Koska kompleksinen eksponenttifunktio on jaksollinen, i^i:llä on äärettömän monta arvoa. ”Pääsarjan” mukainen arvo sille on e^(-pii/2). Myös kaikki muut arvot ovat reaalisia.
0Äänestä
Anonyymi
Jos kertoo keskenään kaksi lukua, joiden itseisarvo on 1, esimerkiksi i*i, niin tulonkin itseisarvo on 1. Jos kertolaskun toistaa i kertaa, niin missä vaiheessa tulon itseisarvo poikkeaa ykkösestä?
0Äänestä
Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos kertoo keskenään kaksi lukua, joiden itseisarvo on 1, esimerkiksi i*i, niin tulonkin itseisarvo on 1. Jos kertolaskun toistaa i kertaa, niin missä vaiheessa tulon itseisarvo poikkeaa ykkösestä?
i ei ole lukumäärä, joten tuo ajatelma ei päde.
Siinä olet oikeassa, että millä tahansa kokonaisluvulla n (jotka siis ovat lukumääriä) luvun i^n itseisarvo on 1.
0Äänestä
Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
i ei ole lukumäärä, joten tuo ajatelma ei päde.
Siinä olet oikeassa, että millä tahansa kokonaisluvulla n (jotka siis ovat lukumääriä) luvun i^n itseisarvo on 1.
Ja myös millä tahansa reaalisella. Iihän on e^(i*(pi/2 k*2pi)), joten i^t reaaliluvulle t on
e^(i*(t*pi/2 t*k*2pi))
Tämä säilyy yksikköympyrällä, koska potenssi säilyy puhtaasti imaginäärisenä. Mutta siitä saattaa tulla moniarvoinen, koska t*k ei välttämättä ole kokonaisluku kaikilla k. Jos t on rationaaliluku, niin tulee vain äärellisen monta eri arvoa (supistetun muodon nimittäjä). Esim t=1/2, niin neliöjuuria on kaksi.
Itseisarvon muutos tulee siis potenssin imaginäärisestä komponentista: Jos laitetaan potenssiin t s*i, niin
e^(-(s*pi/2 s*k*2pi) i*(t*pi/2 t*k*2pi))
Jos nyt s on nollasta poikkeava, niin tällähän on aina äärettömän monta eri arvoa, itseisarvoltaan mielivaltaisen pieniä ja suuria.
/- i on yhtälön x^2 1 = 0 ratkaisu. Voidaan myös sanoa, että i = sqrt(-1). Sarjakehitelmällä voidaan sosittaa, että e^(i fii) = cos(fii) i sin(fii). Näin ollen e^(i pii/2) = i.
0Äänestä
Anonyymi
Jos olisi aikoinaan vain tyydytty siihen, että yhtälöllä x^2 1 = 0 ei ole ratkaisua, niin asia olisi varmaan jäänyt hiertämään. Niinpä oletettiin, että on joku ratkaisu x = i. Tästä seuraa, että i^2 = -1. Päätelmällä on ollut kauaskantoiset vaikutukset matematiikassa ja sitä kautta fysiikassa ja tekniikassa. Kun mukaan otetan vielä toinen kirjain eli e, niin ollan matematiikan ytimessä.
0Äänestä
Anonyymi
Olkoon f(x) = a^x Millä a:n arvolla pätee df(x)/dx = f(x) Vastaus on a = e. Tämän voi helposti itsekin johtaa ratkaisemalla tuon yhtälön diskretoimalla. e:n numeerinen arvo on 2,718281828.....
0Äänestä
Anonyymi
Helppohan se on pelkkää yhtä kirjainta korottaa itsensä potenssiin. Olkoon se vaikka i tai a. Mutta jos vaikka h pitäisi korottaa potenssiin g. On pikkusen vaikeampaa.
Entäpä jos f korotetaan potenssiin s ja tämä vielä korotetaan potenssiin r? Meneekö liian vaikeaksi?
Kuka puhuikaan potenssista? Mulla riittää!
Vastahan tein lyömättömän ennätyksen kakkosen korottamisessa ja tätäkin suuremman potenssikorotuksen.
0Äänestä
Anonyymi
Minä korotan kaikki kirjaimet ja numerot potenssien potensseihin. Suurimmat potenssit lausun minä. Myöskin vaikeimmat. Mulla potenssia riittää.
i potenssiin i on peruskauraa. Helposti lyön lisää löylyä kiukaalle: i^i^i^i^i^i^iiiiii^iii^i!
Tällekin löydän arvon. Eniten tykkään kuiteskin suurista potensseista. Mielettömän suurista. Minä lataan kaikista suurimmat potenssit kehään.
0Äänestä
Anonyymi
i = e^(i pii/2) i ^i = (e^(i pii/2) ^i = e^(i^2 pii/2) = e^(- pii/2) = =,207879576... Tämä on transkendenttiluku.
0Äänestä
Anonyymi
p.o : ...= 0,207879578...
0Äänestä
Anonyymi
Ja tuli vielä sulkumerkkivirhekin. Uudestaan: i ^i = (e^(i pii/2)) ^i=e ^(i ^2 pii/2) = e ^(- pii/2) = 0,207879576...
0Äänestä
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Koska kompleksinen eksponenttifunktio on jaksollinen, i^i:llä on äärettömän monta arvoa. ”Pääsarjan” mukainen arvo sille on e^(-pii/2). Myös kaikki muut arvot ovat reaalisia.
Jos kertoo keskenään kaksi lukua, joiden itseisarvo on 1, esimerkiksi i*i, niin tulonkin itseisarvo on 1.
Jos kertolaskun toistaa i kertaa, niin missä vaiheessa tulon itseisarvo poikkeaa ykkösestä?
i ei ole lukumäärä, joten tuo ajatelma ei päde.
Siinä olet oikeassa, että millä tahansa kokonaisluvulla n (jotka siis ovat lukumääriä) luvun i^n itseisarvo on 1.
Ja myös millä tahansa reaalisella. Iihän on e^(i*(pi/2 k*2pi)), joten i^t reaaliluvulle t on
e^(i*(t*pi/2 t*k*2pi))
Tämä säilyy yksikköympyrällä, koska potenssi säilyy puhtaasti imaginäärisenä. Mutta siitä saattaa tulla moniarvoinen, koska t*k ei välttämättä ole kokonaisluku kaikilla k. Jos t on rationaaliluku, niin tulee vain äärellisen monta eri arvoa (supistetun muodon nimittäjä). Esim t=1/2, niin neliöjuuria on kaksi.
Itseisarvon muutos tulee siis potenssin imaginäärisestä komponentista: Jos laitetaan potenssiin t s*i, niin
e^(-(s*pi/2 s*k*2pi) i*(t*pi/2 t*k*2pi))
Jos nyt s on nollasta poikkeava, niin tällähän on aina äärettömän monta eri arvoa, itseisarvoltaan mielivaltaisen pieniä ja suuria.
Täällä https://www.tekniikkatalous.fi/uutiset/tt/ee4e8287-550e-45ae-9afa-4b4fa5babd12?ref=ampparit:ae87 lisää ihmeellisestä iistä.
/- i on yhtälön x^2 1 = 0 ratkaisu. Voidaan myös sanoa, että i = sqrt(-1). Sarjakehitelmällä voidaan sosittaa, että e^(i fii) = cos(fii) i sin(fii). Näin ollen e^(i pii/2) = i.
Jos olisi aikoinaan vain tyydytty siihen, että yhtälöllä x^2 1 = 0 ei ole ratkaisua, niin asia olisi varmaan jäänyt hiertämään. Niinpä oletettiin, että on joku ratkaisu x = i. Tästä seuraa, että i^2 = -1. Päätelmällä on ollut kauaskantoiset vaikutukset matematiikassa ja sitä kautta fysiikassa ja tekniikassa. Kun mukaan otetan vielä toinen kirjain eli e, niin ollan matematiikan ytimessä.
Olkoon
f(x) = a^x
Millä a:n arvolla pätee
df(x)/dx = f(x)
Vastaus on a = e. Tämän voi helposti itsekin johtaa ratkaisemalla tuon yhtälön diskretoimalla. e:n numeerinen arvo on 2,718281828.....
Helppohan se on pelkkää yhtä kirjainta korottaa itsensä potenssiin. Olkoon se vaikka i tai a. Mutta jos vaikka h pitäisi korottaa potenssiin g. On pikkusen vaikeampaa.
Entäpä jos f korotetaan potenssiin s ja tämä vielä korotetaan potenssiin r? Meneekö liian vaikeaksi?
Kuka puhuikaan potenssista? Mulla riittää!
Vastahan tein lyömättömän ennätyksen kakkosen korottamisessa ja tätäkin suuremman potenssikorotuksen.
Minä korotan kaikki kirjaimet ja numerot potenssien potensseihin. Suurimmat potenssit lausun minä. Myöskin vaikeimmat. Mulla potenssia riittää.
i potenssiin i on peruskauraa. Helposti lyön lisää löylyä kiukaalle: i^i^i^i^i^i^iiiiii^iii^i!
Tällekin löydän arvon. Eniten tykkään kuiteskin suurista potensseista. Mielettömän suurista. Minä lataan kaikista suurimmat potenssit kehään.
i = e^(i pii/2)
i ^i = (e^(i pii/2) ^i = e^(i^2 pii/2) = e^(- pii/2) = =,207879576...
Tämä on transkendenttiluku.
p.o : ...= 0,207879578...
Ja tuli vielä sulkumerkkivirhekin. Uudestaan:
i ^i = (e^(i pii/2)) ^i=e ^(i ^2 pii/2) = e ^(- pii/2) = 0,207879576...