Aihe

Auttakaa matikan tehtävässä!

Anonyymi

Miten tämmöinen pitäisi tehdä

Pitää osoittaa, että yhtälö 2x/(x^2+2) ≤1 on aina tosi

???????

7

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Kun x on negatiivinen, tuo lauseke on negatiivinen, eli väite pätee. Nolla on pienempi kuin yksi, joten väite pätee sielläkin. Kiinnostava osa tehtävää on siis positiiviset x:t.

      Jos derivointi on jo opetettu, niin derivoi ja totea, että derivaatan ainoassa nollakohdassa funktion arvo on korkeintaan yksi ja molemmilla puolilla arvo pienenee, joten väite pätee kaikkialla.

      Jos derivointia ei ole opetettu, et ole oppinut tai et halua derivoida, niin kerro epäyhtälö puolittain x^2+2:lla (positiivinen, joten ei ongelmaa), siirtele termejä, ratkaise toisen asteen yhtälö ja totea, että väite pitää paikkansa.

    • Anonyymi

      Toinen tapa:

      Kerro (x^2+2) toiselle puolelle (se on aina positiivista joten epäyhtälö ei tästä kärsi)

      2x ≤ x^2 + 2

      Vähennetään 2x molemmilta puolilta ja huomataan, että oikealla puolella on 1 enemmän kuin (x-1):n neliö, mikä tietenkin aina on epänegatiivista (jopa positiivista).

      0 ≤ x^2 - 2x + 2
      0 ≤ x^2 - 2x + 1 + 1
      0 ≤ (x-1)^2 + 1

      • Anonyymi

        Tämä neliöksi täydentäminen oli kieltämättä fiksumpi ratkaisu kuin kumpikaan omistani. Olen selvästi ruosteessa.


    • Anonyymi

      Kolmas tapa:

      Huomaa, että x^2 > x, kun x>2 (sillä x^2 = x*x > 2x, kun x>2). Nimittäjässä on siis jotain suurempaa kuin 2x, joten osamäärä on korkeintaan 1. Tämä siis silloin kun x>2. Toisaalta, jos 1<x<=2, niin nimittäjässä on x^2+2 > 2x. Ja jos taas x<1, niin kakkonen jo itsessään on suurempi kuin nimittäjä 2x.

      • Anonyymi

        Huomaa, että x^2 > 2x, kun x>2... piti sanomani.


    • Anonyymi

      Koska aina on x^2 + 2 > 0 niin epäyhtälö on yhtäpitävä epäyhtälön 2x < = x^2 + 2 kanssa.

      x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 >= 1 > 0. mot.

    • Anonyymi

      Tässä olisi vielä yksi tapa (rajoitutaan positiivisiin x:n arvoihin):

      Osoitetaan että käänteisluvut ovat päinvastaisessa järjestyksessä.

      (x^2 + 2) / (2x)
      = (x + 2/x) / 2
      Koska aritmeettinen keskiarvo on suurempaa kuin geometrinen, niin (jatketaan ey-ketjua)
      >= sqrt(x*2/x)
      = sqrt(2)
      > 1

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Yölintu : Matti Silmu on kuollut

      Matti Silmu, Yölintuorkesterin perustaja on kuollut. . . .
      Kotimaiset julkkisjuorut
      65
      8040
    2. Matti Silmu :(

      Matti Silmu kuollut:( osanotto läheisille.
      Yölintu
      20
      3756