Olkoot r, a ja b positiivisia kokonaislukuja siten, että a>2r. Milloin lausekkeet
kanta = (a^2 (b 2r) 4br^2) / (2ar)
ja
kylki = (a^2 4r^2) (a^2b 2a^2r - 4br^2) / (4ar(a^2-4r^2))
ovat kokonaislukuja?
Kuten lausekkeiden nimet antavat vihiä, tehtävä liittyy kuvioon, jossa kokonaisluku-sivuinen suorakaide ja kokonaisluku-säteinen ympyrä ovat tasakylkisen kolmion sisällä kuten palstalla esiintyneessä tehtävässä (https://keskustelu.suomi24.fi/t/16769705/suorakaide-ja-ympyra-kolmiossa). Nyt etsitään siis sellaisia arvoja suorakaiteen leveydelle a ja korkeudelle b sekä ympyrän säteelle r, että kolmion, jonka sisällä ne ovat, kanta sekä kylki ovat molemmat myös kokonaislukuja.
Ketjussa esitettiin hypoteesi, että, kun r=p on alkuluku, niin viitosta suuremmilla alkuluvuilla p ei löydy ratkaisuja.
Minun hypoteesini, on että r=5:lle ratkaisut (a,b) ovat a=3*5 ja b = 6*(2k 1), k=0,1,2,....
Ja tapaukselle r=3: a=4*3, b=4k, k=1,2,3,...
Toinen hypoteesini on, että myös kolmion korkeus
r(a^2 4r^2) / (a^2-4r^2) b r
on kokonaisluku, kun kanta ja kylki ovat.
Milloin lausekkeet ovat kokonaislukuja
8
113
Vastaukset
- Anonyymi
Ympyrän säteen arvoille 1 ja 2 ei myöskään löydy ratkaisua.
Ison kolmion korkeus on todellakin aina kokonaisluku, koska sen kanta on aina parillinen luku. (Seuraa suoraan yhdenmuotoisista kolmioista ja Pythagoraksesta). Pienen kolmion (ylhäällä) korkeus on siten myös kokonaisluku. Sen kyljen pituudessa voi olla 0,5, sillä sen kanta voi olla pariton.
Todistuksessa riittää tarkastella vain pientä kolmiota. Jos sen korkeus on h ja kanta b, kannan neliö on:
b^2 = 4*r^2*h/(h-2*r)
Tuon arvo lähestyy kokonaislukuisen h:n kasvaessa aika nopeasti (2*r)^2. Eli pienin kannan neliö voi olla (2*r 1)^2. Riittää kokeilla pienehkö määrä h:n arvoja. Jostain syystä ei tule täydellistä neliötä (pienille?) alkuluvuilla (paitsi 3 ja 5). Voiko tulla joillekin triljoonista isoista?- Anonyymi
Jos ympyrän keskipisteestä piirtää säteen kohtisuorasti kylkeä vastaan, muodostuu yläosaan suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat kokonaislukuja ja joka on yhdenmuotoinen ison kolmion puolikkaan kanssa.
Erimuotoisia kokonaislukuisia normalisoituja Pythagoraan kolmioita on ääretön määrä, mutta vain erittäin harvassa pienin kateetti on tietty alkulku (r). Tuon alkuluvun on oltava oltava myös ison ja pienen tasakylkisen kolmion kannan pituuden tekijä.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos ympyrän keskipisteestä piirtää säteen kohtisuorasti kylkeä vastaan, muodostuu yläosaan suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat kokonaislukuja ja joka on yhdenmuotoinen ison kolmion puolikkaan kanssa.
Erimuotoisia kokonaislukuisia normalisoituja Pythagoraan kolmioita on ääretön määrä, mutta vain erittäin harvassa pienin kateetti on tietty alkulku (r). Tuon alkuluvun on oltava oltava myös ison ja pienen tasakylkisen kolmion kannan pituuden tekijä.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_tripleJos suorakulmaisen kolmion sivut ovat kokonaislukuja, tuon Wikipedia-sivun mukaan seuraa paljon rajoituksia tämän tehtävän kolmioiden sivujen pituuksille:
Jos kateetti on kolmea suurempi alkuluku, niin toisen kateetin on oltava jaollinen 3:lla ja 4:llä (eli 12:lla).
Hypotenuusa on muotoa 4k 1 ja se saa olla jaollinen vain muotoa 4k 1 olevilla alkuluvuilla (ei siis 3, 7, 11, 19,...). Siis tässä tehtävässä, koska toinen kateeteista ei ole ole minkään luvun monikerta. Yksi ja vain yksi sivu on aina jaollinen 5:llä. Ja paljon muuta, mitä ei opetettu koulussa.
Ei löydy toista kolmiota, jossa kateetin pituus olisi 7 ja hypotenuusa alle 2*10**10. Pitää jatkaa hakemista vai onko mahdotonta? - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat kokonaislukuja, tuon Wikipedia-sivun mukaan seuraa paljon rajoituksia tämän tehtävän kolmioiden sivujen pituuksille:
Jos kateetti on kolmea suurempi alkuluku, niin toisen kateetin on oltava jaollinen 3:lla ja 4:llä (eli 12:lla).
Hypotenuusa on muotoa 4k 1 ja se saa olla jaollinen vain muotoa 4k 1 olevilla alkuluvuilla (ei siis 3, 7, 11, 19,...). Siis tässä tehtävässä, koska toinen kateeteista ei ole ole minkään luvun monikerta. Yksi ja vain yksi sivu on aina jaollinen 5:llä. Ja paljon muuta, mitä ei opetettu koulussa.
Ei löydy toista kolmiota, jossa kateetin pituus olisi 7 ja hypotenuusa alle 2*10**10. Pitää jatkaa hakemista vai onko mahdotonta?Jos hypotenuusan pituus on c ja toisen kateetin pituus c-1, niin
c^2 - (c-x)^2 = 2*c -1 = 49
Ei onnistu kuin yhdellä c:n arvolla. Turha edes yrittää suurempaa lukua kuin 25. Suora kulma ei taivu yhtään!
- Anonyymi
Sain todistettu, että alkuluvuista vain 3 ja 5 toimivat:
Koska korkeus on kokonaisluku, niin (vähennetään ja lisätään 4r^2 osoittajaan)
a^2 - 4r^2 on luvun 8r^3 tekijä.
Kun r on alkuluku, niin 8r^3:lla on 16 tekijää: 1,2,4,8, r,2r,..., 8r^3. Tarkastetaan näistä jokainen tapaus d. Tällöinhän a^2 = d 4r^2 on oltava neliö, joten siitä nähdään lähes jokaisen tapauksen mahdottomuus
d=1:
1 4r^2 = 1 (2r)^2, ei kelpaa: 1 olisi kahden (liian ison) neliön erotus.
d=2:
2 4r^2 = 2(1 2r^2), ei kelpaa 2 jakaa tämän mutta 4 ei sillä 1 2r^2 on pariton.
d=4:
4(1 r^2), ei kelpaa 1 r^2 ei neliö.
d=8:
4(2 r^2), ei.
Sitten tekijät r, 2r, 4r ja 8r. Näissä nähdään kaikissa, että r jakaa d 4r^2:n mutta r^2 ei, (paitsi tapaus 8r, jos r=2, mutta siinäkään ei luvusta tule neliötä).
Sitten r^2:nnelliset tekijät. Nämä ei toimi, koska d 4r^2:sta tulee 5r^2, 6r^2, 8r^2 ja 12r^2, jotka eivät ole mikään neliöitä.
*
Sitten ensimmäinen tapaus joka toimii!!:
d=r^3:
r^3 4r^2 = r^2(r 4)
Tämä voi olla neliö, kun r=5. Muuten ei, koska tällöin r 4 on neliö merk. y^2, jolloin
r = y^2 - 4 = (y-2)(y 2) ei ole alkuluku, muutoin kuin jos y=3 eli r=5.
d = 2r^3:
2r^2 (r 2). Ei kelpaa, sillä 2 jakaa sen, mutta 4 ei (taaskin jos r=2, niin ei kelpaa silloinkaan).
*
Toinen toimiva!!
d = 4r^3:
4r^2(r 1). Tälle kelpaa r=3 ja muut ei, päättely kuten d=r^3:ssa.
Lopulta
d = 8r^3:
4r^2 (2r 1). Nyt 2r 1 = y^2 johtaa ristiriitaan 2r = (y-1)(y 1).
Tämä päättely yleistynee myös tapausten r = 2*p tarkasteluun.- Anonyymi
Onkos tuossa tarkastelussa r=1 mukana?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onkos tuossa tarkastelussa r=1 mukana?
Ei, mutta se on helppo tarkastaa erikseen. Jos r = 1, niin a^2 - 4 on 8:n tekijä eli a^2 on joko 5, 6, 8 tai 12 eikä mikään näistä ole neliö eli ovat mahdottomia.
- Anonyymi
Tuo todistus onnistuu myös suoraan kaavasta:
b^2 = 4*r^2*h/(h-2*r)
Siinä b on (pienen) tasakylkisen kolmion kanta ja h sen korkeus ja r on alkuluku. Korkeuden tiedetään olevan aina parillinen luku.
Jos b = parillinen, h/(h-2*r) on oltava neliö. Merkitään x = h-2*r:
(x 2*r)/x = 1 2*r/x. Voi olla neliö vain x:n arvolla 2. Tuolloin r=3.
Jos b = pariton, 4*h/(h-2*r) on oltava neliö. Merkitään x = h-2*r:
(4*x 8*r)/x = 4 8*r/x. Voi olla neliö vain x:n arvolla 8. Tuolloin r=5.
(Jos r on alkuluku, niin 1 r on neliö n^2 vain r:n arvolla 3, sillä r = (n-1)(n 1) ja
4 r on neliö n^2 vain r:n arvolla 5, sillä r = (n-2)(n 2).)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 605105
Suomen kaksikielisyys - täyttä huuhaata
Eivätkö muuten yksilöt pysty arvioimaan mitä kieliä he tarvitsevat? Ulkomaalaiselle osaajalle riittää Suomessa kielitai544592Työeläkeloisinta 27,5 mrd. per vuosi
Tuo kaikki on pois palkansaajien ostovoimasta. Ja sitten puupäät ihmettelee miksei Suomen talous kasva. No eihän se kas1224539Mikä on vaikeinta siinä, että menetti yhteyden kaivattuun, jota vielä ajattelee?
Mikä jäi kaihertamaan? Jos jokin olisi voinut mennä toisin, mitä se olisi ollut? Mitä olisit toivonut vielä ehtiväsi san2971773- 911442
- 821419
- 2281328
- 3151049
- 199950
Pääsit koskettamaan
Sellaista osaa minussa jota kukaan ei ole ennen koskettanut. Siksi on hyvin vaikea unohtaa sinut kokonaan.50860