Aihe

Milloin lausekkeet ovat kokonaislukuja

Anonyymi

Olkoot r, a ja b positiivisia kokonaislukuja siten, että a>2r. Milloin lausekkeet

kanta = (a^2 (b+2r) + 4br^2) / (2ar)
ja
kylki = (a^2+4r^2) (a^2b + 2a^2r - 4br^2) / (4ar(a^2-4r^2))

ovat kokonaislukuja?

Kuten lausekkeiden nimet antavat vihiä, tehtävä liittyy kuvioon, jossa kokonaisluku-sivuinen suorakaide ja kokonaisluku-säteinen ympyrä ovat tasakylkisen kolmion sisällä kuten palstalla esiintyneessä tehtävässä (https://keskustelu.suomi24.fi/t/16769705/suorakaide-ja-ympyra-kolmiossa). Nyt etsitään siis sellaisia arvoja suorakaiteen leveydelle a ja korkeudelle b sekä ympyrän säteelle r, että kolmion, jonka sisällä ne ovat, kanta sekä kylki ovat molemmat myös kokonaislukuja.

Ketjussa esitettiin hypoteesi, että, kun r=p on alkuluku, niin viitosta suuremmilla alkuluvuilla p ei löydy ratkaisuja.
Minun hypoteesini, on että r=5:lle ratkaisut (a,b) ovat a=3*5 ja b = 6*(2k+1), k=0,1,2,....
Ja tapaukselle r=3: a=4*3, b=4k, k=1,2,3,...

Toinen hypoteesini on, että myös kolmion korkeus

r(a^2+4r^2) / (a^2-4r^2) + b + r

on kokonaisluku, kun kanta ja kylki ovat.

8

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Ympyrän säteen arvoille 1 ja 2 ei myöskään löydy ratkaisua.

      Ison kolmion korkeus on todellakin aina kokonaisluku, koska sen kanta on aina parillinen luku. (Seuraa suoraan yhdenmuotoisista kolmioista ja Pythagoraksesta). Pienen kolmion (ylhäällä) korkeus on siten myös kokonaisluku. Sen kyljen pituudessa voi olla 0,5, sillä sen kanta voi olla pariton.

      Todistuksessa riittää tarkastella vain pientä kolmiota. Jos sen korkeus on h ja kanta b, kannan neliö on:

      b^2 = 4*r^2*h/(h-2*r)

      Tuon arvo lähestyy kokonaislukuisen h:n kasvaessa aika nopeasti (2*r)^2. Eli pienin kannan neliö voi olla (2*r+1)^2. Riittää kokeilla pienehkö määrä h:n arvoja. Jostain syystä ei tule täydellistä neliötä (pienille?) alkuluvuilla (paitsi 3 ja 5). Voiko tulla joillekin triljoonista isoista?

      • Anonyymi

        Jos ympyrän keskipisteestä piirtää säteen kohtisuorasti kylkeä vastaan, muodostuu yläosaan suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat kokonaislukuja ja joka on yhdenmuotoinen ison kolmion puolikkaan kanssa.

        Erimuotoisia kokonaislukuisia normalisoituja Pythagoraan kolmioita on ääretön määrä, mutta vain erittäin harvassa pienin kateetti on tietty alkulku (r). Tuon alkuluvun on oltava oltava myös ison ja pienen tasakylkisen kolmion kannan pituuden tekijä.

        https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Jos ympyrän keskipisteestä piirtää säteen kohtisuorasti kylkeä vastaan, muodostuu yläosaan suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat kokonaislukuja ja joka on yhdenmuotoinen ison kolmion puolikkaan kanssa.

        Erimuotoisia kokonaislukuisia normalisoituja Pythagoraan kolmioita on ääretön määrä, mutta vain erittäin harvassa pienin kateetti on tietty alkulku (r). Tuon alkuluvun on oltava oltava myös ison ja pienen tasakylkisen kolmion kannan pituuden tekijä.

        https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

        Jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat kokonaislukuja, tuon Wikipedia-sivun mukaan seuraa paljon rajoituksia tämän tehtävän kolmioiden sivujen pituuksille:

        Jos kateetti on kolmea suurempi alkuluku, niin toisen kateetin on oltava jaollinen 3:lla ja 4:llä (eli 12:lla).

        Hypotenuusa on muotoa 4k+1 ja se saa olla jaollinen vain muotoa 4k+1 olevilla alkuluvuilla (ei siis 3, 7, 11, 19,...). Siis tässä tehtävässä, koska toinen kateeteista ei ole ole minkään luvun monikerta. Yksi ja vain yksi sivu on aina jaollinen 5:llä. Ja paljon muuta, mitä ei opetettu koulussa.

        Ei löydy toista kolmiota, jossa kateetin pituus olisi 7 ja hypotenuusa alle 2*10**10. Pitää jatkaa hakemista vai onko mahdotonta?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Jos suorakulmaisen kolmion sivut ovat kokonaislukuja, tuon Wikipedia-sivun mukaan seuraa paljon rajoituksia tämän tehtävän kolmioiden sivujen pituuksille:

        Jos kateetti on kolmea suurempi alkuluku, niin toisen kateetin on oltava jaollinen 3:lla ja 4:llä (eli 12:lla).

        Hypotenuusa on muotoa 4k+1 ja se saa olla jaollinen vain muotoa 4k+1 olevilla alkuluvuilla (ei siis 3, 7, 11, 19,...). Siis tässä tehtävässä, koska toinen kateeteista ei ole ole minkään luvun monikerta. Yksi ja vain yksi sivu on aina jaollinen 5:llä. Ja paljon muuta, mitä ei opetettu koulussa.

        Ei löydy toista kolmiota, jossa kateetin pituus olisi 7 ja hypotenuusa alle 2*10**10. Pitää jatkaa hakemista vai onko mahdotonta?

        Jos hypotenuusan pituus on c ja toisen kateetin pituus c-1, niin

        c^2 - (c-x)^2 = 2*c -1 = 49

        Ei onnistu kuin yhdellä c:n arvolla. Turha edes yrittää suurempaa lukua kuin 25. Suora kulma ei taivu yhtään!


    • Anonyymi

      Sain todistettu, että alkuluvuista vain 3 ja 5 toimivat:

      Koska korkeus on kokonaisluku, niin (vähennetään ja lisätään 4r^2 osoittajaan)

      a^2 - 4r^2 on luvun 8r^3 tekijä.

      Kun r on alkuluku, niin 8r^3:lla on 16 tekijää: 1,2,4,8, r,2r,..., 8r^3. Tarkastetaan näistä jokainen tapaus d. Tällöinhän a^2 = d + 4r^2 on oltava neliö, joten siitä nähdään lähes jokaisen tapauksen mahdottomuus

      d=1:
      1 + 4r^2 = 1 + (2r)^2, ei kelpaa: 1 olisi kahden (liian ison) neliön erotus.

      d=2:
      2 + 4r^2 = 2(1+2r^2), ei kelpaa 2 jakaa tämän mutta 4 ei sillä 1+2r^2 on pariton.

      d=4:
      4(1+r^2), ei kelpaa 1+r^2 ei neliö.

      d=8:
      4(2+r^2), ei.

      Sitten tekijät r, 2r, 4r ja 8r. Näissä nähdään kaikissa, että r jakaa d+4r^2:n mutta r^2 ei, (paitsi tapaus 8r, jos r=2, mutta siinäkään ei luvusta tule neliötä).

      Sitten r^2:nnelliset tekijät. Nämä ei toimi, koska d+4r^2:sta tulee 5r^2, 6r^2, 8r^2 ja 12r^2, jotka eivät ole mikään neliöitä.

      *
      Sitten ensimmäinen tapaus joka toimii!!:

      d=r^3:
      r^3 + 4r^2 = r^2(r+4)
      Tämä voi olla neliö, kun r=5. Muuten ei, koska tällöin r+4 on neliö merk. y^2, jolloin
      r = y^2 - 4 = (y-2)(y+2) ei ole alkuluku, muutoin kuin jos y=3 eli r=5.

      d = 2r^3:
      2r^2 (r+2). Ei kelpaa, sillä 2 jakaa sen, mutta 4 ei (taaskin jos r=2, niin ei kelpaa silloinkaan).

      *
      Toinen toimiva!!
      d = 4r^3:
      4r^2(r+1). Tälle kelpaa r=3 ja muut ei, päättely kuten d=r^3:ssa.

      Lopulta
      d = 8r^3:
      4r^2 (2r+1). Nyt 2r + 1 = y^2 johtaa ristiriitaan 2r = (y-1)(y+1).

      Tämä päättely yleistynee myös tapausten r = 2*p tarkasteluun.

      • Anonyymi

        Onkos tuossa tarkastelussa r=1 mukana?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Onkos tuossa tarkastelussa r=1 mukana?

        Ei, mutta se on helppo tarkastaa erikseen. Jos r = 1, niin a^2 - 4 on 8:n tekijä eli a^2 on joko 5, 6, 8 tai 12 eikä mikään näistä ole neliö eli ovat mahdottomia.


      • Anonyymi

        Tuo todistus onnistuu myös suoraan kaavasta:

        b^2 = 4*r^2*h/(h-2*r)

        Siinä b on (pienen) tasakylkisen kolmion kanta ja h sen korkeus ja r on alkuluku. Korkeuden tiedetään olevan aina parillinen luku.

        Jos b = parillinen, h/(h-2*r) on oltava neliö. Merkitään x = h-2*r:

        (x+2*r)/x = 1 + 2*r/x. Voi olla neliö vain x:n arvolla 2. Tuolloin r=3.

        Jos b = pariton, 4*h/(h-2*r) on oltava neliö. Merkitään x = h-2*r:

        (4*x+8*r)/x = 4 + 8*r/x. Voi olla neliö vain x:n arvolla 8. Tuolloin r=5.

        (Jos r on alkuluku, niin 1+r on neliö n^2 vain r:n arvolla 3, sillä r = (n-1)(n+1) ja
        4+r on neliö n^2 vain r:n arvolla 5, sillä r = (n-2)(n+2).)


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kohujulkkis Maisa Torppa ja erosekoilu räjäytti somen: "Valehtelee viimeiseen asti" "Työtön äiti..."

      Maisa Torpan ja Mikko-rakkaan erospekulointi saa tunteet kuumenemaan: https://www.suomi24.fi/viihde/kohujulkkis-maisa-torppa-ja-erosekoilu-rajaytti-so
      Kotimaiset julkkisjuorut
      55
      4507
    2. Kohusopassa keitetty Roope Salminen palaa itsevarmana julkisuuteen: "Olen erittäin hypeissä"

      Mitäs mieltä olet Roopen paluusta? https://www.suomi24.fi/viihde/kohusopassa-keitetty-roope-salminen-palaa-itsevarmana-julkisuuteen-olen-erittain-hype
      Kotimaiset julkkisjuorut
      80
      2820
    3. Johanna Tukiainen menetti vauvansa Solnan sosiaalihuollolle - myös vuokra-asunto liipasimella!

      Tänään 4.3. ilmestynyt Seiska tietää kertoa saman minkä näädät ovat tienneet jo 3 viikon ajan. Näätien tiedothan koskivat Tukiaisen vauvan huostaanot
      Kotimaiset julkkisjuorut
      300
      2662