Meillä on suorakulmainen kolmio, jonka molemmat kateetit ovat pituudeltaan 1. Sen sisällä on kaksi laatikkoa (eli suorakaidetta). Laatikot ovat toisiaan vasten ja kolmiota vasten (ekalla on kärki kolmion suorakulmaisessa kärjessä ja toisella sivu kolmion sivua vasten ja toinen sivu ensimmäisen laatikon sivua vasten, kummallakin on yksi kärki kolmion hypotenuusalla).
Katsokaa tarkemmin tästä havainne-appletista:
https://www.desmos.com/calculator/qlck2pmtyz
a) Mitkä ovat laatikoiden oikeiden alanurkkien x-koordinaatit (kuvassa pisteet A ja B), kun laatikoiden yhteinen ala on suurin mahdollinen?
b) Oletetaan että kolmio on asetettu x,y-koordinaatistoon kuten yllä linkitetyssä havainne-applikaatiossa eli se on akselien ja suoran x y=1 rajoittama. Nyt kolmioon lisätään päälle "näköeste" (kuvassa mustalla varjostettu alue). Olkoon g(x) = 1/2(1-x^2). Alue y<g(x) ei ole näkyvissä. Mitkä ovat nyt vastaavat sijainnit, jotta laatikoista näkyvä yhteinen ala maksimoituu?
Laatikot kolmiossa (ja näköeste)
4
100
Vastaukset
- Anonyymi
Taitaa tulla maksimi 1/3 x-koordinaateilla 1/3 ja 2/3.
- Anonyymi
Oikein.
c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy
d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :D - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Oikein.
c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy
d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :DEsim. f(x) = 1-x^2
https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42 - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Esim. f(x) = 1-x^2
https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42Saatteko kukaan muu tuosta neljälle laatikolle tulosta A_max = 0.5671? Minä ratkaisin näin:
https://www.desmos.com/calculator/zy5ewm7hqv
Siis lisätään kaavan yksinkertaistamiseksi muuttuja x0, mutta kiinnitetään sen arvo x0=0. Voitaisiinhan siihen lisätä myös x_{N 1} = 1, tiedä sitten helpottaisiko laskuja. Mutta, kun
g(x) = sum_{j=1}^N (x_j-x_{j-1})f(x_j)
niin tällöin jokainen yhtälö yhtälöryhmässä grad(g) = 0 olisi muotoa (kun ensimmäinen ja viimeinen (jos otetaan myös x_{N 1} mukaan) unohdetaan, koska tämähän on Lagrangen kertoimet -juttu)
3x_j^2 - 2x_{j-1}x_j = x_{j 1}^2
ja 1-x1^2 = t (Lagrangen kerroin). Viimeisestä komponentista ei tule yhtälöä, koska x_{N 1} ei esiinny g:ssä eli toinen Lagrangen kerroin on nolla ja viimeinen ehto on niin sanotusti slacknessissä.
Muuttujat voidaan tuosta ratkaista toistensa avulla ja siitä tulee sellainen ketjumurtoluvun tyyppinen, jossa on neliöjuuri aina päällä ja kaava 3 2/(sqrt(...)) toistuu. Mutta sitten itse viimeisen muuttujan ratkaiseminen viimeisestä yhtälöstä 3x_N - 2x_{N-1} = 1...
Noh minä tein sen Sagella ja eliminaatioideaalilla ja sieltä tuli 16. asteen (tai 8. asteen kun korvaa x^2:n x:llä) polynomi, jonka juurista sitten piti valita oikea. Suurin juuri näytti tuottavan suurimman alan.
Jos käyttääkin ord='invlex' polynomirenkaan määrittelyssä (ja sitten ottaa toiseksi viimeisen Gröbnerin kannasta, sillä siellähän on tietysti se x0 viimeisenä), niin saa polynomin, jonka juuri x1^2 on:
x^8 - 697176/3666143*x^7 476813052/35499262669*x^6- 17218328/35499262669*x^5 8167986/816483041387*x^4 - 38968/319493364021*x^3 19052/22045042117449*x^2 - 8/2449449124161*x 1/198405379057041
Eli ei sen helpompi, mutta saman x1 = sqrt(0.085566) = 0.2925 sieltä saa suurimpana juurena.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Purra hyökkää nyt suomalaisen duunarin kimppuun teettämällä mamuilla palkatonta työtä
Niinpä niin. Persut duunaripuolue, HAH. Joko alkaa kovapäisinkin persu älyämään, että persut ovat Suomen kansan vastain38812644Purra ehdottaa vaan Tanskan mallia, joka on erittäin hyvä malli
Purra ehdotti helmikuussa Suomeen Tanskan mallia, jossa maahanmuuttajilta vaaditaan työntekoa sosiaalitukien saamiseksi.2695542Kokoomusnuoret: Sosiaalitukien työvelvoitteen tulisi koskea kaikkia
Riikka Purra on esittänyt, että maahanmuuttajilta tulisi edellyttää palkatonta työtä sosiaalitukien vastineeksi. Kokoom2364073Purra vaatii: Työvelvoite maahanmuuttajille ja kantasuomalaisille pitkäaikaistyöttömille
Jos Perussuomalaiset ja Kokoomus ovat seuraavan hallituksen kaksi johtavaa puoluetta, on suomalaisille pitkäaikaistyöttö2853101Jyrki Linnankivi, Jyrki 69 - Goottirokkarista kirkonmieheksi Lappiin!
Jyrki Linnankivi eli Jyrki 69 on The 69 Eyes -rockyhtyeen vokalisti. Lauluhommien lisäksi hän sanoittaa, säveltää ja sov232105Onnea Maria ja Vilma Amazing Race -voitosta!
Maria Guzenina ja Vilma Vähämaa voittivat Amazing Race Suomi -kisan. Voiton hetkellä Guzenina paljasti, miksi valitsi Vi201910Juhana Vartiainen(ex-sd): Köyhien pitää tehdä jotain elämälleen säilyttääkseen tukensa
Juhana Vartiainen ehdottaa Suomeen ”Tanskan mallia”, jossa sosiaaliturvaa saadakseen pitäisi hakea ensisijaisesti etuuks531575En ymmärrä näitä SDP:n ja muun vasemmiston kannattajia
Eivätkö ihmiset tiedä, että Suomen ongelmat johtuvat vasemmistolaisesta yhteiskuntamallista? Suomessa on ollut vasemmis211188Mikä on mielestäsi paras miestyyppi?
Esimerkit kärjistettyinä: a) perustavallinen/tasainen b) himourheilija c) varakas, turvallinen elättäjä d) puolikrimina168988Martina Aitolehti
Instagramissa pomppas esille Martinan kumipallot. Ihan säikähin. Ja tää on Martina-ketju!273935