Laatikot kolmiossa (ja näköeste)

Anonyymi

Meillä on suorakulmainen kolmio, jonka molemmat kateetit ovat pituudeltaan 1. Sen sisällä on kaksi laatikkoa (eli suorakaidetta). Laatikot ovat toisiaan vasten ja kolmiota vasten (ekalla on kärki kolmion suorakulmaisessa kärjessä ja toisella sivu kolmion sivua vasten ja toinen sivu ensimmäisen laatikon sivua vasten, kummallakin on yksi kärki kolmion hypotenuusalla).
Katsokaa tarkemmin tästä havainne-appletista:

https://www.desmos.com/calculator/qlck2pmtyz

a) Mitkä ovat laatikoiden oikeiden alanurkkien x-koordinaatit (kuvassa pisteet A ja B), kun laatikoiden yhteinen ala on suurin mahdollinen?

b) Oletetaan että kolmio on asetettu x,y-koordinaatistoon kuten yllä linkitetyssä havainne-applikaatiossa eli se on akselien ja suoran x y=1 rajoittama. Nyt kolmioon lisätään päälle "näköeste" (kuvassa mustalla varjostettu alue). Olkoon g(x) = 1/2(1-x^2). Alue y<g(x) ei ole näkyvissä. Mitkä ovat nyt vastaavat sijainnit, jotta laatikoista näkyvä yhteinen ala maksimoituu?

4

80

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Taitaa tulla maksimi 1/3 x-koordinaateilla 1/3 ja 2/3.

      • Anonyymi

        Oikein.

        c) Yleistetään n:lle laatikolle: https://www.desmos.com/calculator/zrsmt8wisy

        d) Yleistetään kolmion hypotenuusa väheneväksi, välillä [0, 1] ei-negatiiviseksi funktioksi f. (Kolmio-tapauksessahan f(x) = 1-x). Ja n:lle laatikolle! Ei nyt oteta mitään näköesteitä, vaikka saahan siihenkin mielivaltaista funktiota pohtia :D


      • Anonyymi

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Esim. f(x) = 1-x^2

        https://www.desmos.com/calculator/jduucawg42

        Saatteko kukaan muu tuosta neljälle laatikolle tulosta A_max = 0.5671? Minä ratkaisin näin:

        https://www.desmos.com/calculator/zy5ewm7hqv

        Siis lisätään kaavan yksinkertaistamiseksi muuttuja x0, mutta kiinnitetään sen arvo x0=0. Voitaisiinhan siihen lisätä myös x_{N 1} = 1, tiedä sitten helpottaisiko laskuja. Mutta, kun

        g(x) = sum_{j=1}^N (x_j-x_{j-1})f(x_j)

        niin tällöin jokainen yhtälö yhtälöryhmässä grad(g) = 0 olisi muotoa (kun ensimmäinen ja viimeinen (jos otetaan myös x_{N 1} mukaan) unohdetaan, koska tämähän on Lagrangen kertoimet -juttu)

        3x_j^2 - 2x_{j-1}x_j = x_{j 1}^2

        ja 1-x1^2 = t (Lagrangen kerroin). Viimeisestä komponentista ei tule yhtälöä, koska x_{N 1} ei esiinny g:ssä eli toinen Lagrangen kerroin on nolla ja viimeinen ehto on niin sanotusti slacknessissä.

        Muuttujat voidaan tuosta ratkaista toistensa avulla ja siitä tulee sellainen ketjumurtoluvun tyyppinen, jossa on neliöjuuri aina päällä ja kaava 3 2/(sqrt(...)) toistuu. Mutta sitten itse viimeisen muuttujan ratkaiseminen viimeisestä yhtälöstä 3x_N - 2x_{N-1} = 1...
        Noh minä tein sen Sagella ja eliminaatioideaalilla ja sieltä tuli 16. asteen (tai 8. asteen kun korvaa x^2:n x:llä) polynomi, jonka juurista sitten piti valita oikea. Suurin juuri näytti tuottavan suurimman alan.

        Jos käyttääkin ord='invlex' polynomirenkaan määrittelyssä (ja sitten ottaa toiseksi viimeisen Gröbnerin kannasta, sillä siellähän on tietysti se x0 viimeisenä), niin saa polynomin, jonka juuri x1^2 on:

        x^8 - 697176/3666143*x^7 476813052/35499262669*x^6- 17218328/35499262669*x^5 8167986/816483041387*x^4 - 38968/319493364021*x^3 19052/22045042117449*x^2 - 8/2449449124161*x 1/198405379057041

        Eli ei sen helpompi, mutta saman x1 = sqrt(0.085566) = 0.2925 sieltä saa suurimpana juurena.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Sanna Marin kysyi hämmästyneenä: Onko Suomessa jäänmurtajia?

      Nettilehden toimittaja kysyi Sanna Marinilta suoraan, että sovittiinko nuo jäänmurtajien kaupat jo 2019, jolloin Marin k
      Maailman menoa
      74
      4026
    2. Voiko normaali ihminen ryhtyä vasemmistolaiseksi?

      Tätä jäin pohdiskelemaan.
      Maailman menoa
      101
      3555
    3. SDP haluaa 40 000 nettomaahanmuuttajaa

      SDP:n Suunnanmuutos-vaihtoehtobudjetissa, käy ilmi, että demarit itse asiassa vaativat räjähdysmäistä ”työperäisen” maah
      Maailman menoa
      82
      3378
    4. Mikä tuota vasemmistolaisista jankkaavaa vaivaa?

      Pahasti on ihon alle, siis korvien väliin, päässeet kummittelemaan. Ei ole terveen ihmisen merkki jankata yhdestä asia
      Maailman menoa
      38
      2789
    5. Mitä ajattelit kun näit

      kaivattusi ensimmäisen kerran? xd
      Ikävä
      125
      1673
    6. Nyt meni lopulliset lämmöt.

      Alan käyttäytymään yhtä kylmästi miehiä kohtaan kuin mua kohtaan on käyttäydytty ja vain käytetty viimeiset pari vuotta
      Sinkut
      36
      1536
    7. Sulla on avaimet ja keinot

      Jos haluat jatkaa tutustumista. Itse olen niin jäässä etten pysty tekemään enää mitään. Pidempi keppi johon on helpompi
      Ikävä
      19
      1164
    8. Meitä ei tule

      Koska periaatteemme ovat rakkautta vahvempia. Tämä on siis koettelemus, jonka tarkoitus on vahvistaa meitä yksilöinä 😌
      Ikävä
      22
      1134
    9. Orpo loukkaantui fasismiin viittaavasta sanavalinnasta

      Mutta miksi loukkaantui? Orpohan on tehnyt yhteistyötä fasistien kanssa jo vuonna 2019, siis jo neljä vuotta ennen loukk
      Maailman menoa
      14
      1121
    10. Onko erityinen paikka jossa haluaisit nyt olla

      Onko joku spesiaali lempipaikka missä mieluiten olisit?
      Ikävä
      42
      1120
    Aihe