Auttakaa matikan tehtävässä!

Kun x on negatiivinen, tuo lauseke on negatiivinen, eli väite pätee. Nolla on pienempi kuin yksi, joten väite pätee sielläkin. Kiinnostava osa tehtävää on siis positiiviset x:t.

Jos derivointi on jo opetettu, niin derivoi ja totea, että derivaatan ainoassa nollakohdassa funktion arvo on korkeintaan yksi ja molemmilla puolilla arvo pienenee, joten väite pätee kaikkialla.

Jos derivointia ei ole opetettu, et ole oppinut tai et halua derivoida, niin kerro epäyhtälö puolittain x^2+2:lla (positiivinen, joten ei ongelmaa), siirtele termejä, ratkaise toisen asteen yhtälö ja totea, että väite pitää paikkansa.

Toinen tapa:

Kerro (x^2+2) toiselle puolelle (se on aina positiivista joten epäyhtälö ei tästä kärsi)

2x ≤ x^2 + 2

Vähennetään 2x molemmilta puolilta ja huomataan, että oikealla puolella on 1 enemmän kuin (x-1):n neliö, mikä tietenkin aina on epänegatiivista (jopa positiivista).

0 ≤ x^2 - 2x + 2
0 ≤ x^2 - 2x + 1 + 1
0 ≤ (x-1)^2 + 1

Kolmas tapa:

Huomaa, että x^2 > x, kun x>2 (sillä x^2 = x*x > 2x, kun x>2). Nimittäjässä on siis jotain suurempaa kuin 2x, joten osamäärä on korkeintaan 1. Tämä siis silloin kun x>2. Toisaalta, jos 1<x<=2, niin nimittäjässä on x^2+2 > 2x. Ja jos taas x<1, niin kakkonen jo itsessään on suurempi kuin nimittäjä 2x.

Koska aina on x^2 + 2 > 0 niin epäyhtälö on yhtäpitävä epäyhtälön 2x < = x^2 + 2 kanssa.

x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 >= 1 > 0. mot.

Tässä olisi vielä yksi tapa (rajoitutaan positiivisiin x:n arvoihin):

Osoitetaan että käänteisluvut ovat päinvastaisessa järjestyksessä.

(x^2 + 2) / (2x)
= (x + 2/x) / 2
Koska aritmeettinen keskiarvo on suurempaa kuin geometrinen, niin (jatketaan ey-ketjua)
>= sqrt(x*2/x)
= sqrt(2)
> 1