Viisikulmion verkko

Anonyymi

Mitenkäs jos säie-tehtävää yleistetään säännölliselle n-kulmiolle? Minä sain tämän näköistä 5-kulmiolle ja 6-kulmiolle:

https://www.desmos.com/calculator/jpvwuzzlb8
https://www.desmos.com/calculator/wvhv1acrjs

Parittomille n se näyttäisi yleistyvän niin, että että verkko ikään kuin kuroutuu reunoille ja sitten ympyrällä se on vain ympyrän kehä. Mutta mitekäs parillisilla? Samalla tavallahan siinä pitäisi käydä kun n kasvaa. Esim kasille tulee vielä yksi keskusjana. Riippuukos se siitä kuinka monta kertaa n on jaollinen kakkosella? Esim kympille pitää tehdä yhden kerran reunojen paritus, sitten vetää näistä jokaisesta yksi viiva ja yhdistää se kehä(?)

10

98

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Ehkä pitäisi mennä myös alaspäin eli kolmiolle. Säännöllinen on vähän liian triviaali, niin otetaan mielivaltainen kolmio. Ajattelin, että sen ratkaisu on vaan joku joku kolmion lukuisista merkillisistä pisteistä. Mutta eihän se ihan niin triviaalia ole, vaan jos kolmion kulmat menevät liian epäsuuriksi, niin yhdyspiste on jokin kolmion kärjistä (se jossa on suurin kulma tietysti).

      https://www.desmos.com/calculator/ew3syxrr6q

      Menisikö se niin, että yleiselle pistejoukolle säikeet saadaan sen Voronoi diagrammista: https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram muodostetutun naapuruusverkon minimi virittäjäpuuna?

      • Anonyymi

        Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

        https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

        Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.


      • Anonyymi

      • Anonyymi

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem

        Äh, mun ratkaisu kuuskumiolle on väärin. Kun sitä viimeistä sivua ei tarvitse lisätä, niin sivut itsessään antaa paremman ratkaisun. Ilmankos se konfiguraatio ei hyvin asettunutkaan, vaikka lokaali optimi vissiin olikin.


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5 sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5 2\sqrt{5}} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt{\frac{5 \sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1 sqrt(5))/2 :na paikoilleen.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5 sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5 2\sqrt{5}} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt{\frac{5 \sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1 sqrt(5))/2 :na paikoilleen.

        Aika sievään lopputulokseen päästään: https://www.desmos.com/calculator/vic4a99p3a

        Eli

        sqrt(3)/2 * phi 1/2 sqrt(4phi 3) 1/2 sqrt(phi 2)

        Toisessa ketjussa olleessa kaavassa
        L_5 = phi*sqrt(3)/2 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
        pitäisikin siis olla (3phi-1)*sqrt(3-phi):n paikalla sqrt(4phi 3) sqrt(phi 2). Saisikohan tuosta otettua yhteisen neliöllisen tekijän käyttämällä phi^2 - phi - 1 = 0?


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. IL - Patteriauto syttyi parkkihallissa Tampereella - 50 autoa LUNASTUKSEEN!

      "Palon aikaan parkkihallissa oli 90 autoa, joista noin 50 tuhoutui palossa korjauskelvottomiksi. Lisäksi palo vaurioitti
      Maailman menoa
      240
      45241
    2. Polttomoottoriauto tulessa parkkihallissa Tampereella

      Pystyy näkemättä jo sanomaan, koska sähköautoissa ei ole palavia nesteitä lainkaan. Ihme ettei polttomoottoriautoja ole
      Maailman menoa
      123
      25996
    3. SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat

      Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude
      Maailman menoa
      325
      15677
    4. Kristillisistä Siionisteista asiallista tietoa Hesarissa.

      KD ja Persut ovat kaiken takana avoimesti!
      Maailman menoa
      30
      11203
    5. Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %

      Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy
      Maailman menoa
      171
      10805
    6. Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat

      Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h
      Maailman menoa
      122
      9707
    7. Sanna Marin saa ylistystä Hillary Clintonilta

      Jos joku ei tiedä kuka tämä rouva Hillary Clinton on, niin kerrottakoon "fun fact", eli hän on se keneltä Donald Trump
      Maailman menoa
      36
      9681
    8. Ja jälleen uusi latauksessa olleen sähköauton palo! Nyt Keravan Prisman parkkihallissa.

      IS 3.10.2025 Latauksessa ollut sähköauto syttyi yöllä tuleen Keravan Prisman parkkihallissa, Keski-Uudenmaan pelastusla
      Maailman menoa
      85
      8478
    9. 242
      6824
    10. Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija

      https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua
      Maailman menoa
      223
      6491
    Aihe