joulupähkinä: helminauha

Anonyymi

Maijalla on 60 helmeä: 20 sinistä, 20 punaista ja 20 keltaista. Kuinka nonta erilaista 60 helmen kaulanauhaa Maija voi näistä muodostaa?
(tämä tehtävä oli aikoinaan voittosoitto-peliohjelman vihjeenä, vastausluvusta sai laskutehtävän jälkeen luvun=ascii-koodit, mistä sai automerkin kirjaimet, mitkä piti vielä saada oikeaan järjestykseen automerkiksi. Ratkaisin tehtävän ja voitin 2500 euroa)
Löytyykö täältä rartkaisua tähän?

17

74

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      5,778312145×10²⁶

      • Anonyymi

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyllä mun mutsilla oli helminauhassa alku ja loppu kun nauha katkesi ja helmet levisi pitkin parkettia. Varmaan ihmiset sitten koitti tehdä niistä jotain yhdistelmiä.

        Tietysti on niin, että ei niitä helmiä voi pujottaa naruun, jos se on suljettu lenkki. Mutta kysymys on, millaista helminauhaa tarkoitetaan tehtävässä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Lähtökohtana taitaa olla, ettei helminauhassa ole alkua eikä loppua, joten tuo pitäisi vielä jakaa luvulla 60.

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Niin ja sitten pitäisi kai vielä jakaa kahdella, koska helminauha voidaan kääntää toisin päin.

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Valitettavasti se ei mene niin helposti. Katso: https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

        Tietyillä värikehillä on kiertosymmetrioita, joten jokainen kieritys ei tuotakaan aidosti uutta, vaan värit asettuvat jo siinä matkalla samaan asentoon kuin mistä lähdettiin.

        Naiset tajuaa kymmenen kertaa enemmän värejä kuin miehet. Tuo on tieteellisesti todistettu.


    • Anonyymi

      Muistan itse kanssa joskus laskeneeni tuon. Käytin Pólyan enumeraatioteoreemaa (sen yleisempää painotettua versiota):
      https://en.wikipedia.org/wiki/Pólya_enumeration_theorem

      Ei kyllä ihan tuoreessa muistissa ollut että mitenkäs se nyt pitikään tehdä. Mutta väreille siis käytetään kolmiulotteisia painotuksia (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (0, 0, 1).
      Generoiva funktio f on t1 t2 t3. Syklisen ryhmän sykli-indeksi löytyy Wikipediasta ja sitten vaan sijoitellaan. Tein tämmöisen m värille ja n kappaletta kutakin väriä laskennan tekevän (tai saisihan siitä lukumäärän mille tahansa määrille värejä, kun se koko generoiva polynomi lasketaan) Sage-koodin:

      https://pastebin.pl/view/44932a32

      Minkä takia muuten kaulanauhaa (necklace) ei saa kääntää ympäri (eli toimiva ryhmä on syklinen ryhmä eikä dihedraalinen) kun taas rannekoru (bracelet) voidaan?

    • Anonyymi

      Joo, tuo 5,778312145×10²⁶ on kai vastaus tehtävään, jossa helmet ovat jonossa, eli 60!/(20!)^3. Mutta jos ne ovat suljetussa lenkissä, vähenevät tapukset. Oletin että kun lenkkiä käännetään yhden helmen verran, tulee uusi "jono", joka on jo laskettu. Mutta nuo symmetriat kai tekevät, että ne uudet jo lasketut jonot esiintyvät useamman kerran.

    • Anonyymi

      RATKAISU TEHTÄVÄÄN:
      Tehtävä ei ole ihan helppo (yliopistomatematiikkaa). Oikea vastaus eli erilaisten helminauhojen määrä on: 4815260120656786955314918.
      Ratkaisu on erilaisten kombinaatio-schemojen summa, ja siihen tarvitaan Eulerin totient-fuktiota.

      Helminauha n=60 lambda=(20,20,20):
      hae gcd(20,20,20)=20 gcd=greatest common divisor=suurin yhteinen jakaja lambdan luvuille
      hae Euler function taulusta rivi, missä taulun n=gcd=20 ja siitä divisorit=d=1, 2, 4, 5, 10, 20, ne tulee -summakaavaan omina F(d)-termeinään (missä d=jakaja ko. termin arvoille), (n ja lambdan luvut parillisia: lisätermi=n*F(2)):
      [s20p20k20]D60= 1/(2*60)*{F(1) F(2) F(4) F(5) F(10) F(20) 60*F(2)}=
      tee F(d):t = n/d alle lambda/d permutaatiomerkintöinä ja sille kerroin fii(d) Euler-taulun d-riviltä:
      (permutaatiomerkinnässä / on ylim. allemerkki, se kuvaa merkintää 60 alle (20,20,20), missä on sulut ympärillä, koska tähän tekstiesitykseen ei saa oikeaoppista 2-rivistä permutaatiomerkintää)
      1/120*{(60/(20,20,20)) (30/(10,10,10)) (15/(5,5,5))*2 (12/(4,4,4))*4 (6/(2,2,2))*4 (3/(1,1,1))*8 60*(30/(10,10,10))}=
      kirjoita permutaatiot auki kertomina (/=normaali jakomerkki) ja laske lopputulos (syötä laskimeen):
      1/120*(60!/(20!*20!*20!) 30!/(10!*10!*10!) 15!/(5!*5!*5!)*2 12!/(4!*4!*4!)*4 6!/(2!*2!*2!)*4
      3!/(1!*1!*1!)*8 60*30!/(10!*10!*10!))=
      4815260120656786955314918

      (helminauhan ratkaisukaava löytyi internetistä, Nagasakin yliopiston opiskelijat oli johtianeet sen , linkkiä ei ole enää)

      Automerkki saatiin vähentämällä ratkaistusta vuhjeluvusta iso luku, tulos oli esim 659090 eli ascii-merkkeinä azz, mitkä piti saada oikeaab järjestykseen eli tässä tapauksessa zaz (=kysytty automerkki).

      • Anonyymi

        Jokin wolfram tms. sivu antoi vastaukseksi 706519304586940156873850720.

        Miten luvusta 4815260120656786955314918 saa luvun 659090.


      • Anonyymi

      • Anonyymi

        Tuo 60!/(120*(20!)^3)) antaa WAlla vastaukseksi 4.8152601206539651985988825 × 10^24 eli 12 eka numeroa samaa.


    • Anonyymi

      Tuon necklace sivun mukaan minun käyttämä kaava ja yo esimerkkilasku oli turnover necklace eli bracelet, mutta se kuitenkin oli oikea vastaus ko tehtävään Jos tuohon sijoittaa vastaavasti n=6 ja lambda=(2,2,2) saadaan 11 eli tuon sivun bracelet (suljettu ympyrä),
      Esimerkki automerkki tehtävässä vähennettävä luku oli siis 4815260120656786954655828, mistä saatiin tulos 659090.

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Janne Ahonen E R O A A

      Taas 2 lasta jää vaille ehjää perhettä!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      105
      1699
    2. Terveystalon lääkärit ylilaskuttaneet

      Tämän pörriäiset osaavat, laskuttamisen. Terveystalo myöntää asian. https://www.hs.fi/suomi/art-2000011134269.html "K
      Maailman menoa
      127
      1452
    3. En kai koskaan saa sinua

      Koska et usko että riitäisit minulle. Olet aina pitänyt itseäsi liian risana ja heikkona. Katkot korkeutesi, ja poraat k
      Ikävä
      92
      1312
    4. Nyt on aika laittaa parit selkoon.

      Onko pareja täällä. Laita kirjaimet kuka tykkää kenestäkin ?
      Ikävä
      62
      1163
    5. The Summit Suomi: Maxie avaa hyytävästä tilanteesta kuvauksissa: "Veri roiskui ja tajusi, että..."

      Oletko seurannut The Summit Suomea? Tykkäätkö vai et tai mitä mieltä ylipäätään olet sarjasta? Moni katsoja on kaikonnut
      Tv-sarjat
      10
      1048
    6. Saran ökytyyli käänsi katseita.

      On nyt kyllä Sara kasvoistaan, kuvan perusteella todellakin pyöristynyt ainakin kuvan perusteella.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      111
      1019
    7. Työttömille lusmuille luvassa lisää keppiä

      Hallitus aikoo kiristää velvoitteiden laiminlyönnistä seuraavia työttömyysturvan karensseja ensi vuodesta alkaen. Hall
      Maailman menoa
      214
      820
    8. Tiedän kaiken sinusta ja kaikesta

      Tiedän miten kärsit. Tiedän millanen oikeesti oot. Tiedän miksi valehtelit, tiedän miksi satutit mua. Tiedän mitä tapaht
      Ikävä
      57
      773
    9. Ootko huomannut miten

      pursuat joka puolelta. Sille joka luulee itsestään liikoja 🫵🙋🏻‍♂️
      Ikävä
      122
      753
    10. Miksi ihmeessä?

      Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
      Ateismi
      20
      718
    Aihe