Aihe

Viisikulmion verkko

Anonyymi

Mitenkäs jos säie-tehtävää yleistetään säännölliselle n-kulmiolle? Minä sain tämän näköistä 5-kulmiolle ja 6-kulmiolle:

https://www.desmos.com/calculator/jpvwuzzlb8
https://www.desmos.com/calculator/wvhv1acrjs

Parittomille n se näyttäisi yleistyvän niin, että että verkko ikään kuin kuroutuu reunoille ja sitten ympyrällä se on vain ympyrän kehä. Mutta mitekäs parillisilla? Samalla tavallahan siinä pitäisi käydä kun n kasvaa. Esim kasille tulee vielä yksi keskusjana. Riippuukos se siitä kuinka monta kertaa n on jaollinen kakkosella? Esim kympille pitää tehdä yhden kerran reunojen paritus, sitten vetää näistä jokaisesta yksi viiva ja yhdistää se kehä(?)

10

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Ehkä pitäisi mennä myös alaspäin eli kolmiolle. Säännöllinen on vähän liian triviaali, niin otetaan mielivaltainen kolmio. Ajattelin, että sen ratkaisu on vaan joku joku kolmion lukuisista merkillisistä pisteistä. Mutta eihän se ihan niin triviaalia ole, vaan jos kolmion kulmat menevät liian epäsuuriksi, niin yhdyspiste on jokin kolmion kärjistä (se jossa on suurin kulma tietysti).

      https://www.desmos.com/calculator/ew3syxrr6q

      Menisikö se niin, että yleiselle pistejoukolle säikeet saadaan sen Voronoi diagrammista: https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram muodostetutun naapuruusverkon minimi virittäjäpuuna?

      • Anonyymi

        Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

        https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

        Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

        https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

        Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.

        Tässähän se onkin: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_minimum_spanning_tree


      • Anonyymi

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem

        Äh, mun ratkaisu kuuskumiolle on väärin. Kun sitä viimeistä sivua ei tarvitse lisätä, niin sivut itsessään antaa paremman ratkaisun. Ilmankos se konfiguraatio ei hyvin asettunutkaan, vaikka lokaali optimi vissiin olikin.


    • Anonyymi
      • Anonyymi

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
        Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) + sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 + 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

        https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

        Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) + sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

        sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 + 2 sqrt(5))

        Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 + 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 + 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5+sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1+sqrt(5))/2 :na paikoilleen.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
        sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
        Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 + 1/6 päästään kaavaan:

        https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

        Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 + 5 juurena eli

        cos(pi/10) = sqrt ((5+sqrt(5))/8)

        Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

        \frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

        https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

        Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1+sqrt(5))/2 :na paikoilleen.

        Aika sievään lopputulokseen päästään: https://www.desmos.com/calculator/vic4a99p3a

        Eli

        sqrt(3)/2 * phi + 1/2 sqrt(4phi+3) + 1/2 sqrt(phi+2)

        Toisessa ketjussa olleessa kaavassa
        L_5 = phi*sqrt(3)/2 + 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
        pitäisikin siis olla (3phi-1)*sqrt(3-phi):n paikalla sqrt(4phi+3) + sqrt(phi+2). Saisikohan tuosta otettua yhteisen neliöllisen tekijän käyttämällä phi^2 - phi - 1 = 0?


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Maisa Torpan raskausuutisesta...

      Maisa Torppa ilmoitti olevansa raskaana. Yksi asia ihmetyttää ja on ihmetyttänyt aikaisemminkin: Maisa Torpan Instagramissa tykkääjissä/kommentoijiss
      Kotimaiset julkkisjuorut
      304
      20384
    2. Stefun Sofialle tarjoamat luxuskyydit maksamatta, velkaa niistä jo yli 17 000 euroa.

      Seiskan mukaan limusiinikyyteihin erikoistunut yritys hakee Stefun yritykseltä oikeusteitse yli 17 000 € maksamattomista kyydeistä. Useat ajoista ova
      Kotimaiset julkkisjuorut
      328
      5928
    3. Miksei työ kelpaa suomalaisille?

      Rakennus-, siivous-, ja hoiva-alakin täynnä ulkomaista työvoimaa ja kotimaiset vuosis kortistossa. Mistä moinen oikein johtuu. Ovatko korvaukset liia
      Maailman menoa
      302
      3502