Derivaattasovelluksia

Anonyymi

Suorakulmion muotoisen pelikentän pinta-alaksi halutaan 600 neliömetriä. Pelikenttä reunustetaan asfaltoimalla sivut kahden metrin leveydeltä ja päädyt kolmen metrin leveydeltä. Millä pelikentän mitoilla asfaltoitava alue on pienin?

Näyttää siltä ettei pitäisi olla vaikea, mutta jotakin en nyt tajua.

14

81

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      1. Oletko piirtänyt kuvan?
      2. Oletko merkinnyt jotain kentän mittaa muuttujalla?
      3. Ilmaissut muut mitat tämän avulla, tietoa kentän alasta apuna käyttäen.
      4. Saanut funktion reunuksen alalle valitun muuttujan suhteen jota sitten lähdetään minimoimaan.

    • Anonyymi

      Onko siis jokaisesta päätyrajan pisteestä oltava 3 m päällystettä kentältä ulospäin?

    • Anonyymi

      Valitse kentän pituudeksi 30 m ja leveydeksi 20 m. Asfaltoitava alue on 240 m2 oletaen, ettei nurkkia asfaltoida. Ei merkitystä, sillä nurkat ovat aina 4*2*3 = 24 m2.

      Jos x on kentän pituus, niin leveys on 600/x ja asfaltin pinta-ala on

      A = 2*x*2 2*(600/x)*3.

      Mikä on vaikeaa?

      • Anonyymi

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.


      • Anonyymi

        Hahmottele A(x) kuvaaja. Toteat, että sillä on minimi. Minimin tarkan sijainnin saat selville määrittämällä A:n derivaatan dA/dx ja vaatimalla sen nollaksi.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Hahmottele A(x) kuvaaja. Toteat, että sillä on minimi. Minimin tarkan sijainnin saat selville määrittämällä A:n derivaatan dA/dx ja vaatimalla sen nollaksi.

        Voi käyttää myös AM-GM epäyhtälöä

        4x 3600/x >= 2 * sqrt(4x*3600/x) = 2*120 = 240

        ja yhtäsuuruus saavutetaan kun 4x ja 3600/x yhtäsuuret eli x = 30.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.

        Jos ei osaa derivoida (tai edes muodostaa yhtälöä), niin kyllä ihan maalaisjärjelläkin löytää lähes minimin ihan vaan muutamalla kokeilulla. Aloittaa vaikka lähes neliöstä 25 m x 24 m.

        Ei ole myöskään kiellettyä hakea ensin vastauksen likiarvoa vaikka yhden rivin ohjelmapätkällä ja selvittää käppyrän kulkua ja jatkuvuuksia ja nollakohtien lukumääriä yms. Pituus on suurempi kuin leveys.

        for x in range(25,50): print(x, x*2*2 2*3*600.0/x)

        Aina oppii jotain, jos edes yrittää jotain. Aina voi tarkentaa.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.

        Niin, miten apina voi valita pelikentän mitat, kun niitä kysytään? Sitten vielä lerppahuulet törröllään kyselee, että mikä on vaikeata.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voi käyttää myös AM-GM epäyhtälöä

        4x 3600/x >= 2 * sqrt(4x*3600/x) = 2*120 = 240

        ja yhtäsuuruus saavutetaan kun 4x ja 3600/x yhtäsuuret eli x = 30.

        Ei ole pätevä lasku. Ei AM-GM - epäyhtälössä tuo yhtäsuuruus välttämättä anna pienintä arvoa. Tuon epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on kyllä tuolloin sama arvo, mutta ei se välttämättä ole pienin arvo jonka vasen puoli voi saada.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole pätevä lasku. Ei AM-GM - epäyhtälössä tuo yhtäsuuruus välttämättä anna pienintä arvoa. Tuon epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on kyllä tuolloin sama arvo, mutta ei se välttämättä ole pienin arvo jonka vasen puoli voi saada.

        Kyllähän on, koska epäyhtälö on voimassa kaikilla arvoilla ja jos jollain arvolla on yhtäsuuruus niin tuo arvo on silloin minimikohta.

        Vielä selvemmin:

        f(x) >= 240 kaikilla x>0
        ja
        f(30) = 240.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyllähän on, koska epäyhtälö on voimassa kaikilla arvoilla ja jos jollain arvolla on yhtäsuuruus niin tuo arvo on silloin minimikohta.

        Vielä selvemmin:

        f(x) >= 240 kaikilla x>0
        ja
        f(30) = 240.

        Niinpä. Tuo oikea puolihan ei enää riippunut x:stä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Niinpä. Tuo oikea puolihan ei enää riippunut x:stä.

        Derivoimatta pääsee myös huomaamalla, että yhtälöllä y = 4x 3600/x on ratkaisu ainoastaan, kun yhtälöllä 4x^2 - yx 3600 = 0 on ratkaisu. Toisen asteen ratkaisukaavan perusteella tämä tapahtuu vain, kun y^2-16*3600 >= 0. Pienin mahdollinen positiivinen y on siten sqrt(16*3600) = 240, jolloin oikea mitta saadaan yhtälön 4x^2 - 240x 3600 = 0 ratkaisuna (x = 30).

        Tietysti AM-GM on nopein ratkaisutapa, ja derivaatan sotkeminen tehtävään on tarpeetonta.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Derivoimatta pääsee myös huomaamalla, että yhtälöllä y = 4x 3600/x on ratkaisu ainoastaan, kun yhtälöllä 4x^2 - yx 3600 = 0 on ratkaisu. Toisen asteen ratkaisukaavan perusteella tämä tapahtuu vain, kun y^2-16*3600 >= 0. Pienin mahdollinen positiivinen y on siten sqrt(16*3600) = 240, jolloin oikea mitta saadaan yhtälön 4x^2 - 240x 3600 = 0 ratkaisuna (x = 30).

        Tietysti AM-GM on nopein ratkaisutapa, ja derivaatan sotkeminen tehtävään on tarpeetonta.

        Olettaisin kyllä että tehtävä on annettu opiskelijalle nimenomaan harjoittamaan ääriarvojen löytämistä. Näin ollen tuo derivointi ei suinkaan ole "sotkemista" vaan melkoisen yleispätevä tapa löytää ääriarvoja. Ei sekään tietysti aina toimi.

        Sen sijaaan tuo epäyhtälön käyttö, niin nokkelaa kuin se tässä onkin, on erikoiskikka, joka ei kovin monasti sovellu funktion ääriarvojen löytämiseen.


    • Anonyymi

      Joskus oli sellainen tehtävä että miten shakkilaudalle asetellaan kuningattaria jotka eivät uhkaa toisiaan ne...

      Minä otin heti jo tietokoneen käyttöön ja grafiikkamuistin, piirsin ruudulle niitä kuningattarien tekemiä uhkausviivoja ja nopeasti ylivoimaisesti nopein ratkaisu kun käytin apuvälinettä eli tietokonetta ja niin vielä näytönohjaintakin :D

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ja taas ammuttu kokkolassa

      Kokkolaisilta pitäisi kerätä pois kaikki ampumaset, keittiöveitset ja kaikki mikä vähänkään paukku ja on terävä.
      Kokkola
      30
      3551
    2. Kukka ampu taas Kokkolassa?

      T. olisi hetkeä aiemmin lähtenyt johonkin. Naapuri kai tekijä J.K., ei paljasjalkainen Kokkolalainen, vaan n. 100km pääs
      Kokkola
      9
      1598
    3. Kuinka kauan

      Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?
      Ikävä
      113
      1483
    4. Milli-helenalla ongelmia

      Suomen virkavallan kanssa. Eipä ole ihme kun on etsintäkuullutettu jenkkilässäkin. Vähiin käy oleskelupaikat virottarell
      Kotimaiset julkkisjuorut
      224
      1290
    5. Kun näen sinut

      tulen iloiseksi. Tuskin uskallan katsoa sinua, herätät minussa niin paljon tunteita. En tunne sinua hyvin, mutta jotain
      Ikävä
      34
      903
    6. Helena Koivu on äiti

      Mitä hyötyä on Mikko Koivulla kohdella LASTENSA äitiä huonosti . Vie lapset tutuista ympyröistä pois . Lasten kodista.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      132
      902
    7. Purra saksii taas. Hän on mielipuuhassaan.

      Nyt hän leikkaa hyvinvointialueiltamme kymmeniä miljoonia. Sotea romutetaan tylysti. Terveydenhoitoamme kurjistetaan. ht
      Maailman menoa
      242
      893
    8. Yhdelle miehelle

      Mä kaipaan sua niin paljon. Miksi sä oot tommonen pösilö?
      Ikävä
      60
      879
    9. Ja taas kerran hallinto-oikeus että pieleen meni

      Hallinto-oikeus kumosi kunnanhallituksen päätöksen vuokratalojen pääomituksesta. https://sysmad10.oncloudos.com/cgi/DREQ
      Sysmä
      66
      854
    10. Löydänköhän koskaan

      Sunlaista herkkää tunteellista joka jumaloi mua. Tuskin. Siksi harmittaa että asiat meni näin 🥲
      Ikävä
      98
      829
    Aihe