Viisikulmion verkko

Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.

Anonyymi kirjoitti:

Tai siis yhdyspisteet ovat keskipisteitä Delaunay kolmioinnissa

https://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation

Mutta jotenkin pitäisi saada nuo "Relationship with the Voronoi diagram" kappaleen oikeanpuoleisen kuvan punaiset suorat osumaan niihin alkuperäisiin pisteisiin.

Lue lisää

Tässähän se onkin: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_minimum_spanning_tree

Anonyymi kirjoitti:

Tässähän se onkin: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_minimum_spanning_tree

Lue lisää

Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem

Anonyymi kirjoitti:

Mutta yhä siis ongelmana, että täytyy löytää ne yhdyspisteet, koska tässä pisteitä saa lisätä. Mutta ei, nyt löyty! Se on Steiner-puu: https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem

Lue lisää

Äh, mun ratkaisu kuuskumiolle on väärin. Kun sitä viimeistä sivua ei tarvitse lisätä, niin sivut itsessään antaa paremman ratkaisun. Ilmankos se konfiguraatio ei hyvin asettunutkaan, vaikka lokaali optimi vissiin olikin.

Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).

Anonyymi kirjoitti:

Keksin kaavan: https://www.desmos.com/calculator/5k2mflptmt
Siellä on siniä ja kosinia eri kulmissa. Löytyy niille neliöjuurilausukkeita ja varmaan tuota voisi vielä sieventää, mutta samalla tavallahan sitä nekin laskimesta saa. Kaava tuli ihan perusgeometrialla. Yksi juttu, mitä en todistanut on, että jana C2A2 on pystysuora (yhdensuuntainen janan C0A1 kanssa).

Lue lisää

Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) + sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 + 2 sqrt(5))

Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd

Anonyymi kirjoitti:

Saahan sitä vielä aika paljon sievennettyä käyttäen kaavoja pi/6:lle ja ilmeisen yhden sin(7pi/30)/sin(2pi/3):n kumoamisen olin unohtanut tehdä. Lisäksi sin(2pi/3) = sqrt(3)/2.

https://www.desmos.com/calculator/ik20t2lylf

Arvoitukseksi jää sin(7pi/30) ja sin(pi/10). Arvo sin(pi/5) + sin(3pi/5):hän on tuolla tavoin asetetun säännöllisen viisikulmion ylimmän nurkan y-koordinaatti, joten ainakin sen etäisyys origosta (eli viisikulmion diagonaalisesta kärjestä) on phi. Näin ollen se on

sqrt(phi^2 - 1/4) = 1/2 sqrt(5 + 2 sqrt(5))

Päästään tähän: https://www.desmos.com/calculator/zgxrijvlfd

Lue lisää

Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 + 1/6 päästään kaavaan:

https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 + 5 juurena eli

cos(pi/10) = sqrt ((5+sqrt(5))/8)

Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1+sqrt(5))/2 :na paikoilleen.

Anonyymi kirjoitti:

Käyttämällä sin(x) = cos(pi/2 - x) saadaan
sin(7pi/30) = cos(4pi/15)
Ja tähän summakaavalla, käyttäen 4/15 = 1/10 + 1/6 päästään kaavaan:

https://www.desmos.com/calculator/ovpqwlak3w

Tähän jää trigeistä ainoastaan cos(pi/10). Tällä sivulla https://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html on sille kaava polynomin 16x^4 -20x^2 + 5 juurena eli

cos(pi/10) = sqrt ((5+sqrt(5))/8)

Näin saadaan koko kaavalle neliöjuurilauseke

\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{5}-1\right)+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

https://www.desmos.com/calculator/3da7hmng2d

Sinnehän voi nyt ruveta sitä phiitä ymppäilemään (1+sqrt(5))/2 :na paikoilleen.

Lue lisää

Aika sievään lopputulokseen päästään: https://www.desmos.com/calculator/vic4a99p3a

Eli

sqrt(3)/2 * phi + 1/2 sqrt(4phi+3) + 1/2 sqrt(phi+2)

Toisessa ketjussa olleessa kaavassa
L_5 = phi*sqrt(3)/2 + 1/2 (3phi-1)*sqrt(3-phi)
pitäisikin siis olla (3phi-1)*sqrt(3-phi):n paikalla sqrt(4phi+3) + sqrt(phi+2). Saisikohan tuosta otettua yhteisen neliöllisen tekijän käyttämällä phi^2 - phi - 1 = 0?