Tälläisiin kahteen pähkinään kaivataan ohjetta tai vinkkiä.
1) Määritä vakiot a ja b siten että funktio
f(x) = { x-a^2 , kun x ≤ a
{ax^2 b, kun x>a
on kaikkialla jatkuva ja derivoituva.
2) Määritä sellaiset vakioiden a ja b arvot, että funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva koko reaalilukujen joukossa
f(x)= { x^2 b, kun x ≤ a
{ x, , kun x > a
Kiitos kaikille auttajille !!
1) Määritä vakiot a ja b siten että funktio
f(x) = { x-a^2 , kun x ≤ a
{ax^2 b, kun x>a
on kaikkialla jatkuva ja derivoituva.
2) Määritä sellaiset vakioiden a ja b arvot, että funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva koko reaalilukujen joukossa
f(x)= { x^2 b, kun x ≤ a
{ x, , kun x > a
Kiitos kaikille auttajille !!
Vastaukset 9
Vanhimmat
Noiden funktioiden arvot pitää olla tismalleen samat tuossa pisteessä missä toinen alkaa ja toinen loppuu.
Ja kohdassa 2 myös derivaattojen pitää olla samat siinä pisteessä.
Ei minusta täydy.
Eipäs tarvitsekaan. Ihan omissa päissäni luin tehtävänannon väärin, että sen pitäisi olla jatkuvasti derivoituva.
Mutta kyllä niiden tässä täytyy, koska muuten funktio ei ole derivoituva pisteessä x=a.
Kun erotusosamäärässä lähestytään vasemmalta, saadaan ekan palan derivaatta pisteessä a ja kun oikealta, niin saadaan tokan palan derivaatta pisteessä a. Jotta raja-arvo siis olisi olemassa, täytyy näiden olla yhtä suuret.
Derivaatallahan ei voi hyppyepäjatkuvuuksia ikinä ollakaan:
https://math.stackexchange.com/questions/563771/prove-that-if-a-function-f-has-a-jump-at-an-interior-point-of-the-interval-a
Ja tuossa tapauksessa derivaatan mahdollinen epäjatkuvuus olisi hyppyepäjatkuvuus, koska toispuoleiset raja-arvot on olemassa, koska palat ovat jatkuvasti derivoituvia.
Pisteessä x = a täytyy olla a - a^2 = a^3 b
ja 1 = 2 a^2 josta a = /- 1/sqrt(2)
Kun a = 1/sqrt(2) niin b = -1/2^(3/2)- 1/2 1/sqrt(2)
Kun a = - 1/sqrt(2) niin b = 1/2^(3/2) - 1/2 - 1/sqrt(1/2)
Tark. f(1/sqrt(2) = 1/sqrt(2) - 1/2 = 1/2^3/2 - 1/2^/3/2) - 1/2 1/sqrt(2)
f'(1/sqrt(2) ) = 1 = 2* 1/sqrt(2) * 1/sqrt(2)= 1
f(- 1/sqrt(2)) = - 1/sqrt(2) - 1/2 = - 1/sqrt(2) * 1/2 1/2^(3/2) - 1/2 - 1/sqrt(2)
f'(- 1/sqrt(2)) = 1 = - 2 * 1/sqrt(2) *( - 1/sqrt(2))
OK
Pisteessä a täytyy olla a^2 b = a
ja 2 a = 1 joten a =1/2 ja b = 1/2 - 1/4 = 1/4
Tark.
f(1/2) = 1/4 1/4 = 1/2 = 1/2
f'(1/2) = 2* 1/2 = 1 = 1
OK
Jännä miten porukka kirjoittaa pelkän vastauksen tänne. Mikä idea tuossakin aina on.
Jos viittaat tuolla kommenttiin / 09:21 niin et tainnut ymmärtää sitä. Kyllä siinä on nimenomaan laskettu a:n ja b:n arvot molemmissa tehtävissä. Laskut on jopa tarkastettu.