Laske määrätty integraali x: 0->2 lausekkeesta sqrt(1-(1-x)^2).
Neliöjuurilausekkeen integraali
Anonyymi
9
136
Vastaukset
- Anonyymi
(1-x)=sin(t), sijoituksella varmaan menee...
Mutta jos vähän funtsaa ensin sitä lauseketta, niin senhän saa muutettua muotoon: y^2 x^2-2x=0, ja edelleen:
(y-0)^2 (x-1)^2=1 , ja tuo on 1-säteinen puoliympyrä välillä 1...2, ja sen ala on tietysti pi/2.
Sillä sijoitusmenetelmällä pitäisi tuo nyt saada...- Anonyymi
korj. puoliympyrä välillä 0...2
- Anonyymi
Se ei menekään tuolla sijoituksella, tai menee mutta tulee -pi/2, joten sitten kokeilu sijoituksella : x-1=sin(t)...(kokeilen sitä vielä itsekin)
- Anonyymi
Tällä jälkimmäisellä kyllä menee, mutta hankala vähän on...
- Anonyymi
Tuolla sijoituksella uusiksi rajoiksi t:lle, laitoin: alaraja -pi/2......yläraja pi/2
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tuolla sijoituksella uusiksi rajoiksi t:lle, laitoin: alaraja -pi/2......yläraja pi/2
Tuossa ei taida olla kovinkaan suuria ongelmia, jos käyttää sijoitusta (1-x)=cos(u), jolloin integroitavaksi funktioksi tulee : sin^2(u), ja uusiksi rajoiksi : 0=>pi.
Tuossa integroinnissa voi käyttää osittaisintegrointia , tai cos(2u)=cos^2(u)-sin^2(u) kaavaa(helpompi).
(ps. Käytän tuossa muuttujaa u, koska muuttuja t viittaisi origokeskeiseen yksikköympyrään, mutta nythän ei sellaisessa olla.)
- Anonyymi
sin(t) = 1 - x.dx = - cos(t) dt
Int(pii/2,- pii/2) ( - sqrt(1-sin^2(t)) cos(t) dt) = (- pii/2, pii/2) cos^2(t) dt =
Sij(- pii/2, pii/2) (1/2 (sin(x) cos(x) x)) = pii/2- Anonyymi
Näytän nyt vielä miten tuo funktion cos^2(x) integraali saadaan.
Merkitään t = cos(x). dt = - sin(x) dx joten dx = - dt/sin(x) = - dt/sqrt(1-t^2)
Int (cos^2(x) dx) = - Int(t^2/sqrt(1-t^2) dt) = Int(t d(sqrt(1-t^2))dt) =
t sqrt(1-t^2) - Int((sqrt(1-t^2) dt) = cos(x) sin(x) Int(sqrt(1 -cos^2(x)) sin(x)) dx) =
sin(x) cos(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x) Int((1-cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x -Int(cos^2(x))dx) joten
2 Int(cos^2(x) dx) = x sin(x) cos(x) ja
Int(cos^2(x) dx) = 1/2(x sin(x) cos(x) ) = 1/2 (x sin(2x) / 2)
Tässä on käytetty integroimisvakion arvoa C = 0. Määrättyä integraalia laskettaessahan C:llä on sama arvo integroinnin ylä- ja alarajalla joten sen vaikutus häviää määrätyssä integraalissa. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Näytän nyt vielä miten tuo funktion cos^2(x) integraali saadaan.
Merkitään t = cos(x). dt = - sin(x) dx joten dx = - dt/sin(x) = - dt/sqrt(1-t^2)
Int (cos^2(x) dx) = - Int(t^2/sqrt(1-t^2) dt) = Int(t d(sqrt(1-t^2))dt) =
t sqrt(1-t^2) - Int((sqrt(1-t^2) dt) = cos(x) sin(x) Int(sqrt(1 -cos^2(x)) sin(x)) dx) =
sin(x) cos(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x) Int((1-cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x -Int(cos^2(x))dx) joten
2 Int(cos^2(x) dx) = x sin(x) cos(x) ja
Int(cos^2(x) dx) = 1/2(x sin(x) cos(x) ) = 1/2 (x sin(2x) / 2)
Tässä on käytetty integroimisvakion arvoa C = 0. Määrättyä integraalia laskettaessahan C:llä on sama arvo integroinnin ylä- ja alarajalla joten sen vaikutus häviää määrätyssä integraalissa.Laskin tuon turhan monimutkaisesti. Näin se käy:
Int (cos^2(x) dx ) = Int (cos(x) dsin(x)) = cos(x ) sin(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x)
Int((1 - cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x - Int(cos^2(x) dx) joten
Int(cos ^2(x) dx) = 1/2 ( x sin(x) cos(x))
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Rasismia kaikkialla näkevät ovat Suomen tyhmimpiä ihmisiä
ja monillahan kuluu myös mielialalääkkeitä, eli päässä on ongelmia. Mutta he eivät tajua kuinka paljon ja ihan todellis965179Persujen mukaan rasismi on huumoria
Vaan kun koomikko kutsui Halla-ahoa fasistiksi, niin piti haastaa oikeuteen. Mihin se huumorinitaju yhtäkkiä hävisi? ⠀1754882BOIKOTOIN - Ei mitään Suomi.fi postilaatikoita käyttöön
Ainakaan minulle! Vai että pitäisi alkaa siellä käyädä katselemassa tammikuusta 2026 siis periaatteessa päivittäin että2114078- 2163285
Lasse Lehtonen vaatii persuja pyytämään anteeksi aasialaisilta
Persut ova romahduttaneet Suomen maakuvan parissa päivässä negatiiviseksi rasismillaan ja se alkaa vaikuttamaan jo Suome1153118Hallitus on kaadettava ja Orpon on erottava
Mikään muu hallitus ei ole oman elämäni aikana tuhonnut näin paljon tämän maan taloutta ja työllisyyttä sekä suomen main1002961- 1251820
HS 12/25 kysely: persut romahti, demarit raketoi
Kyyti on kylmää persuleirissä, saattaa vetää siellä silmätkin viirulleen. Sen sijaan SDP:n puoluetoimistolla voidaan pok171659Rasismi rapauttaa Suomen mainetta ja hallituksen hiljaisuus pahentaa vahinkoa
Finnairin viesti Japanista on pysäyttävä: suomalaisen politiikan rasismikohut heijastuvat suoraan matkustuspäätöksiin ja1471647- 611359