Kappaleen pohja on ympyrä x^2 y^2=4. Jokainen kappaleen
-akselia vastaan kohtisuora tasoleikkaus on tasasivuinen kolmio. Mikä on kappaleen tilavuus?
Tuommoinen tuli vastaan, enkä omin voimin ole keksinyt, kuinka ratkeaa. Ympyrän keskipiste on origo ja säde kaksi, mutta en hahmota, vaikka yritin piirtää kappaletta. Jokin integroitava tilavuuden lauseke tuosta tulee. Ehkä määrätyllä välillä [-2, 2]?
-akselia vastaan kohtisuora tasoleikkaus on tasasivuinen kolmio. Mikä on kappaleen tilavuus?
Tuommoinen tuli vastaan, enkä omin voimin ole keksinyt, kuinka ratkeaa. Ympyrän keskipiste on origo ja säde kaksi, mutta en hahmota, vaikka yritin piirtää kappaletta. Jokin integroitava tilavuuden lauseke tuosta tulee. Ehkä määrätyllä välillä [-2, 2]?
Vastaukset 25
Vanhimmat
Kyse on tasasivuisen kolmion pyörähdyskappaleesta (pyörimisakselina kolmion korkeusjanan suuntainen suora) joten tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus jaettuna kolmella.
Jos kappaleen pohja on ympyrä niin ei siitä tasasivuista kolmiota tehdä millään akselia vastaan kohtisuoralla leikkauksella.
Sen tasasivuisen kolmion kanta on 2*sqrt(R^2-x^2), (R=2)
Sen ala= ½*(kanta^2)*sin60 . Tuo sit integroidaan -2...2
Akseli on fysiikassa ja matematiikassa kuviteltu suora, jonka ympäri kappale pyörähtää tai jonka suhteen kappaleen osat sijaitsevat symmetrisesti. Joten vaikea kuvitella kappaletta, jonka pohja on ympyrä ja akselin kohtisuora leikkaus kolmio.
Kirjoitusvirheestä huolimatta lienee itsestään selvää, mitä aloittaja tarkoitti. Jotta tehtävänannossa olisi mitään järkeä, siinä tarkoitetaan mitä tahansa pohjatason kanssa kohtisuoraa tasoa. Millään muulla tulkinnalla tuollaista kappaletta ei ole olemassakaan.
Jos esimerkiksi matematiikan kokeessa jätät vastaamatta virheelliseen tehtävänantoon, siitä ei rangaista, mutta jos kuitenkin osaat tulkita tehtävän kuten sen pitäisi olla, ja ratkaiset sen oikein, se lasketaan lisäpisteiksi.
Tulkitseminen on tärkeää. Sen tiesivät muinaiset kreikkalaiset jo 2600 vuotta sitten.
Tarkoitit varmastikin oikeaa asiaa, mutta sanavalintasi on väärin. Oikea tulkinta on ”mikä tahansa z-akselin sisältävä taso”. Jos valitset jonkin muun pystysuoran tason, se tuottaa leikkaukseksi paraabelin (tai pisteen tai tyhjän joukon).
Mene osoitteeseen https://sagecell.sagemath.org/ ja kirjoita
show(plot3d(lambda u,v: max(0, sqrt(12-3*u^2)-sqrt(3)*abs(v)), (-2,2), (-2,2), mesh=True))
ja paina Evaluate, niin saat kappaleen kuvan jota voi käännellä.
Minä saan tilavuudeksi 32/sqrt(3) ≈ 18,4752.
Entäpä ala? Minä sain
28π / 3 24/sqrt(3)
≈ 43,1779.
Minä laskin tuon kappaleen pinta-lan seuraavasti. Merkkaan x-akselilla tasasivuisia kolmioita vastaan kohtisuoraa akselia, y-akselilla toista vaaka-akselia ja z-akselilla pystyakselia. Pohja on ympyrä, säde r=2, joten pohjan ala on
pii*r^2 = 4*pii.
Vaipan pinnan lasken tarkastelemalla tasasivuisia "kolmionsiivuja", joiden paksuus on dx. Niiden kahden kyljen yhteispituus on
4*sqrt(r^2-x^2).
Siivujen ulkopinta on viisto x-suuntaan nähden ja tuon viistouden kuvaa derivaatta, joksi tulee
y'(x)= -x/sqrt(r^2-x^2).
Siivujen ulkopinnan ala on nyt
4*sqrt(r^2-x^2)*sqrt(1 y'(x)^2)*dx = 4*r*dx
Tuo kun integroidaan -r -> r, saadaan
8*r^2 = 32
Koko alaksi saadaan siten
32 4*pii = 44,6
Minä laskin parametrisoimalla pinnan graafin f(u,v) = sqrt(12-3u^2) - sqrt(3)|v| kuvaajana, (u,v) origokeskisestä 2-säteisestä ympyrästä. Symmetrian nojalla riittää laskea yksi neljäsosa, jossa rajoitetaan u ja v positiivisiksi.
Osittaisderivaattojen ristitulon pituudeksi sain sqrt((16-u^2)/(4-u^2)). Kun tämä integroidaan u välillä [0, 2] ja v välillä [0, sqrt(4-u^2)], niin, koska integrandi ei riipu v:stä, niin v-integraali tuottaa vain kertoimen sqrt(4-u^2), joka kumoaa nimittäjän, joten integraaliksi jää
int_0^2 sqrt(16-u^2) du.
Tämän voi laskea geometrisesti, koska se on 4-säteisestä ympyrästä sektori (kulma π /2-π /3 = π /6) kolmio, jonka kanta 2 ja korkeus 2sqrt(3).
Siis vastaus on (otetaan edellinen 4 kertaa ja lisätään pohjaympyrän ala)
4π 4*(16π /12 2sqrt(3))
= 28π /3 8sqrt(3)
≈ 43,1779.
Minä puolestani laskin summaamalla tasasivuisten kolmiosiivujen "kylkipintoja". Osoittautui, etteivät niiden pinta-alat riipu kolmion koosta, kunhan dx ilmaisema siivun paksuus on sama, sillä pinnan jyrkkyys kasvaa kun kolmion sivunpituus pienenee. Joten syntyi hyvin yksinkertainen integraali.
Joo, 12*pii minäkin sain helposti
Minä taas laskin viivaintegraalin pohjaympyrän kaarta pitkin funktiosta
z=sqrt(3)*sqrt(4-x^2). Käytin sijoitusta x=2cost ja y=2sint.
Koko alaksi tuli 16*sqrt(3) 4pi
Tuo sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjana. En oikein ymmärrä, miten siitä saadaan pinta-ala.
mielestäni z= sqrt(3)*sqrt(4-x^2) on kolmion korkeusjanojen muodostama käyrä z-x tasossa
Kolme eri laskelmaa pinta-alasta, kolme erilaista tulosta.
Kiitos kaikille auttaneille. Sain vastaukseksi ((32*√(3))/(3)) eli likiarvo 18,5. Mahtaako olla oikein?
Jos tuo joissakin kommenteissa annettu tulkinta on oikea niin eikös tässä ole kyseessä kartio, jonka pohjan säde R on 2 ?
Kartion korkeus h = sqrt((2R)^2 - R^2) = R sqrt(3).
Tilavuus V = 1/3 pii R^2 h = 1/3 pii *4*2 sqrt(3) = 14,51
Pinta-ala ilman pohjaa on pii R *2 R = 2 pii *4 = 25,13
Pojhjan pinta-ala on pii R^2 = 12,57
Ei ole kartio, kartiollahan pystysuorat tasoleikkaukset antavat ellipsi, kun kyseisessä kappaleessa saadaan kolmioita. Kyseessä on harjanteen näköinen muoto, ei siis ole ympyräsymmetrinen pystyakselin suhteen.
Höpö höpö.
Pystysuorat leikkaukset antavat parabeleja, vinot ellipsejä tai hyperbelejä.
Laitoin tuon kappaleen alan laskemisen Tiede-lehden mat&fys ongelmien palstalle, kun täällä siihen on esitetty kolme eri lopputulokseen päätyvää ratkaisua. Siellä on esitetty seuraava ratkaisu:
Vaipan ala 2*∫2√(4-x^2)*√(1 (-x/√(4-x^2))^2)(x:-2—>2)=32
Koko ala on32 4π
Eli sama kuin mun ratkaisuni.
Kokeilen taas pitkästä aikaa tätä kuvanjako-sivellusta. Yritin laskea tuota pinta-alaa pinta-ala alkion avulla, ja kyllä sieltä tuo 32 vaipalle tulee. Sitä en tiedä onko tämä minun laskuni oikein... https://aijaa.com/1rcxnX
aeija
Kun tuo (1/4) kappaleen kuva tuossa on, niin siinähän on yhteen kärkeen, joka on origossa, päättyvä kappale, ja sen tilavuus on 1/3* "vaipan ala" *korkeus.
Eli: A= 3*V/h.
V = tuolla yllä laskettu 8/sqrt3.
h= kohtisuora suoralle z=-sqrt3y 2sqrt3, ja se saadaan kuvasta: sin60=h/2=>h=sqrt3.
A=3*(8/sqrt3)/sqrt3=8