minkä takia muuten kaulanauhaa (necklace) ei saa kääntää ympäri (eli toimiva ryhmä on syklinen ryhmä eikä dihedraalinen) kun taas rannekoru (bracelet) voidaan?

    • Anonyymi

      Joo, tuo 5,778312145×10²⁶ on kai vastaus tehtävään, jossa helmet ovat jonossa, eli 60!/(20!)^3. Mutta jos ne ovat suljetussa lenkissä, vähenevät tapukset. Oletin että kun lenkkiä käännetään yhden helmen verran, tulee uusi "jono", joka on jo laskettu. Mutta nuo symmetriat kai tekevät, että ne uudet jo lasketut jonot esiintyvät useamman kerran.

    • Anonyymi

      RATKAISU TEHTÄVÄÄN:
      Tehtävä ei ole ihan helppo (yliopistomatematiikkaa). Oikea vastaus eli erilaisten helminauhojen määrä on: 4815260120656786955314918.
      Ratkaisu on erilaisten kombinaatio-schemojen summa, ja siihen tarvitaan Eulerin totient-fuktiota.

      Helminauha n=60 lambda=(20,20,20):
      hae gcd(20,20,20)=20 gcd=greatest common divisor=suurin yhteinen jakaja lambdan luvuille
      hae Euler function taulusta rivi, missä taulun n=gcd=20 ja siitä divisorit=d=1, 2, 4, 5, 10, 20, ne tulee -summakaavaan omina F(d)-termeinään (missä d=jakaja ko. termin arvoille), (n ja lambdan luvut parillisia: lisätermi=n*F(2)):
      [s20p20k20]D60= 1/(2*60)*{F(1)+F(2)+F(4)+F(5)+F(10)+F(20)+60*F(2)}=
      tee F(d):t = n/d alle lambda/d permutaatiomerkintöinä ja sille kerroin fii(d) Euler-taulun d-riviltä:
      (permutaatiomerkinnässä / on ylim. allemerkki, se kuvaa merkintää 60 alle (20,20,20), missä on sulut ympärillä, koska tähän tekstiesitykseen ei saa oikeaoppista 2-rivistä permutaatiomerkintää)
      1/120*{(60/(20,20,20))+(30/(10,10,10))+(15/(5,5,5))*2+(12/(4,4,4))*4+(6/(2,2,2))*4+(3/(1,1,1))*8+60*(30/(10,10,10))}=
      kirjoita permutaatiot auki kertomina (/=normaali jakomerkki) ja laske lopputulos (syötä laskimeen):
      1/120*(60!/(20!*20!*20!)+30!/(10!*10!*10!)+15!/(5!*5!*5!)*2+12!/(4!*4!*4!)*4+6!/(2!*2!*2!)*4
      + 3!/(1!*1!*1!)*8+60*30!/(10!*10!*10!))=
      4815260120656786955314918

      (helminauhan ratkaisukaava löytyi internetistä, Nagasakin yliopiston opiskelijat oli johtianeet sen , linkkiä ei ole enää)

      Automerkki saatiin vähentämällä ratkaistusta vuhjeluvusta iso luku, tulos oli esim 659090 eli ascii-merkkeinä azz, mitkä piti saada oikeaab järjestykseen eli tässä tapauksessa zaz (=kysytty automerkki).

      • Anonyymi

        Jokin wolfram tms. sivu antoi vastaukseksi 706519304586940156873850720.

        Miten luvusta 4815260120656786955314918 saa luvun 659090.


      • Anonyymi

      • Anonyymi

        Tuo 60!/(120*(20!)^3)) antaa WAlla vastaukseksi 4.8152601206539651985988825 × 10^24 eli 12 eka numeroa samaa.


    • Anonyymi

      Tuon necklace sivun mukaan minun käyttämä kaava ja yo esimerkkilasku oli turnover necklace eli bracelet, mutta se kuitenkin oli oikea vastaus ko tehtävään Jos tuohon sijoittaa vastaavasti n=6 ja lambda=(2,2,2) saadaan 11 eli tuon sivun bracelet (suljettu ympyrä),
      Esimerkki automerkki tehtävässä vähennettävä luku oli siis 4815260120656786954655828, mistä saatiin tulos 659090.

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Maisan uupuvat päivitykset ja tuoreet rikosepäilyt

      Mikäs kun Maisa ei ole viikkoihin päivittänyt instaa ja nyt ollaan lehdissä tälläisistä.. 👀 https://www.iltalehti.fi/viihdeuutiset/a/010c6594-780f-4
      Kotimaiset julkkisjuorut
      271
      19950
    2. Taksinkuljettaja Niina Syrjäläinen (Ristiinasta)

      https://www.iltalehti.fi/kotimaa/a/33ec61ee-a6fb-4422-8ecc-982c68a91196 Viimeinen havainto eilen tiistailta n.17:48. Kadonnut kotoaan tilataksin kans
      Kadonneet ihmiset
      171
      15859
    3. Sofia sai 2000 e sukset ja Stefan joutui lainaamaan rahaa ruokaan

      Sofia sai Stefanilta 2000 e sukset ja Stefan joutui tämän jälkeen lainaamaan kaverilta rahaa ruokaan. Aika hurjaa menoa. Jos Martina olisi tiennyt,
      Kotimaiset julkkisjuorut
      301
      12724
    4. Poliisi vaati Niko Ranta-ahoa vangittavaksi

      uudesta huumerikoksesta. https://www.is.fi/kotimaa/art-2000007734511.html
      Kotimaiset julkkisjuorut
      310
      10393
    5. Notta ny se on tuloos! Sinimustat rekisteröityy puolueeksi.

      Vanhat hyvät ajat palaavat. Joukko ultra-isänmaallisia ovat perustamassa uutta puoluetta. Työnimenä on nyt Sinimustat. Nyt tulee vihervasemmistolaisel
      Maailman menoa
      676
      10188