Voiko kolmannen asteen yhtälöllä olla esimerkiksi vain ja ainoastaan kaksi ratkaisua?
Montako ratkaisua kolmannen asteen yhtälöllä voi olla?
Anonyymi
261007
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 26
Vanhimmat
Voi olla tasan kaksi reaaliratkaisua. Silloin yksi lokaaleista ääriarvoista sijaitsee x-akselilla (ja ääriarvoja on kaksi):
https://www.desmos.com/calculator/5vpfmhwh8l
Eli siis voiko kolmannen asteen potenssiyhtälöllä olla VAIN 2 ratkaisua?
Kyllä / Ei ?
Tämä ei ole kyllä/ei kysymys.
voiko kolmannen asteen potenssi yhtälöllä olla kaksi ratkaisua?
Jollain tietyllä yhtälöllä on tasan n ratkaisua.
Kolmannen asteen potenssiyhtälöllä voi olla kaksi ratkaisua.
Oikein vai väärin?
Mietipä montako ratkaisua on yhtälöllä (x-a)(x-a)(x-b) = 0
Eikös tämä jo käsitelty aiemmin saman nimisessä ketjussa? Miksi ihmeessä taas kyselet?
Ei muista enää. Dementia vaivaa pahasti.
Aika hyvä kysymys sitten kuin kysyt että mikä on PI:n viimeinen desimaali
Pii-kantaisessa lukujärjestelmässä viimeinen piimaali on nolla.
Eikös tuo ole vähän kompa? Yhtälön asteluku kertoo, kuinka monta juurta yhtälöllä on. Näin ollen 3. asteen yhtälöllä on AINA 3 ratkaisua. Kaikki näistä ei välttämättä ole reaalisia - on siis mahdollista, että yhtälöllä on esim. 1 kompleksinen ja 2 reaaliratkaisua, tätäkö haettiin?
Väärin! Ei 3. asteen yhtälöllä voi olla kahta reaalista ratkaisua ja yhtä kompleksista. Yhtälöllä tässätarkoitetaan sellaista jonka kertoimet ovat reaaliset.
Kts. esim. Wikipedia (engl.) : Cubic equation: Nature of the roots.
Tämä nähdään helposti, kun polynomi kirjoitetaan muodossa f(x) = a(x-b)(x-c)(x-d), missä b, cc ja d ovat nollakohdat ja a kolmannen asteen termin kerroin. Siten f(0) = -abcd, ja jos f(0) on reaalinen ja kaksi juurta (esim. c ja d) reaalisia, niin ab on reaalinen.
Jos yksi juurista on aidosti kompleksinen ja kaksi reaalisia, on siis välttämätöntä, että polynomi on kompleksikertoiminen.
Tuo siis on mahdollista kompleksikertoimisille kolmannen asteen polynomeille.
Yleisemmin reaalikertoimiselle polynomille näkee, että jos z on sen juuri, niin myös z:n kompleksikonjugaatti on juuri: Koska p(z) = 0, niin myös p(z):n konjugaatti on 0. Konjugointi menee summaan ja tuloon ja kertoimet eivät muutu, koska ovat reaalisia, joten saadaan, että p(z:n konjugaatti) = 0.
3 ratk
Mutta entäpä tällainen arvoitus: Kun kertoimia muutellaan, niin yleensähän juuret ovat erillisiä. Jos kuitenkin käy niin, että jossain vaiheessa kaksi juurta menee päällekkäin ja sitten eroavat, niin kumpi niistä on kumpi? Siis pisteet A ja B ovat ne juuret ja kun polynomin kertoimia jatkuvasti muutetaan jollain tavalla, niin ainahan pystytään sanomaan että tuossa menee nyt tuo A juuri ja tuossa B juuri, liikahtivat pikkuisen edellisestä olinpaikastaan. Tämä siis silloin kun ne ovat erilliset. Mutta sitten ne romahtavat yhteen. Ja lähtevät siitä taas erilleen. Kuinka sanotaan kumpi on kumpi kun ne eri suuntiin taas lähtevät???
Kumpi ja Kampi tappelivat. Kumpi voitti?
Säilyttävätkö suuntavektorinsa? Eli kun juuri muodostaa polun kun kertoimia varioidaan sileästi ja polun derivaatta voidaan olettaa nollasta eroavaksi kaikkialla.
Merkillistä miten tuota kommentointia riittää! Asia tuli ihan tyydyttävästi selvitetyksi jo toisessa saman nimisessä ketjussa. Ja tässäkin ketjussa jo aiemmin. Mutta kommentointeja vaan syntyy! Virheellisen vastauksen antanut otti selitysavukseen komleksikertoiset polynomit. Kas kun ei saman tien vielä yleisempää lukukuntaa!
P.o.: ...kompleksilukukertoimiset polynomit.
Ei polynomeilla ole mitään ratkaisuja oli kertomet mitä tahansa.
Yhtälöillä voi olla ratkaisuja.
Jos luet tarkasti, sanoin vain, että "otti avukseen kompleksilukukertoimiset polynomit". En puhunut polynomien ratkaisuista mitään. Tosin näiden polynomien avulla sitten voidaan muodostaa yhtälöitä, esim. etsiä niiden nollakohtia.
Taidat olla jo aika epätoivoinen kun puolustukseksesi vääristelet muiden kommentteja!
Taidat olla aika epätoivoinen kun huuhaajuttuja keksit puolustukseksesi.
Aloituksessa todellakin puhuttiin yhtälöstä, ei polynomeista.
Et näy ymmärtävän suomea. Ei maha mittään.
Livahti mieleen vastaus kysymykseen mitä on 0/0 =ääretön tietysti mutta.
Mikä olisi 9-asteisen yhtälön keskimmäisen yhtälön kolmannen objektiivin arvo?