Arpajaiset

Ennen kaikkea: 5/30 eli 1/6
Maijan availun jälkeen 5/25 eli 1/5
Järjestäjän jälkeen edelleen 1/5, sillä järjestäjä tietää poistaa vain tyhjiä arpoja, joten ei ole mahdollisuutta että voittoarpa ilmaantuisi tässä poistossa eli se ei vaikuta todennäköisyyteen.

a) Ennen kuin Maija avaa arpansa.
Tapa 1.
P(Matti voittaa) = P(Matti voittaa arvalla i ja muilla arvoilla 1,..i,..5 ei tule voittoa) =
1/30 29/30 * 1/29 29/30 * 28/29 * 1/28 29/30*28/29*27/28*1/27 29/30 *28/29 * 27/28* 26/27 * 1/26 = 5* 1/30 = 1/6.
Tapa 2.
C(n,m) = n!/(m! * (n-m)!) = niiden eri tapojen lukumäärä joilla n:stä eri alkiosta voidaan ottaa m eri alkiota.
Tn-avaruudessa on nyt alkoita kaikkiaan C(30,5). Näistä "suotuisia " (Matti voittaa) on C(29,4) eli muut 4 arpaa voidaan valita 29 arvasta ja yksi Matin arvoista on voittoarpa.
Tn(Matti voittaa) = C(29,4) / C(30,5) = 29! / (4! 25!) *( 5! 25!) /30! = 5/30 = 1/6.
Kun Maija ei ole avannut arpojaan ne eivät vaikuta Matin voiton todennäköisyyteen. Maija osti ne Matin ostojen jälkeen ja ne Maijan arvat voisivat yhtä hyvin olla vielä ostamattakin, eivät vaikuta Matin voittoon.
a) Maija avaa arpansa ennen Mattia ja voittoa ei ole. Matin arvat on siis nostettu läjästä jossa on 25 arpaa joista yksi on voittoarpa.
Tapa 1.Sovella samaa laskutapaa kuin edellä mutta käytä luvun 30 asemesta lukua 25. Tulos on 5*1/25 = 1/5.
Tapa 2, Tn =C(24,4) / C(24,5) = 5/25 = 1/5.

b) Myyjä poistaa 5 arpaa joissa ei ole voittoarpaa. Arpoja on siis 25. Ennen poistoa Matin voiton tn on sama kuin yllä ennenkuin Maija avasi arpansa eli 1/6.Tilannehan on arpojen osalta ihan sama kuin äsken. Poiston jälkeen tilanne on sama kuin yllä Maijan avattua arvat ja todettua ettei niissä ollut voittoarpaa. Matin voiton ntn siis 1/5.

Kun arpoja on 30 kpl ja yksi voitto on yhtä suurella todennäköisyydellä kussakin niistä, voidaan Matin voiton tn ennen Maijan arpojen avaamista laskea yksinkertaisesti osamääränä 5/30 = 1/6.
Matin voiton tn voidaan myös laskea ennen Maijan arpojen avaamista laskea lausekkeesta (1/6)*0 (5/6)*(5/25) = 1/6, missä ensimmäinen tekijä vastaa tapausta että Maija saa arvoillaan voiton ja toinen että Maija ei saa voittoa. Kun Maijan arvoissa ei ole voittoa, lauseke muuttuu muotoon 0*0 1*(5/25) = 1/5.
Tuo, että arpajaisten järjestäjä poistaa viisi tyhjiksi tietämäänsä arpaa, on todennäköisyyslaskennan kannalta kinkkisempi tapaus. Kyseessä on deterministinen, ei stokastinen tapahtuma. Kun poistettavat arvat ovat voitottomia, se ei vaikuta Matin voiton todennäköisyyteen. Toisaalta, jos arpajaisten järjestäjä poistaisi tietoisesti voittoarvan, se vaikuttaisi Matin voittotodennäköisyyteen, se menisi nollaan. Jos taas Mikko ostaisi tyhjien arpojen poiston jälkeen viisi arpaa, hänen voittotodennäköisuutensä olisi 1/4.

Pieni muunnelma selventää b-kohtaa:

Arpajaisissa on 30 arpaa, joista yhdessä on voitto. Matti ostaa viisi arpaa.
Arpojen huonon menekin takia arpajaisten järjestäjä poistaa myytävistä kaksikymmentäneljä tyhjiksi tietämäänsä arpaa ennen kuin Matti tarkistaa omansa. Mikä on Matin voittotodennäköisyys?

Otetaanpa sitten hieman kinkkisempi muunnelma. On arpajaiset, joissa on 30 arpaa, ja niistä kaksi voittoarpoja. Matti ostaa 10 arpaa. Kombinatoriikalla voidaan laskea, että hänen voittotodennäköisyytensä ovat: 2 voittoa - 3/29; 1 voitto: 40/87; ei voittoa: 38/87.
Ennen kuin Matti avaa arpansa, tapahtuu vaihtoehtoisesti kaksi asiaa:
a) Maija ostaa myös 10 arpaa ja avaa ne ennen kuin Matti omansa. Maijan arvoissa on 1 voitto ja 9 tyhjää.
b) Huonon menekin takia arpajaisten järjestäjä päättää poistaa myynnistä 10 arpaa siten, että hän tietää niistä yhden olevan voittoarvan ja 9 tyhjää.
Miten Matin arpojen voittotodennäköisyydet muuttuvat tapahtumien a) ja b) jälkeen erikseen tarkasteltuna? Selvää on, että kummankin tapahtuman jälkeen kahden voiton todennäköisyys on nolla, ja siksi kysytään vain yhden voiton todennäköisyyttä.

Tapaus a) on ekvivalentti sen kanssa, että Maija valitsee ensin 10 arpaa, avaa ne ja toteaa yhden voiton ja 9 tyhjää. Silloin Matille jää valittavaksi 20 arvasta, joissa on yksi voitto. Voitto-tn on siis 1/2.
Tapaus b) on tosiaan osittain satunnainen, sillä jos Matilla olisi kaksi voittoa arvoissaan, järjestäjä voi poistaa vain 10 tyhjää arpaa. Tämän tn on siis 3/29. Jos Matilla on yksi tai nolla voittoa arvoissaan, järjestäjä voi poistaa 9 tyjää ja yhden voittoarvan. Mutta se ei vaikuta Matin voittotodennäköisyyksiin.