Viisikulmion verkko

Anonyymi

Mitenkäs jos säie-tehtävää yleistetään säännölliselle n-kulmiolle? Minä sain tämän näköistä 5-kulmiolle ja 6-kulmiolle:

https://www.desmos.com/calculator/jpvwuzzlb8
https://www.desmos.com/calculator/wvhv1acrjs

Parittomille n se näyttäisi yleistyvän niin, että että verkko ikään kuin kuroutuu reunoille ja sitten ympyrällä se on vain ympyrän kehä. Mutta mitekäs parillisilla? Samalla tavallahan siinä pitäisi käydä kun n kasvaa. Esim kasille tulee vielä yksi keskusjana. Riippuukos se siitä kuinka monta kertaa n on jaollinen kakkosella? Esim kympille pitää tehdä yhden kerran reunojen paritus, sitten vetää näistä jokaisesta yksi viiva ja yhdistää se kehä(?)

10

95

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Ehkä pitäisi mennä myös alaspäin eli kolmiolle. Säännöllinen on vähän liian triviaali, niin otetaan mielivaltainen kolmio. Ajattelin, että sen ratkaisu on vaan joku joku kolmion lukuisista merkillisistä pisteistä. Mutta eihän se ihan niin triviaalia ole, vaan jos kolmion kulmat menevät liian epäsuuriksi, niin yhdyspiste on jokin kolmion kärjistä (se jossa on suurin kulma tietysti).

      https://www.desmos.com/calculator/ew3syxrr6q

      Menisikö se niin, että yleiselle pistejoukolle säikeet saadaan sen Voronoi diagrammista: https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram muodostetutun naapuruusverkon minimi virittäjäpuuna?

      • Anonyymi

        Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

        https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

        Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.


      • Anonyymi

      • Anonyymi

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem

        Äh, mun ratkaisu kuuskumiolle on väärin. Kun sitä viimeistä sivua ei tarvitse lisätä, niin sivut itsessään antaa paremman ratkaisun. Ilmankos se konfiguraatio ei hyvin asettunutkaan, vaikka lokaali optimi vissiin olikin.


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5 sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5 2\sqrt{5}} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt{\frac{5 \sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1 sqrt(5))/2 :na paikoilleen.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5 sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5 2\sqrt{5}} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt{\frac{5 \sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1 sqrt(5))/2 :na paikoilleen.

        Aika sievään lopputulokseen päästään: https://www.desmos.com/calculator/vic4a99p3a

        Eli

        sqrt(3)/2 * phi 1/2 sqrt(4phi 3) 1/2 sqrt(phi 2)

        Toisessa ketjussa olleessa kaavassa
        L_5 = phi*sqrt(3)/2 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
        pitäisikin siis olla (3phi-1)*sqrt(3-phi):n paikalla sqrt(4phi 3) sqrt(phi 2). Saisikohan tuosta otettua yhteisen neliöllisen tekijän käyttämällä phi^2 - phi - 1 = 0?


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ikävöin sinua kokoyön!

      En halua odottaa, että voisin näyttää sinulle kuinka paljon rakastan sinua. Toivon, että uskot, että olen varsin hullun
      Ikävä
      61
      4428
    2. KALAJOEN UIMAVALVONTA

      https://www.kalajokiseutu.fi/artikkeli/ei-tulisi-mieleenkaan-jattaa-pienta-yksinaan-hiekkasarkkien-valvomattomalla-uimar
      Kalajoki
      152
      3291
    3. Kadonnut poika hukkunut lietteeseen mitä kalajoella nyt on?

      Jätelautta ajautunut merelle ja lapsi uponnut jätelautan alle?
      Kalajoki
      55
      2560
    4. Jos sinä olisit pyrkimässä elämääni takaisin

      Arvelisin sen johtuvan siitä, että olisit taas polttanut jonkun sillan takanasi. Ei taida löytyä enää kyliltä naista, jo
      Tunteet
      49
      2554
    5. Hukkuneet pojat kalajoella pakolaisia?

      Eivät osanneet suomea nimittäin.
      Maailman menoa
      110
      2285
    6. Älä mahdollisesti ota itseesi

      En voinut tietää. Sitäpaitsi.. niin
      Ikävä
      24
      1893
    7. Joku hukkui Hyrynsalmella?

      Oliko mökkiläinen taas?
      Hyrynsalmi
      24
      1681
    8. Ota nainen yhteyttä ja tee Tikusta asiaa?

      Niin sitten minä teen Takusta asiaa.
      Ikävä
      30
      1626
    9. Mitä sinä mietit

      Mies?
      Ikävä
      169
      1540
    10. Metsästysmökki

      Metsästyskortti saapui. Lisäksi metsästysmökki varata!
      Kuhmo
      36
      1275
    Aihe