Muodosta neliö mahdollisimman vähällä (etäisyyden neliö mielessä) pisteiden siirrolla

Anonyymi

Tasossa on pisteet (0, 3), (1, 2), (3, 1), (3, 2). Näitä täytyy siirtää niin, että ne muodostavat neliön. Siirtojen pituuksien neliöt on minimoitava. Mitkä siirrot, eli yhtä pitävästi, mikä neliö on paras?

Huom: neliön sivujen ei tarvitse olla koordinaattiakselien suuntaiset.

14

202

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Yhden pisteen siirrolla neliön muoSOAT Vi yhsellä tavalla (perustele miksi). Osoita, että mikään kahden pisteen siirto ei voi tapahtua lyhyemmin. Samoin kolmen pisteen siirto. Voidaan pitää selviönä, että neljän pisteen siirto ei voi olla ratkaisu.

      • Anonyymi

        Korjaus: " neliön muoSOAT Vi yhsellä" p.o. "neliön voi muodostaa vain"


      • Anonyymi

        Ei taida tulla yhden eikä kahden pisteen siirrolla tuosta minkään valtakunnan neliötä ellei sitten määrittele neliön jollain uudella tavalla niinkuin ilmastonlämmityspalstalla.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei taida tulla yhden eikä kahden pisteen siirrolla tuosta minkään valtakunnan neliötä ellei sitten määrittele neliön jollain uudella tavalla niinkuin ilmastonlämmityspalstalla.

        Jättäisitkö sen politiikan kuitenkin Politiikka-palstalle.


      • Anonyymi

        Koska kyse on etäisyyksien neliöistä, eikä suoraan etäisyydestä, niin kahden pisteen siirto on lähes varmasti parempi ratkaisu kuin yhden, ja vastaavasti kolmen pisteen siirto parempi kuin kahden, jne.

        Näin siis siksi, että jos yhtä pistettä siirretään yhden yksikön verran, etäisyyden neliö on 1. Jos kahta pistettä siirretään puolikaan verran, etäisyyksien neliöiden summa on vain puoli, ja niin edelleen. Siirtymät kannattaa jakaa mahdollisimman tasaisesti kaikille pisteille.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei taida tulla yhden eikä kahden pisteen siirrolla tuosta minkään valtakunnan neliötä ellei sitten määrittele neliön jollain uudella tavalla niinkuin ilmastonlämmityspalstalla.

        Joo sori, olet oikeassa, luin yhden pisteen koordinaatin väärin.


    • Anonyymi

      Paras, minkä minä keksin, on siirtää pisteet neliön (1,1),(1,3),(3,3),(3,1) kulmiksi (siis siten, että (3,1) pysyy paikallaan ja muut liikkuvat kukin yhden yksikön verran). Etäisyyksien neliöiden summaksi tulisi siis 3.

      • Anonyymi

        Piirrä kuva!

        Siirrä (0,3)->(2,3) ja (3,1)->(2,1). Muodostuu "vinoneliö", jonka sivut ovat sqrt(2) ja halkaisijat 2

        Siirtojen neliöt: sqrt(2) 1 = 2,4142

        Tätä voi sitten hienosäätää hiukan pienemmäksi.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Piirrä kuva!

        Siirrä (0,3)->(2,3) ja (3,1)->(2,1). Muodostuu "vinoneliö", jonka sivut ovat sqrt(2) ja halkaisijat 2

        Siirtojen neliöt: sqrt(2) 1 = 2,4142

        Tätä voi sitten hienosäätää hiukan pienemmäksi.

        Toinen helppo ja hiukan huonompi tapa on siirtää

        (0,3)->(2,4) ja (3,2)->(4,3)

        Siirtojen neliöt: sqrt(sqrt(5)) sqrt(sqrt2)) = 2,6846


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Toinen helppo ja hiukan huonompi tapa on siirtää

        (0,3)->(2,4) ja (3,2)->(4,3)

        Siirtojen neliöt: sqrt(sqrt(5)) sqrt(sqrt2)) = 2,6846

        Tuossa taitaa olla tapahtunut väärinymmärrys:
        Ei siirtojen neliöjuuret, vaan neliöt. Eli jokainen siirto korotetaan toiseen potenssiin ja ne summataan.

        Tuon (0,3)->(2,4) siirron neliö on sqrt(5)^2 = 5. Ei sqrt(sqrt(5)).
        Ja tuossa toisessa ehdotuksessa siirron (0,3)->(2,3) neliö on 2^2 = 4. Ei sqrt(2).


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuossa taitaa olla tapahtunut väärinymmärrys:
        Ei siirtojen neliöjuuret, vaan neliöt. Eli jokainen siirto korotetaan toiseen potenssiin ja ne summataan.

        Tuon (0,3)->(2,4) siirron neliö on sqrt(5)^2 = 5. Ei sqrt(sqrt(5)).
        Ja tuossa toisessa ehdotuksessa siirron (0,3)->(2,3) neliö on 2^2 = 4. Ei sqrt(2).

        Lukaisin tehtävän alussa väärin, enkä lukenut toista kertaa.

        Vai olisiko tehtävässä ollut painovirhe?

        Neliöön korottamallakin saa vinossa olevan neliön, jossa osa siirroista on pienempiä kuin 1. Summaksi ei tule ihan helposti alle kolmea.


    • Anonyymi

      Näin saa 2.5: https://aijaa.com/cRZcTc

      Se on laskettu näin:
      https://www.desmos.com/calculator/mt4opinpej
      Otetaan muuttujiksi pisteet B1 = (x1, y1) ja B2 = (x2, y2), joiksi kaksi ensimmäistä pistettä siirretään . Nyt neliön toiset pisteet ovat näiden 90 asteen kierrot toistensa ympäri. Tässä on kaksi mahdollisuutta kumpaan suuntaan kierretään ja lisäksi on kaksi mahdollisuutta sille "kumpi on kumman siirretty piste". Mutta tässä lienee järkevää katsoa kumminpäin hyvä tulee ja sitten jos pisteiden vastaavuus menee huonosti, niin numeroidaan A-pisteet uudelleen.
      Siis neliön loput pisteet ovat B3 = (x2 y1-y2, y2 x2-x1) ja B4 = (x1 y1-y2, y1 x2-x1). Etäisyyksien neliösumman gradientin nollakohdan etsintä antaa lineaarisen yhtälöryhmän (minä tuolla vain tarkastin, että osittaisderivaatat tosiaan on nollaa ratkaisu B-pisteissä (jotka löydettiin numeerisesti minimoimalla)).

      Olen yrittänyt ratkaista tehtävää myös yleisille annetuille pisteille A1, A2, A3 ja A4, mutta jokin siinä menee väärin. Noh, laitetaan tämä yritelmä kuitenkin (ai niin siinä oletin että A1 = (0,0), jotta parametrejä olisi vähemmän, mutta ehkä se olisi symmetrisempi kun kaikki A:t on vapaita):

      https://www.desmos.com/calculator/shcoavrnfz

      • Anonyymi

        Hyvä ratkaisu. Pienten (<1) siirtojen neliöt on todella pieniä!

        Kokeile, mitä saat jos otatkin siirtojen pituuksista neliöjuuret? Kuinka paljon alle sqrt(2) 1 = 2,4142 pääset?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Hyvä ratkaisu. Pienten (<1) siirtojen neliöt on todella pieniä!

        Kokeile, mitä saat jos otatkin siirtojen pituuksista neliöjuuret? Kuinka paljon alle sqrt(2) 1 = 2,4142 pääset?

        Neliöjuuret hankaloittaa tehtävää huomattavasti (vaikka ottaisi vain etäisyyden, saati vielä sitten siitä neliöjuuren). Tällöin funktio ei ole edes derivoituva pisteissä, joissa jotain pistettä ei siirretä ollenkaan. Numeerinen minimin etsintä tuottaa mitä sattuu ja osittaisderivaatoista tulee niin hankalat lausekkeet, että niitä ei jaksa edes yrittää lähteä ratkomaan. Ja jos minimi löytyy singulaaripisteestä, niin eihän siitä hyötyä olekaan. Voisihan niille singulaaripisteille sitten tutkia funktiota missä vain toinen piste on vapaana. Ja lisäksi ne tapaukset missä kaksi pistettä on kiinni. Ja lisäksi vielä sitten ne kiertosuunta "oikein mäppäytymiset".
        Kyllä tuo sqrt(2) 1 ainakin lokaalilta minimiltä vaikuttaa: https://www.desmos.com/calculator/ccq1aihhb3

        Mutta sain neliöllisen version toimimaan yleisille A-pisteille (kunhan ne mäppäytyvät oikein, vaatii ehkä uudelleen numeroinnin): https://www.desmos.com/calculator/aloim7wi0t


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mitä siellä ABC on tapahtunut

      Tavallista isompi operaatio näkyy olevan kyseessä.
      Alajärvi
      168
      6787
    2. Klaukkalan onnettomuus 4.4

      Klaukkalassa oli tänään se kolmen nuoren naisen onnettomuus, onko kellään mitään tietoa mitä kävi tai ketä onnettomuudes
      Nurmijärvi
      53
      2146
    3. Kuvaile elämäsi naista

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      56
      2088
    4. Ukraina ja Zelenskyn ylläpitämä sota tuhoaa Euroopan, ei Venäjä

      Mutta tätä ei YLE eikä Helsingin Sanomat kerto.
      Maailman menoa
      352
      1200
    5. Kolari Klaukkala

      Kaksi teinityttö kuoli. Vastaantulijoille ei käynyt mitenkään. Mikä auto ja malli telineillä oli entä se toinen auto? Se
      Nurmijärvi
      57
      1194
    6. Kuvaile elämäsi miestä

      Millainen hän on? Mikä tekee hänestä sinulle erityisen?
      Ikävä
      54
      1192
    7. Ooo! Kaija Koo saa kesämökille öky-rempan:jättimäinen terde, poreallas... Katso ennen-jälkeen kuvat!

      Wow, nyt on Kaija Koon mökkipihalla kyllä iso muutos! Miltä näyttää, haluaisitko omalle mökillesi vaikkapa samanlaisen l
      Kesämökki
      14
      1081
    8. Olisinpa jo siellä, otatkohan minut vastaan

      Olisitpa lähelläni ja antaisit minun maalata sinulle kuvaa siitä kaikesta ikävästä, tuskasta, epävarmuudesta ja mieleni
      Ikävä
      79
      950
    9. Kevyt on olo

      Tiedättekö, että olo kevenee kummasti, kun päästää turhista asioista tai ihmisistä irti! Tämä on hyvä näin <3
      Ikävä
      84
      938
    10. Toivoisin, että lähentyisit kanssani

      Tänään koin, että välillämme oli enemmän. Kummatkin katsoivat pidempään kuin tavallisesti toista silmiin. En tiedä mistä
      Ikävä
      14
      937
    Aihe