1/10-4/100 9/1000-16/10000 25/100000-36/1000000 ...
Miten lasketaan summa?
Miten lasketaan summa?
kertoisko joku?
kiitos.
7595
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
kokeile taskulaskinta..
tai tee laskut paperilla.. lavenna eka saman nimisiksi ;D
tarvis vissiin aika pitkän paperin.
Jaettavat lisääntyvät peräkkäisten kokonaislukujen neliöpotensissa ja jakajat kymmenpotenseissa. Sarja suppenee maalaisjärjelläkin ilman muodollista todistusta. Keksi nyt nuo sarjat: siitä se aukeaa.
Mitähän lienen miettinyt jakajien ja jaettavien kanssa. Joka tapauksessa tuosta lyötyy vinkki.
Kyse oli summan tarkasta arvosta, ei summan muodostamisesta. Mutta ei hätää, ongelma on jo ratkaistu.
Summan arvo on 110/729=0.15089163237...
Lasketaan käyttämällä tietoa, että (tässä) sarja voidaan derivoida termeittäin.
Olkoon
A(x)=1/x 1/x^2 1/x^3 ...=Sum_i[1/x^i],
missä Sum_i tarkoittaa summa, jossa i saa arvot 1,2,3,...
Tämä on geometrinen sarja ja suppenee kun x>1 summanaan A(x) = 1/(x-1).
Derivoidaan tämän lausekkeen molemmat muodot
-1/(x-1)^2 = D(A(x)) = Sum_i[-i/x^(i 1)]= -1/x*Sum_i[i/x^i]=-1/x * (1/x 2/x^2 3/x^3 ...)
siis
1/x 2/x^2 3/x^3 ... = x/(x-1)^2.
Derivoidaan tämäkin lauseke molemmin puolin:
Sarjasta tulee
D(Sum_i[i/x^i])=Sum_i[-i^2/x^(i 1)]=-1/x*Sum_i[i^2/x^i]
ja toisen puolen derivaatta on
D(x/(x-1)^2)=(x 1)/(1-x)^3.
Koska nämä ovat siis yhtäsuuret, niin saadaan
Sum_i[i^2/x^i] = x*(x 1)/(x-1)^3.
Tämä pätee kun x>1, erityisesti kun x=10, niin
1/10 4/100 9/1000 16/10000 ...=10*11/9^3=110/729.
Alkuperäisessä olikin vuorotteleva sarja. Tämä saadaan aikaan, kun edellisessä ratkaisussa laitetaan x=-10 ja otetaan summan vastaluku.
Siis oikea vastaus alkuperäiseen on
-(-10)(-9)/(-11)^3=90/1331=0.067618332081...