Neliöjuurilausekkeen integraali

Anonyymi

Laske määrätty integraali x: 0->2 lausekkeesta sqrt(1-(1-x)^2).

9

64

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      (1-x)=sin(t), sijoituksella varmaan menee...
      Mutta jos vähän funtsaa ensin sitä lauseketta, niin senhän saa muutettua muotoon: y^2 x^2-2x=0, ja edelleen:
      (y-0)^2 (x-1)^2=1 , ja tuo on 1-säteinen puoliympyrä välillä 1...2, ja sen ala on tietysti pi/2.
      Sillä sijoitusmenetelmällä pitäisi tuo nyt saada...

      • Anonyymi

        korj. puoliympyrä välillä 0...2


    • Anonyymi

      Se ei menekään tuolla sijoituksella, tai menee mutta tulee -pi/2, joten sitten kokeilu sijoituksella : x-1=sin(t)...(kokeilen sitä vielä itsekin)

      • Anonyymi

        Tällä jälkimmäisellä kyllä menee, mutta hankala vähän on...


      • Anonyymi

        Tuolla sijoituksella uusiksi rajoiksi t:lle, laitoin: alaraja -pi/2......yläraja pi/2


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuolla sijoituksella uusiksi rajoiksi t:lle, laitoin: alaraja -pi/2......yläraja pi/2

        Tuossa ei taida olla kovinkaan suuria ongelmia, jos käyttää sijoitusta (1-x)=cos(u), jolloin integroitavaksi funktioksi tulee : sin^2(u), ja uusiksi rajoiksi : 0=>pi.
        Tuossa integroinnissa voi käyttää osittaisintegrointia , tai cos(2u)=cos^2(u)-sin^2(u) kaavaa(helpompi).

        (ps. Käytän tuossa muuttujaa u, koska muuttuja t viittaisi origokeskeiseen yksikköympyrään, mutta nythän ei sellaisessa olla.)


    • Anonyymi

      sin(t) = 1 - x.dx = - cos(t) dt
      Int(pii/2,- pii/2) ( - sqrt(1-sin^2(t)) cos(t) dt) = (- pii/2, pii/2) cos^2(t) dt =
      Sij(- pii/2, pii/2) (1/2 (sin(x) cos(x) x)) = pii/2

      • Anonyymi

        Näytän nyt vielä miten tuo funktion cos^2(x) integraali saadaan.

        Merkitään t = cos(x). dt = - sin(x) dx joten dx = - dt/sin(x) = - dt/sqrt(1-t^2)

        Int (cos^2(x) dx) = - Int(t^2/sqrt(1-t^2) dt) = Int(t d(sqrt(1-t^2))dt) =
        t sqrt(1-t^2) - Int((sqrt(1-t^2) dt) = cos(x) sin(x) Int(sqrt(1 -cos^2(x)) sin(x)) dx) =
        sin(x) cos(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x) Int((1-cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x -Int(cos^2(x))dx) joten
        2 Int(cos^2(x) dx) = x sin(x) cos(x) ja
        Int(cos^2(x) dx) = 1/2(x sin(x) cos(x) ) = 1/2 (x sin(2x) / 2)

        Tässä on käytetty integroimisvakion arvoa C = 0. Määrättyä integraalia laskettaessahan C:llä on sama arvo integroinnin ylä- ja alarajalla joten sen vaikutus häviää määrätyssä integraalissa.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Näytän nyt vielä miten tuo funktion cos^2(x) integraali saadaan.

        Merkitään t = cos(x). dt = - sin(x) dx joten dx = - dt/sin(x) = - dt/sqrt(1-t^2)

        Int (cos^2(x) dx) = - Int(t^2/sqrt(1-t^2) dt) = Int(t d(sqrt(1-t^2))dt) =
        t sqrt(1-t^2) - Int((sqrt(1-t^2) dt) = cos(x) sin(x) Int(sqrt(1 -cos^2(x)) sin(x)) dx) =
        sin(x) cos(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x) Int((1-cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x -Int(cos^2(x))dx) joten
        2 Int(cos^2(x) dx) = x sin(x) cos(x) ja
        Int(cos^2(x) dx) = 1/2(x sin(x) cos(x) ) = 1/2 (x sin(2x) / 2)

        Tässä on käytetty integroimisvakion arvoa C = 0. Määrättyä integraalia laskettaessahan C:llä on sama arvo integroinnin ylä- ja alarajalla joten sen vaikutus häviää määrätyssä integraalissa.

        Laskin tuon turhan monimutkaisesti. Näin se käy:

        Int (cos^2(x) dx ) = Int (cos(x) dsin(x)) = cos(x ) sin(x) Int(sin^2(x) dx) = sin(x) cos(x)
        Int((1 - cos^2(x))dx) = sin(x) cos(x) x - Int(cos^2(x) dx) joten
        Int(cos ^2(x) dx) = 1/2 ( x sin(x) cos(x))


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Monenko kanssa olet harrastanut seksiä

      tänä aikana kun olet kaivattuasi kaipaillut?
      Ikävä
      136
      3752
    2. Melkein lähetin viestin.

      Onneksi tulin järkiini. Mukavaa kesää
      Ikävä
      115
      1474
    3. Timo Soini tyrmää Tynkkysen selitykset Venäjän putinistileiristä

      "Soini toimi ulkoministerinä ja puolueen puheenjohtajana vuonna 2016, jolloin silloinen perussuomalaisten varapuheenjoht
      Maailman menoa
      271
      1340
    4. Sulla on nainen muuten näkyvät viiksikarvat naamassa jotka pitää poistaa

      Kannattaa katsoa peilistä lasien kanssa, ettet saa ihmisiltä ikäviä kommentteja.
      Ikävä
      69
      1289
    5. Kalateltta fiasko

      Onko Tamperelaisyrittäjälle iskenyt ahneus vai mistä johtuu että tänä vuonna ruuat on surkeita aikaisempiin vuosiin verr
      Kuhmo
      18
      1164
    6. Nainen voi rakastaa

      Ujoakin miestä, mutta jos miestä pelottaa näkeminenkin, niin aika vaikeaa on. Semmoista ei varmaan voi rakastaa. Miehelt
      Ikävä
      79
      1101
    7. Ikävöimäsi henkilön ikä

      Minkä ikäinen kaipauksen kohteenne on? Onko tämä vain plus 50 palsta vai kaivataanko kolme-neljäkymppisiä? Oma kohde mie
      Ikävä
      45
      1068
    8. IS Viikonloppu 20.-21.7.2024

      Tällä kertaa Toni Pitkälä esittelee piirrostaitojansa nuorten pimujen, musiikkibändien ja Raamatun Edenin kertomusten ku
      Sanaristikot
      58
      1044
    9. Rakastan sinua

      Olen tiennyt sen pitkään mutta nyt ymmärsin että se ei menekään ohi
      Ikävä
      30
      1036
    10. Liikenne onnettomuus

      Annas kun arvaan -Nuoriso -Ajokortti poikkeusluvalla -Ylinopeus
      Orimattila
      56
      977
    Aihe