Laske määrätty integraali x: 0->2 lausekkeesta sqrt(1-(1-x)^2).
Neliöjuurilausekkeen integraali
Anonyymi
9189
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
(1-x)=sin(t), sijoituksella varmaan menee...
Mutta jos vähän funtsaa ensin sitä lauseketta, niin senhän saa muutettua muotoon: y^2 x^2-2x=0, ja edelleen:
(y-0)^2 (x-1)^2=1 , ja tuo on 1-säteinen puoliympyrä välillä 1...2, ja sen ala on tietysti pi/2.
Sillä sijoitusmenetelmällä pitäisi tuo nyt saada...
korj. puoliympyrä välillä 0...2
Se ei menekään tuolla sijoituksella, tai menee mutta tulee -pi/2, joten sitten kokeilu sijoituksella : x-1=sin(t)...(kokeilen sitä vielä itsekin)
Tällä jälkimmäisellä kyllä menee, mutta hankala vähän on...
Tuolla sijoituksella uusiksi rajoiksi t:lle, laitoin: alaraja -pi/2......yläraja pi/2
Tuossa ei taida olla kovinkaan suuria ongelmia, jos käyttää sijoitusta (1-x)=cos(u), jolloin integroitavaksi funktioksi tulee : sin^2(u), ja uusiksi rajoiksi : 0=>pi.
Tuossa integroinnissa voi käyttää osittaisintegrointia , tai cos(2u)=cos^2(u)-sin^2(u) kaavaa(helpompi).
(ps. Käytän tuossa muuttujaa u, koska muuttuja t viittaisi origokeskeiseen yksikköympyrään, mutta nythän ei sellaisessa olla.)
sin(t) = 1 - x.dx = - cos(t) dt
Int(pii/2,- pii/2) ( - sqrt(1-sin^2(t)) cos(t) dt) = (- pii/2, pii/2) cos^2(t) dt =
Sij(- pii/2, pii/2) (1/2 (sin(x) cos(x) x)) = pii/2
Näytän nyt vielä miten tuo funktion cos^2(x) integraali saadaan.
Merkitään t = cos(x). dt = - sin(x) dx joten dx = - dt/sin(x) = - dt/sqrt(1-t^2)
Int (cos^2(x) dx) = - Int(t^2/sqrt(1-t^2) dt) = Int(t d(sqrt(1-t^2))dt) =
t sqrt(1-t^2) - Int((sqrt(1-t^2) dt) = cos(x) sin(x) Int(sqrt(1 -cos^2(x)) sin(x)) dx) =
sin(x) cos(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x) Int((1-cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x -Int(cos^2(x))dx) joten
2 Int(cos^2(x) dx) = x sin(x) cos(x) ja
Int(cos^2(x) dx) = 1/2(x sin(x) cos(x) ) = 1/2 (x sin(2x) / 2)
Tässä on käytetty integroimisvakion arvoa C = 0. Määrättyä integraalia laskettaessahan C:llä on sama arvo integroinnin ylä- ja alarajalla joten sen vaikutus häviää määrätyssä integraalissa.
Laskin tuon turhan monimutkaisesti. Näin se käy:
Int (cos^2(x) dx ) = Int (cos(x) dsin(x)) = cos(x ) sin(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x)
Int((1 - cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x - Int(cos^2(x) dx) joten
Int(cos ^2(x) dx) = 1/2 ( x sin(x) cos(x))