Mitenkäs jos säie-tehtävää yleistetään säännölliselle n-kulmiolle? Minä sain tämän näköistä 5-kulmiolle ja 6-kulmiolle:
https://www.desmos.com/calculator/jpvwuzzlb8
https://www.desmos.com/calculator/wvhv1acrjs
Parittomille n se näyttäisi yleistyvän niin, että että verkko ikään kuin kuroutuu reunoille ja sitten ympyrällä se on vain ympyrän kehä. Mutta mitekäs parillisilla? Samalla tavallahan siinä pitäisi käydä kun n kasvaa. Esim kasille tulee vielä yksi keskusjana. Riippuukos se siitä kuinka monta kertaa n on jaollinen kakkosella? Esim kympille pitää tehdä yhden kerran reunojen paritus, sitten vetää näistä jokaisesta yksi viiva ja yhdistää se kehä(?)
https://www.desmos.com/calculator/jpvwuzzlb8
https://www.desmos.com/calculator/wvhv1acrjs
Parittomille n se näyttäisi yleistyvän niin, että että verkko ikään kuin kuroutuu reunoille ja sitten ympyrällä se on vain ympyrän kehä. Mutta mitekäs parillisilla? Samalla tavallahan siinä pitäisi käydä kun n kasvaa. Esim kasille tulee vielä yksi keskusjana. Riippuukos se siitä kuinka monta kertaa n on jaollinen kakkosella? Esim kympille pitää tehdä yhden kerran reunojen paritus, sitten vetää näistä jokaisesta yksi viiva ja yhdistää se kehä(?)
Vastaukset 10
Vanhimmat
Ehkä pitäisi mennä myös alaspäin eli kolmiolle. Säännöllinen on vähän liian triviaali, niin otetaan mielivaltainen kolmio. Ajattelin, että sen ratkaisu on vaan joku joku kolmion lukuisista merkillisistä pisteistä. Mutta eihän se ihan niin triviaalia ole, vaan jos kolmion kulmat menevät liian epäsuuriksi, niin yhdyspiste on jokin kolmion kärjistä (se jossa on suurin kulma tietysti).
https://www.desmos.com/calculator/ew3syxrr6q
Menisikö se niin, että yleiselle pistejoukolle säikeet saadaan sen Voronoi diagrammista: https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram muodostetutun naapuruusverkon minimi virittäjäpuuna?
Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa
https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.
Tässähän se onkin: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_minimum_spanning_tree
Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem
Äh, mun ratkaisu kuuskumiolle on väärin. Kun sitä viimeistä sivua ei tarvitse lisätä, niin sivut itsessään antaa paremman ratkaisun. Ilmankos se konfiguraatio ei hyvin asettunutkaan, vaikka lokaali optimi vissiin olikin.
Keksittekö viisikulmion tapaukselle tarkkaa kaavaa? Tässä olisi vähän tarkemmin laskettuna:
https://www.desmos.com/calculator/fmef1tqcub
likiarvo (1-säteiselle) 3.89115682333
Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).
Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.
https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf
Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on
sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 2 sqrt(5))
Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd
Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 1/6 päästään kaavaan:
https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w
Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 5 juurena eli
cos(pi/10) = sqrt ((5 sqrt(5))/8)
Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke
\frac{1}{2}\sqrt{5 2\sqrt{5}} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt{\frac{5 \sqrt{5}}{8}}
https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d
Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1 sqrt(5))/2 :na paikoilleen.
Aika sievään lopputulokseen päästään: https://www.desmos.com/calculator/vic4a99p3a
Eli
sqrt(3)/2 * phi 1/2 sqrt(4phi 3) 1/2 sqrt(phi 2)
Toisessa ketjussa olleessa kaavassa
L_5 = phi*sqrt(3)/2 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
pitäisikin siis olla (3phi-1)*sqrt(3-phi):n paikalla sqrt(4phi 3) sqrt(phi 2). Saisikohan tuosta otettua yhteisen neliöllisen tekijän käyttämällä phi^2 - phi - 1 = 0?