Meillä on suorakulmainen kolmio, jonka molemmat kateetit ovat pituudeltaan 1. Sen sisällä on kaksi laatikkoa (eli suorakaidetta). Laatikot ovat toisiaan vasten ja kolmiota vasten (ekalla on kärki kolmion suorakulmaisessa kärjessä ja toisella sivu kolmion sivua vasten ja toinen sivu ensimmäisen laatikon sivua vasten, kummallakin on yksi kärki kolmion hypotenuusalla).
Katsokaa tarkemmin tästä havainne-appletista:
https://www.desmos.com/calculator/qlck2pmtyz
a) Mitkä ovat laatikoiden oikeiden alanurkkien x-koordinaatit (kuvassa pisteet A ja B), kun laatikoiden yhteinen ala on suurin mahdollinen?
b) Oletetaan että kolmio on asetettu x,y-koordinaatistoon kuten yllä linkitetyssä havainne-applikaatiossa eli se on akselien ja suoran x y=1 rajoittama. Nyt kolmioon lisätään päälle "näköeste" (kuvassa mustalla varjostettu alue). Olkoon g(x) = 1/2(1-x^2). Alue y<g(x) ei ole näkyvissä. Mitkä ovat nyt vastaavat sijainnit, jotta laatikoista näkyvä yhteinen ala maksimoituu?
Katsokaa tarkemmin tästä havainne-appletista:
https://www.desmos.com/calculator/qlck2pmtyz
a) Mitkä ovat laatikoiden oikeiden alanurkkien x-koordinaatit (kuvassa pisteet A ja B), kun laatikoiden yhteinen ala on suurin mahdollinen?
b) Oletetaan että kolmio on asetettu x,y-koordinaatistoon kuten yllä linkitetyssä havainne-applikaatiossa eli se on akselien ja suoran x y=1 rajoittama. Nyt kolmioon lisätään päälle "näköeste" (kuvassa mustalla varjostettu alue). Olkoon g(x) = 1/2(1-x^2). Alue y<g(x) ei ole näkyvissä. Mitkä ovat nyt vastaavat sijainnit, jotta laatikoista näkyvä yhteinen ala maksimoituu?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Taitaa tulla maksimi 1/3 x-koordinaateilla 1/3 ja 2/3.
Oikein.
c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy
d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :D
Esim. f(x) = 1-x^2
https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42
Saatteko kukaan muu tuosta neljälle laatikolle tulosta A_max = 0.5671? Minä ratkaisin näin:
https://www.desmos.com/calculator/zy5ewm7hqv
Siis lisätään kaavan yksinkertaistamiseksi muuttuja x0, mutta kiinnitetään sen arvo x0=0. Voitaisiinhan siihen lisätä myös x_{N 1} = 1, tiedä sitten helpottaisiko laskuja. Mutta, kun
g(x) = sum_{j=1}^N (x_j-x_{j-1})f(x_j)
niin tällöin jokainen yhtälö yhtälöryhmässä grad(g) = 0 olisi muotoa (kun ensimmäinen ja viimeinen (jos otetaan myös x_{N 1} mukaan) unohdetaan, koska tämähän on Lagrangen kertoimet -juttu)
3x_j^2 - 2x_{j-1}x_j = x_{j 1}^2
ja 1-x1^2 = t (Lagrangen kerroin). Viimeisestä komponentista ei tule yhtälöä, koska x_{N 1} ei esiinny g:ssä eli toinen Lagrangen kerroin on nolla ja viimeinen ehto on niin sanotusti slacknessissä.
Muuttujat voidaan tuosta ratkaista toistensa avulla ja siitä tulee sellainen ketjumurtoluvun tyyppinen, jossa on neliöjuuri aina päällä ja kaava 3 2/(sqrt(...)) toistuu. Mutta sitten itse viimeisen muuttujan ratkaiseminen viimeisestä yhtälöstä 3x_N - 2x_{N-1} = 1...
Noh minä tein sen Sagella ja eliminaatioideaalilla ja sieltä tuli 16. asteen (tai 8. asteen kun korvaa x^2:n x:llä) polynomi, jonka juurista sitten piti valita oikea. Suurin juuri näytti tuottavan suurimman alan.
Jos käyttääkin ord='invlex' polynomirenkaan määrittelyssä (ja sitten ottaa toiseksi viimeisen Gröbnerin kannasta, sillä siellähän on tietysti se x0 viimeisenä), niin saa polynomin, jonka juuri x1^2 on:
x^8 - 697176/3666143*x^7 476813052/35499262669*x^6- 17218328/35499262669*x^5 8167986/816483041387*x^4 - 38968/319493364021*x^3 19052/22045042117449*x^2 - 8/2449449124161*x 1/198405379057041
Eli ei sen helpompi, mutta saman x1 = sqrt(0.085566) = 0.2925 sieltä saa suurimpana juurena.