Derivaattasovelluksia

Anonyymi

Suorakulmion muotoisen pelikentän pinta-alaksi halutaan 600 neliömetriä. Pelikenttä reunustetaan asfaltoimalla sivut kahden metrin leveydeltä ja päädyt kolmen metrin leveydeltä. Millä pelikentän mitoilla asfaltoitava alue on pienin?

Näyttää siltä ettei pitäisi olla vaikea, mutta jotakin en nyt tajua.

14

100

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      1. Oletko piirtänyt kuvan?
      2. Oletko merkinnyt jotain kentän mittaa muuttujalla?
      3. Ilmaissut muut mitat tämän avulla, tietoa kentän alasta apuna käyttäen.
      4. Saanut funktion reunuksen alalle valitun muuttujan suhteen jota sitten lähdetään minimoimaan.

    • Anonyymi

      Onko siis jokaisesta päätyrajan pisteestä oltava 3 m päällystettä kentältä ulospäin?

    • Anonyymi

      Valitse kentän pituudeksi 30 m ja leveydeksi 20 m. Asfaltoitava alue on 240 m2 oletaen, ettei nurkkia asfaltoida. Ei merkitystä, sillä nurkat ovat aina 4*2*3 = 24 m2.

      Jos x on kentän pituus, niin leveys on 600/x ja asfaltin pinta-ala on

      A = 2*x*2 2*(600/x)*3.

      Mikä on vaikeaa?

      • Anonyymi

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.


      • Anonyymi

        Hahmottele A(x) kuvaaja. Toteat, että sillä on minimi. Minimin tarkan sijainnin saat selville määrittämällä A:n derivaatan dA/dx ja vaatimalla sen nollaksi.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Hahmottele A(x) kuvaaja. Toteat, että sillä on minimi. Minimin tarkan sijainnin saat selville määrittämällä A:n derivaatan dA/dx ja vaatimalla sen nollaksi.

        Voi käyttää myös AM-GM epäyhtälöä

        4x 3600/x >= 2 * sqrt(4x*3600/x) = 2*120 = 240

        ja yhtäsuuruus saavutetaan kun 4x ja 3600/x yhtäsuuret eli x = 30.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.

        Jos ei osaa derivoida (tai edes muodostaa yhtälöä), niin kyllä ihan maalaisjärjelläkin löytää lähes minimin ihan vaan muutamalla kokeilulla. Aloittaa vaikka lähes neliöstä 25 m x 24 m.

        Ei ole myöskään kiellettyä hakea ensin vastauksen likiarvoa vaikka yhden rivin ohjelmapätkällä ja selvittää käppyrän kulkua ja jatkuvuuksia ja nollakohtien lukumääriä yms. Pituus on suurempi kuin leveys.

        for x in range(25,50): print(x, x*2*2 2*3*600.0/x)

        Aina oppii jotain, jos edes yrittää jotain. Aina voi tarkentaa.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mitenkähän pallinaama voit valita jotain semmosta, mitä kysytään? Tosiaankin liian vaikeaa tuommoselle.

        Niin, miten apina voi valita pelikentän mitat, kun niitä kysytään? Sitten vielä lerppahuulet törröllään kyselee, että mikä on vaikeata.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voi käyttää myös AM-GM epäyhtälöä

        4x 3600/x >= 2 * sqrt(4x*3600/x) = 2*120 = 240

        ja yhtäsuuruus saavutetaan kun 4x ja 3600/x yhtäsuuret eli x = 30.

        Ei ole pätevä lasku. Ei AM-GM - epäyhtälössä tuo yhtäsuuruus välttämättä anna pienintä arvoa. Tuon epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on kyllä tuolloin sama arvo, mutta ei se välttämättä ole pienin arvo jonka vasen puoli voi saada.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei ole pätevä lasku. Ei AM-GM - epäyhtälössä tuo yhtäsuuruus välttämättä anna pienintä arvoa. Tuon epäyhtälön vasemmalla ja oikealla puolella on kyllä tuolloin sama arvo, mutta ei se välttämättä ole pienin arvo jonka vasen puoli voi saada.

        Kyllähän on, koska epäyhtälö on voimassa kaikilla arvoilla ja jos jollain arvolla on yhtäsuuruus niin tuo arvo on silloin minimikohta.

        Vielä selvemmin:

        f(x) >= 240 kaikilla x>0
        ja
        f(30) = 240.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyllähän on, koska epäyhtälö on voimassa kaikilla arvoilla ja jos jollain arvolla on yhtäsuuruus niin tuo arvo on silloin minimikohta.

        Vielä selvemmin:

        f(x) >= 240 kaikilla x>0
        ja
        f(30) = 240.

        Niinpä. Tuo oikea puolihan ei enää riippunut x:stä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Niinpä. Tuo oikea puolihan ei enää riippunut x:stä.

        Derivoimatta pääsee myös huomaamalla, että yhtälöllä y = 4x 3600/x on ratkaisu ainoastaan, kun yhtälöllä 4x^2 - yx 3600 = 0 on ratkaisu. Toisen asteen ratkaisukaavan perusteella tämä tapahtuu vain, kun y^2-16*3600 >= 0. Pienin mahdollinen positiivinen y on siten sqrt(16*3600) = 240, jolloin oikea mitta saadaan yhtälön 4x^2 - 240x 3600 = 0 ratkaisuna (x = 30).

        Tietysti AM-GM on nopein ratkaisutapa, ja derivaatan sotkeminen tehtävään on tarpeetonta.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Derivoimatta pääsee myös huomaamalla, että yhtälöllä y = 4x 3600/x on ratkaisu ainoastaan, kun yhtälöllä 4x^2 - yx 3600 = 0 on ratkaisu. Toisen asteen ratkaisukaavan perusteella tämä tapahtuu vain, kun y^2-16*3600 >= 0. Pienin mahdollinen positiivinen y on siten sqrt(16*3600) = 240, jolloin oikea mitta saadaan yhtälön 4x^2 - 240x 3600 = 0 ratkaisuna (x = 30).

        Tietysti AM-GM on nopein ratkaisutapa, ja derivaatan sotkeminen tehtävään on tarpeetonta.

        Olettaisin kyllä että tehtävä on annettu opiskelijalle nimenomaan harjoittamaan ääriarvojen löytämistä. Näin ollen tuo derivointi ei suinkaan ole "sotkemista" vaan melkoisen yleispätevä tapa löytää ääriarvoja. Ei sekään tietysti aina toimi.

        Sen sijaaan tuo epäyhtälön käyttö, niin nokkelaa kuin se tässä onkin, on erikoiskikka, joka ei kovin monasti sovellu funktion ääriarvojen löytämiseen.


    • Anonyymi

      Joskus oli sellainen tehtävä että miten shakkilaudalle asetellaan kuningattaria jotka eivät uhkaa toisiaan ne...

      Minä otin heti jo tietokoneen käyttöön ja grafiikkamuistin, piirsin ruudulle niitä kuningattarien tekemiä uhkausviivoja ja nopeasti ylivoimaisesti nopein ratkaisu kun käytin apuvälinettä eli tietokonetta ja niin vielä näytönohjaintakin :D

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Ikävöin sinua kokoyön!

      En halua odottaa, että voisin näyttää sinulle kuinka paljon rakastan sinua. Toivon, että uskot, että olen varsin hullun
      Ikävä
      61
      4458
    2. KALAJOEN UIMAVALVONTA

      https://www.kalajokiseutu.fi/artikkeli/ei-tulisi-mieleenkaan-jattaa-pienta-yksinaan-hiekkasarkkien-valvomattomalla-uimar
      Kalajoki
      156
      3352
    3. Kadonnut poika hukkunut lietteeseen mitä kalajoella nyt on?

      Jätelautta ajautunut merelle ja lapsi uponnut jätelautan alle?
      Kalajoki
      58
      2667
    4. Jos sinä olisit pyrkimässä elämääni takaisin

      Arvelisin sen johtuvan siitä, että olisit taas polttanut jonkun sillan takanasi. Ei taida löytyä enää kyliltä naista, jo
      Tunteet
      49
      2584
    5. Hukkuneet pojat kalajoella pakolaisia?

      Eivät osanneet suomea nimittäin.
      Maailman menoa
      133
      2487
    6. Älä mahdollisesti ota itseesi

      En voinut tietää. Sitäpaitsi.. niin
      Ikävä
      24
      1903
    7. Joku hukkui Hyrynsalmella?

      Oliko mökkiläinen taas?
      Hyrynsalmi
      24
      1721
    8. Ota nainen yhteyttä ja tee Tikusta asiaa?

      Niin sitten minä teen Takusta asiaa.
      Ikävä
      30
      1636
    9. Mitä sinä mietit

      Mies?
      Ikävä
      174
      1590
    10. Metsästysmökki

      Metsästyskortti saapui. Lisäksi metsästysmökki varata!
      Kuhmo
      38
      1293
    Aihe