Peräkkäisten lukujen summa?

an = an-1 an-2

Googlaa Fibonacci.

Yritä kysyä asiallisesti. Kerro mitä haluat laskea. Jotain olet tekemässä.

Summa on tietysti ääretön. Ääretön määrä toinen toistaan suurempia lukuja. Ja ne suurimmat ovat kaikki yksinäänkin äärettömiä.

Jos luvut ovat f(1), f(2), f(3)...f(n) ja vastaavat summat ovat S(1), S(2), S(3)....S(n), niin silloin
Sn = f(n 2) - 1
Esim 1 1 2 3 5 8 = 20, ja sarjan seuraavat luvut ovat 13, 21, 35...

Käytä Binet'n kaavaa Fibonacci luvulle, jolloin saat kaksi geometrista summaa.

Lisätäänpä lukujesi alkuun luku 1 niin saadaan Fibonaccin luvut
1,1,2,3,5,8,...
eli F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2,F(4) = 3,....,F(n) = F(n-1) F(n-2),...
F(1) F(2) F(3) ... F(n) = F(n 2) - 1
Kysymäsi summan laskemiseksi sinun on laskettava termin F(n 2) arvo.

1 2 3 ..... 34 35 36=666!
Mutta miten saan (kaava?) laskettua yhteen luvut 1:stä 360:een?

Summa S(n) = 1 2 3 5 8 ... n on helppo laskea. Ensin todetaan, että jonolle S(n) pätee rekursioyhtälö S(n) = S(n-1) S(n-1) - S(n-2) S(n-2) - S(n-3) = 2S(n-1) - S(n-3). Tämä on helppo havaita, sillä jotta päästään osasummasta S(n-1) summaan S(n), on lisättävä summaan S(n-1) kaksi viimeisimpinä summattua lukua. Nämä voidaan ilmoittaa osasummien erotuksina S(n-1) - S(n-2) ja S(n-2) - S(n-3).

Rekursioyhtälön S(n) = 2S(n-1) - S(n-3) toteuttaa muotoa x^n olevat eksponenttifunktiot, kun x toteuttaa yhtälön x^n = 2x^(n-1) - x^(n-3) tai sievennettynä unohtaen triviaaliratkaisu x = 0 on luvun x toteutettava x^3 - 2x^2 1 = 0. Yhtälö toteutuu, kun x = (1-sqrt(5))/2, x = (1 sqrt(5))/2 tai x = 1.

On siis löydetty kolme eksponenttifunktiota, jotka toteuttaa rekursioyhtälön. Luonnollisesti myös näiden lineaarikombinaatiot toteuttavat yhtälön. Kun lineaarikombinaation kertoimet valitaan siten, että S(1) = 1, s(2) = 3 ja S(3) = 6, rekursioyhtälön toteutuminen takaa, että johdettu kaava pätee millä tahansa arvolla n. Siksipä on ratkaistava yhtälöryhmä

a(1-sqrt(5))/2 b(1 sqrt(5))/2 c = 1
a((1-sqrt(5))/2)^2 b((1 sqrt(5))/2)^2 c = 3
a((1-sqrt(5))/2)^3 b((1 sqrt(5))/2)^3 c = 6.

Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan analyyttinen ratkaisu

S(n) = (1-2/sqrt(5))*((1 - sqrt(5))/2)^n (1 2/sqrt(5))*((1 sqrt(5))/2)^n - 2. Ratkaisun oikeellisuudesta on helppo varmistua kopioimalla lauseke ja sijoittamalla siihen eri n:n arvoja.