Yo tehtäviä

Kärtty-anonyymi iski jälleen! Sillä lailla sitä pitää! Älä vaan unohda tuota rooliasi!

Älä unohda tapausta, jossa piste on ympyrän sisäpuolella.

Anonyymi kirjoitti:

Älä unohda tapausta, jossa piste on ympyrän sisäpuolella.

Jyy!
Pitää olla ...pisteen etäisyys x-akselista eli lbl.
Saadaan l b l = 1/2 l a^2 - 1 l.
Tuon käyrän pisteen (a,b) etäisyys x-akselista = l b l ja etäisyys ympyrästä on
l 1 - sqrt(a^2 1/4 (a^2 - 1)^2 l = 1/2 l a^2 - 1 l = l b l.

Anonyymi kirjoitti:

Jyy!
Pitää olla ...pisteen etäisyys x-akselista eli lbl.
Saadaan l b l = 1/2 l a^2 - 1 l.
Tuon käyrän pisteen (a,b) etäisyys x-akselista = l b l ja etäisyys ympyrästä on
l 1 - sqrt(a^2 1/4 (a^2 - 1)^2 l = 1/2 l a^2 - 1 l = l b l.

Lue lisää

Jatketaan nyt 3-tehtävällä. Nimetään nelikulmion kärjet positiiviseen kiertosuuntaan ABCD.
Lävistäjän AC pituus olkoon a ja lävistäjän BD pituus b. Lävistäjien leikkauspiste P jakaa lävistäjien pituudet siten, että AP = a2, PC = a1 , (a1 a2 = a), PB = b1 ja PD = b2 , (b1 b2 = b).
Syntyy 4 kolmiota joiden pinta-alojen summa = nelikulmion pinta-ala.

Kulma CPB olkoon u (se on siis tuo tehtävän alfa).

Kun kolmion sivut ovat vektorit X ja Y ja niiden välinen kulma = v on kolmion pinta-ala'
1/2 l X x Y l = 1/2 lX l * l Y l * l sin (v) l

Nelikulmion pinta-ala on

1/2 ( b1 a1 l sin(u) l a1 b2 l sin(pii-u)l b2 a2 lsin(u) l a2 b1 l sin(pii-u) l ) =
1/2 l sin(u) l (b1 a1 a1 b2 b2 a2 a2 b1) =
1/2 l sin(u) l (a1 (b1 b2) a2 (b2 b1) =
1/2 l sin(u) l a b

Anonyymi kirjoitti:

Jatketaan nyt 3-tehtävällä. Nimetään nelikulmion kärjet positiiviseen kiertosuuntaan ABCD.
Lävistäjän AC pituus olkoon a ja lävistäjän BD pituus b. Lävistäjien leikkauspiste P jakaa lävistäjien pituudet siten, että AP = a2, PC = a1 , (a1 a2 = a), PB = b1 ja PD = b2 , (b1 b2 = b).
Syntyy 4 kolmiota joiden pinta-alojen summa = nelikulmion pinta-ala.

Kulma CPB olkoon u (se on siis tuo tehtävän alfa).

Kun kolmion sivut ovat vektorit X ja Y ja niiden välinen kulma = v on kolmion pinta-ala'
1/2 l X x Y l = 1/2 lX l * l Y l * l sin (v) l

Nelikulmion pinta-ala on

1/2 ( b1 a1 l sin(u) l a1 b2 l sin(pii-u)l b2 a2 lsin(u) l a2 b1 l sin(pii-u) l ) =
1/2 l sin(u) l (b1 a1 a1 b2 b2 a2 a2 b1) =
1/2 l sin(u) l (a1 (b1 b2) a2 (b2 b1) =
1/2 l sin(u) l a b

Lue lisää

P.S. Tietenkin nuo itseisarvon merkit noiden sinien ympärillä ovat turhat,
0 < u < pii joten sinit positiivisia.

Anonyymi kirjoitti:

Jatketaan nyt 3-tehtävällä. Nimetään nelikulmion kärjet positiiviseen kiertosuuntaan ABCD.
Lävistäjän AC pituus olkoon a ja lävistäjän BD pituus b. Lävistäjien leikkauspiste P jakaa lävistäjien pituudet siten, että AP = a2, PC = a1 , (a1 a2 = a), PB = b1 ja PD = b2 , (b1 b2 = b).
Syntyy 4 kolmiota joiden pinta-alojen summa = nelikulmion pinta-ala.

Kulma CPB olkoon u (se on siis tuo tehtävän alfa).

Kun kolmion sivut ovat vektorit X ja Y ja niiden välinen kulma = v on kolmion pinta-ala'
1/2 l X x Y l = 1/2 lX l * l Y l * l sin (v) l

Nelikulmion pinta-ala on

1/2 ( b1 a1 l sin(u) l a1 b2 l sin(pii-u)l b2 a2 lsin(u) l a2 b1 l sin(pii-u) l ) =
1/2 l sin(u) l (b1 a1 a1 b2 b2 a2 a2 b1) =
1/2 l sin(u) l (a1 (b1 b2) a2 (b2 b1) =
1/2 l sin(u) l a b

Lue lisää

Turhan monimutkaisesti.
Oletetaan, että ja a jakaa b:n suhteisiin c ja b-c. Piirretään b:n kärkipisteistä korkeusjanat a:lle; niiden pituudet ovat c*sinα ja (b-c)*sinα. Nelikulmio muodostuu nyt kahdesta a-kantaisesta kolmiosta, joiden yhteinen ala on:
1/2*a* c*sinα 1/2*a*(b-c)* c*sinα = 1/2*a*b* c*sinα

Anonyymi kirjoitti:

Turhan monimutkaisesti.
Oletetaan, että ja a jakaa b:n suhteisiin c ja b-c. Piirretään b:n kärkipisteistä korkeusjanat a:lle; niiden pituudet ovat c*sinα ja (b-c)*sinα. Nelikulmio muodostuu nyt kahdesta a-kantaisesta kolmiosta, joiden yhteinen ala on:
1/2*a* c*sinα 1/2*a*(b-c)* c*sinα = 1/2*a*b* c*sinα

Lue lisää

Kun en piirtänyt kuvaa vaan selitin sanallisesti tilanteen niin menihän siinä muutama rivi.Ja muutenkin selostin laskun melkoisen "juurta jaksaem".

Itse todistus sisälsi 4 lyhyttä riviä. Ja olisihan niistäkin voinut jättää pari pois jos olisi halunnut esiintyä näppäränä ja jättää lukijalle mietittävää.

Ratkaisuni oli myös varsin "mekaaninen", ei pahemmin tarvitse miettiä geometriaa kunhan suorittaa muutaman laskutoimituksen.

Mutta täytyihin sinun nyt päästä tuolla "turhan monimutkaista" - ilmaisulla itseäsi kehumaan.

En osallistu tällä palstalla mihinkään knoppailukilpailuun vaan yritän joskus aloittajakysyjille antaa vastauksen jonka he voivat ehkä ymmärtää ja josta jotain voisi oppiakin.

Usein kyllä näyttää olevan niin, että kysyjät vain haluavat tietyn laskumsa laskettaa jollain osaavalla evätkä yritäkään oppia mitään.

Dixi

Anonyymi kirjoitti:

Kun en piirtänyt kuvaa vaan selitin sanallisesti tilanteen niin menihän siinä muutama rivi.Ja muutenkin selostin laskun melkoisen "juurta jaksaem".

Itse todistus sisälsi 4 lyhyttä riviä. Ja olisihan niistäkin voinut jättää pari pois jos olisi halunnut esiintyä näppäränä ja jättää lukijalle mietittävää.

Ratkaisuni oli myös varsin "mekaaninen", ei pahemmin tarvitse miettiä geometriaa kunhan suorittaa muutaman laskutoimituksen.

Mutta täytyihin sinun nyt päästä tuolla "turhan monimutkaista" - ilmaisulla itseäsi kehumaan.

En osallistu tällä palstalla mihinkään knoppailukilpailuun vaan yritän joskus aloittajakysyjille antaa vastauksen jonka he voivat ehkä ymmärtää ja josta jotain voisi oppiakin.

Usein kyllä näyttää olevan niin, että kysyjät vain haluavat tietyn laskumsa laskettaa jollain osaavalla evätkä yritäkään oppia mitään.

Dixi

Lue lisää

Olettaisin, että tehtävän ratkaisija piirtää kuvan sitä pohtiessaan. Sen jälkeen tuo ratkaisumenetelmä, jonka esitin, on hyvin helppo hoksata: kahden kolion alat, kun kanta ja viereinen kulma tunnetaan. Sen sijaan sinun menetelmääsi käyttämällä on suuri riski, että aloitteleva laskija tekee laskuvirheitä.
Minä selitin pääpiirteissään tuon ratkaisumenetelmän jo päivää aiemmin kuin sinä esitit oman versiosi (tuolla alempana). Eli voidaan kysyä, miksi sinun piti tulla pätemään.

Anonyymi kirjoitti:

Turhan monimutkaisesti.
Oletetaan, että ja a jakaa b:n suhteisiin c ja b-c. Piirretään b:n kärkipisteistä korkeusjanat a:lle; niiden pituudet ovat c*sinα ja (b-c)*sinα. Nelikulmio muodostuu nyt kahdesta a-kantaisesta kolmiosta, joiden yhteinen ala on:
1/2*a* c*sinα 1/2*a*(b-c)* c*sinα = 1/2*a*b* c*sinα

Lue lisää

Siis 1/2*a* c*sinα 1/2*a*(b-c)*sinα = 1/2*a*b*sinα

En tiedä, miten sinä kuvittelet YO-kirjoitusten toimivan, mutta minä kuvittelisin, että Googlen käyttö on jossain kohtaa säännöissä kielletty. Ei siis ole mitään järkeä harjoitella ratkaisemaan tehtäviä Googlen avulla, etenkään tällaisessa tapauksessa, kun siitä ei ole myöskään mitään hyötyä.

Tehtävänä on etsiä Newtonin menetelmällä, ei googlaamalla, funktion f(x) = e^x - sin(x) suurin nollakohta.

Anonyymi kirjoitti:

En tiedä, miten sinä kuvittelet YO-kirjoitusten toimivan, mutta minä kuvittelisin, että Googlen käyttö on jossain kohtaa säännöissä kielletty. Ei siis ole mitään järkeä harjoitella ratkaisemaan tehtäviä Googlen avulla, etenkään tällaisessa tapauksessa, kun siitä ei ole myöskään mitään hyötyä.

Tehtävänä on etsiä Newtonin menetelmällä, ei googlaamalla, funktion f(x) = e^x - sin(x) suurin nollakohta.

Lue lisää

Taas palstan lukutaidoton idiootti vauhdissa. Mikä on ongelmasi? Leikitkö tyhmää? Kuka on kiinnostunut sinun kuvitteluistasi?

Nyt kyse ei ollut YO-kirjoituksista vaan alkeiden opettelusta YO-kirjoituksia varten. Oletko eri mieltä?

Jos kysyjä ei osannut ratkaista ko tehtävää, jotenkin häntä pitää auttaa hahmottamaan tehtävä. Vain alle 10 % tätäkin ketjua lukeneista näkee suoraan päässään ko. käppyrät.

Sinä et ole ikinä opetellut matematiikka etkä edes tiedä, miten matematiikkaa opetetaan ja opitaan. Olet pelkkä suunsoittaja. Onko joku eri miletä?

Anonyymi kirjoitti:

Taas palstan lukutaidoton idiootti vauhdissa. Mikä on ongelmasi? Leikitkö tyhmää? Kuka on kiinnostunut sinun kuvitteluistasi?

Nyt kyse ei ollut YO-kirjoituksista vaan alkeiden opettelusta YO-kirjoituksia varten. Oletko eri mieltä?

Jos kysyjä ei osannut ratkaista ko tehtävää, jotenkin häntä pitää auttaa hahmottamaan tehtävä. Vain alle 10 % tätäkin ketjua lukeneista näkee suoraan päässään ko. käppyrät.

Sinä et ole ikinä opetellut matematiikka etkä edes tiedä, miten matematiikkaa opetetaan ja opitaan. Olet pelkkä suunsoittaja. Onko joku eri miletä?

Lue lisää

Kiitos kysymästä, olen eri mieltä. Ymmärrän toki täällä esitettyjen väitteiden vahvistamiseen liittyvän ongelmallisuuden, mutta kerron silti, että olen opiskellut matematiikkaa pääaineena yliopistossa (en tosin ole vielä valmistunut maisteriksi asti).

Aloittajan ongelma ei (ainakaan aloituksesta päätellen) ole se, ettei hän tietäisi, miltä x -> sin(x) tai x - > e^x funktiot näyttävät (minkä googlaamista ehdotit) eikä Newtonin menetelmä ole hänelle tuntematon työkalu, vaan hän ei vain hoksaa miten sitä pitäisi käyttää tähän nimenomaiseen tehtävään.

Tuohon ongelmaan oikea neuvo ei ole "googlaa oikea vastaus", vaan täytyy vain vinkata oikeaan suuntaan, kuten "käytä Newtonin menetelmää funktioon f(x) = e^x - sin(x)". Monelle jo noinkin itsestään selvän oloinen vinkki riittää.

Useimmat aikuiset, joilla opiskeluajoista on jo useita vuosia tai vuosikymmeniä, eivät luultavasti ilman hetken miettimistä muista miltä sin(x) tai e^x näyttävät, mutta opiskellessa noihin törmää uudestaan ja uudestaan lähes joka viikko ja usein monta kertaa viikossa, joten kaikilla on kyllä kirkkaana mielessä miltä ne suurin piirtein näyttävät, vaikkei tarkalleen muistaisikaan oliko sin(0) = 0 vai 1.

Anonyymi kirjoitti:

Kiitos kysymästä, olen eri mieltä. Ymmärrän toki täällä esitettyjen väitteiden vahvistamiseen liittyvän ongelmallisuuden, mutta kerron silti, että olen opiskellut matematiikkaa pääaineena yliopistossa (en tosin ole vielä valmistunut maisteriksi asti).

Aloittajan ongelma ei (ainakaan aloituksesta päätellen) ole se, ettei hän tietäisi, miltä x -> sin(x) tai x - > e^x funktiot näyttävät (minkä googlaamista ehdotit) eikä Newtonin menetelmä ole hänelle tuntematon työkalu, vaan hän ei vain hoksaa miten sitä pitäisi käyttää tähän nimenomaiseen tehtävään.

Tuohon ongelmaan oikea neuvo ei ole "googlaa oikea vastaus", vaan täytyy vain vinkata oikeaan suuntaan, kuten "käytä Newtonin menetelmää funktioon f(x) = e^x - sin(x)". Monelle jo noinkin itsestään selvän oloinen vinkki riittää.

Useimmat aikuiset, joilla opiskeluajoista on jo useita vuosia tai vuosikymmeniä, eivät luultavasti ilman hetken miettimistä muista miltä sin(x) tai e^x näyttävät, mutta opiskellessa noihin törmää uudestaan ja uudestaan lähes joka viikko ja usein monta kertaa viikossa, joten kaikilla on kyllä kirkkaana mielessä miltä ne suurin piirtein näyttävät, vaikkei tarkalleen muistaisikaan oliko sin(0) = 0 vai 1.

Lue lisää

*Korjaan: "...funktioon f(x) = e^x sin(x)."

Anonyymi kirjoitti:

Taas palstan lukutaidoton idiootti vauhdissa. Mikä on ongelmasi? Leikitkö tyhmää? Kuka on kiinnostunut sinun kuvitteluistasi?

Nyt kyse ei ollut YO-kirjoituksista vaan alkeiden opettelusta YO-kirjoituksia varten. Oletko eri mieltä?

Jos kysyjä ei osannut ratkaista ko tehtävää, jotenkin häntä pitää auttaa hahmottamaan tehtävä. Vain alle 10 % tätäkin ketjua lukeneista näkee suoraan päässään ko. käppyrät.

Sinä et ole ikinä opetellut matematiikka etkä edes tiedä, miten matematiikkaa opetetaan ja opitaan. Olet pelkkä suunsoittaja. Onko joku eri miletä?

Lue lisää

Googlaa vastaus ei kuulosta hyvältä opetusmetodilta.

Kyllä se Newtonin menetelmä on oppikirjassakin esitetty. Ei se Wikipediasta lukemalla sen selkeämmäksi muutu.

Tuollakin varmasti saa oikean vastauksen, mutta kätevämpää on käyttää Newtonia suoraan tuohon yksinkertaisempaan funktioon, josta sinäkin olennaisesti lähdit liikkeelle: f(x)=e^x sin(x).

Tuon derivointi on helpompaa kuin tuon ehdottamasi yhdistetyn funktion. Lisäksi siitä on pienellä miettimisellä helpompi hahmottaa miten funktio käyttäytyy:
kun x on iso negatiivinen luku, f on melkein sin, eli nollakohtia on vähän väliä.
kun x on iso positiivinen luku f on melkein exp, eli nollakohtia ei ole enää tulossa.
Näinollen alkuarvaukseksi kannattaa ottaa sellainen luku, joka on varmasti viimeisen nollakohdan positiivisella puolella, jolloin Newton ei iteroidu vahingossa johonkin aiempaan nollakohtaan.

Onko siinä nyt varmaan kaksi paraabelia ? Ihan kuin ne käyrät varastaisivat toisiltaan kaaren ympyrän sisällä...

Anonyymi kirjoitti:

Onko siinä nyt varmaan kaksi paraabelia ? Ihan kuin ne käyrät varastaisivat toisiltaan kaaren ympyrän sisällä...

On, on. Jos otetaan siten, että etäisyys kahteen ympyrään on yhtäsuuri, niin sitten äärettömyyspiste voi käydä varastamassa sieltä kaaren, mutta yleensä se on ellipsi ja/tai paraabeli:

https://www.desmos.com/calculator/invxryn9sn

Viisikulmion ala voidaan tietenkin laskea jakamalla se nelikulmioon ja kolmioon ja käytetään nelikulmion kaavaa ja kolmiolle alan kaavaa:

https://www.desmos.com/calculator/htdesnoiak

Mutta tuossa yksi lävistäjä pitää jakaa kahteen osaan ja selvittää toisen osan pituus (kolmion korkeus). Olisiko kaavaa, joka käyttää vain lävistäjien pituuksia ja välisiä kulmia? Nyt taisin keksiäkin:

Summataan kaksi nelikulmiota, kuvan merkinnöillä, C1C2C4C5 ja C1C2C3C4. Näissä yhteistä on kolmio C4C1C2, joten vähennetään sen ala:

https://www.desmos.com/calculator/kkfnmojr1s

Siinä käytetään siis yhden kerran samasta kärjestä lähteviä lävistäjiä. Mutta eihän se ole kiellettyä, helpompihan se vain on, kun tiedetään jo lävistäjien leikkauspistekin valmiiksi (vaikka eihän sitä leikkauspistettä tarvitse tietää välisen kulman selvittämiseksi; jos ei sitten kulmaa halua piirtää).