Aihe

Laatikot kolmiossa (ja näköeste)

Anonyymi

Meillä on suorakulmainen kolmio, jonka molemmat kateetit ovat pituudeltaan 1. Sen sisällä on kaksi laatikkoa (eli suorakaidetta). Laatikot ovat toisiaan vasten ja kolmiota vasten (ekalla on kärki kolmion suorakulmaisessa kärjessä ja toisella sivu kolmion sivua vasten ja toinen sivu ensimmäisen laatikon sivua vasten, kummallakin on yksi kärki kolmion hypotenuusalla).
Katsokaa tarkemmin tästä havainne-appletista:

https://www.desmos.com/calculator/qlck2pmtyz

a) Mitkä ovat laatikoiden oikeiden alanurkkien x-koordinaatit (kuvassa pisteet A ja B), kun laatikoiden yhteinen ala on suurin mahdollinen?

b) Oletetaan että kolmio on asetettu x,y-koordinaatistoon kuten yllä linkitetyssä havainne-applikaatiossa eli se on akselien ja suoran x+y=1 rajoittama. Nyt kolmioon lisätään päälle "näköeste" (kuvassa mustalla varjostettu alue). Olkoon g(x) = 1/2(1-x^2). Alue y<g(x) ei ole näkyvissä. Mitkä ovat nyt vastaavat sijainnit, jotta laatikoista näkyvä yhteinen ala maksimoituu?

4

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Taitaa tulla maksimi 1/3 x-koordinaateilla 1/3 ja 2/3.

      • Anonyymi

        Oikein.

        c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy

        d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :D


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Oikein.

        c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy

        d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :D

        Esim. f(x) = 1-x^2

        https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Esim. f(x) = 1-x^2

        https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42

        Saatteko kukaan muu tuosta neljälle laatikolle tulosta A_max = 0.5671? Minä ratkaisin näin:

        https://www.desmos.com/calculator/zy5ewm7hqv

        Siis lisätään kaavan yksinkertaistamiseksi muuttuja x0, mutta kiinnitetään sen arvo x0=0. Voitaisiinhan siihen lisätä myös x_{N+1} = 1, tiedä sitten helpottaisiko laskuja. Mutta, kun

        g(x) = sum_{j=1}^N (x_j-x_{j-1})f(x_j)

        niin tällöin jokainen yhtälö yhtälöryhmässä grad(g) = 0 olisi muotoa (kun ensimmäinen ja viimeinen (jos otetaan myös x_{N+1} mukaan) unohdetaan, koska tämähän on Lagrangen kertoimet -juttu)

        3x_j^2 - 2x_{j-1}x_j = x_{j+1}^2

        ja 1-x1^2 = t (Lagrangen kerroin). Viimeisestä komponentista ei tule yhtälöä, koska x_{N+1} ei esiinny g:ssä eli toinen Lagrangen kerroin on nolla ja viimeinen ehto on niin sanotusti slacknessissä.

        Muuttujat voidaan tuosta ratkaista toistensa avulla ja siitä tulee sellainen ketjumurtoluvun tyyppinen, jossa on neliöjuuri aina päällä ja kaava 3 + 2/(sqrt(...)) toistuu. Mutta sitten itse viimeisen muuttujan ratkaiseminen viimeisestä yhtälöstä 3x_N - 2x_{N-1} = 1...
        Noh minä tein sen Sagella ja eliminaatioideaalilla ja sieltä tuli 16. asteen (tai 8. asteen kun korvaa x^2:n x:llä) polynomi, jonka juurista sitten piti valita oikea. Suurin juuri näytti tuottavan suurimman alan.

        Jos käyttääkin ord='invlex' polynomirenkaan määrittelyssä (ja sitten ottaa toiseksi viimeisen Gröbnerin kannasta, sillä siellähän on tietysti se x0 viimeisenä), niin saa polynomin, jonka juuri x1^2 on:

        x^8 - 697176/3666143*x^7 + 476813052/35499262669*x^6- 17218328/35499262669*x^5 + 8167986/816483041387*x^4 - 38968/319493364021*x^3 + 19052/22045042117449*x^2 - 8/2449449124161*x + 1/198405379057041

        Eli ei sen helpompi, mutta saman x1 = sqrt(0.085566) = 0.2925 sieltä saa suurimpana juurena.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Maisa Torpan raskausuutisesta...

      Maisa Torppa ilmoitti olevansa raskaana. Yksi asia ihmetyttää ja on ihmetyttänyt aikaisemminkin: Maisa Torpan Instagramissa tykkääjissä/kommentoijiss
      Kotimaiset julkkisjuorut
      609
      29570
    2. Naisen vessakäynti suhteen alussa

      Mä olin ihastukseni kaa viettämässä viikonloppua. Eka kertaa yövyin miehen luona. Toisen yön jälkeisenä aamuna mulla meni vatsa aivan sekaisin. Oltiin
      Parisuhde
      288
      20872
    3. Liikenne topissa

      Mitäs liedenpohjassa tekeillä ku kuus kutosen liikenne katkaistu..poliisioperaatio
      Virrat
      40
      14060
    4. Maisa se jaksaa valehdella

      https://www.iltalehti.fi/viihdeuutiset/a/28acb452-15ff-470d-80c3-511ad69abec0 Taas on syytön, taas on todisteita jotka jossain vaiheessa paljastaa Ma
      Kotimaiset julkkisjuorut
      352
      10865
    5. Liedenpohja

      Mikä hässäkkä siälä on päällä ??
      Virrat
      85
      8006