Ii potenssiin ii

Jos kertoo keskenään kaksi lukua, joiden itseisarvo on 1, esimerkiksi i*i, niin tulonkin itseisarvo on 1.
Jos kertolaskun toistaa i kertaa, niin missä vaiheessa tulon itseisarvo poikkeaa ykkösestä?

Anonyymi kirjoitti:

Jos kertoo keskenään kaksi lukua, joiden itseisarvo on 1, esimerkiksi i*i, niin tulonkin itseisarvo on 1.
Jos kertolaskun toistaa i kertaa, niin missä vaiheessa tulon itseisarvo poikkeaa ykkösestä?

Lue lisää

i ei ole lukumäärä, joten tuo ajatelma ei päde.

Siinä olet oikeassa, että millä tahansa kokonaisluvulla n (jotka siis ovat lukumääriä) luvun i^n itseisarvo on 1.

Anonyymi kirjoitti:

i ei ole lukumäärä, joten tuo ajatelma ei päde.

Siinä olet oikeassa, että millä tahansa kokonaisluvulla n (jotka siis ovat lukumääriä) luvun i^n itseisarvo on 1.

Lue lisää

Ja myös millä tahansa reaalisella. Iihän on e^(i*(pi/2 k*2pi)), joten i^t reaaliluvulle t on

e^(i*(t*pi/2 t*k*2pi))

Tämä säilyy yksikköympyrällä, koska potenssi säilyy puhtaasti imaginäärisenä. Mutta siitä saattaa tulla moniarvoinen, koska t*k ei välttämättä ole kokonaisluku kaikilla k. Jos t on rationaaliluku, niin tulee vain äärellisen monta eri arvoa (supistetun muodon nimittäjä). Esim t=1/2, niin neliöjuuria on kaksi.

Itseisarvon muutos tulee siis potenssin imaginäärisestä komponentista: Jos laitetaan potenssiin t s*i, niin

e^(-(s*pi/2 s*k*2pi) i*(t*pi/2 t*k*2pi))

Jos nyt s on nollasta poikkeava, niin tällähän on aina äärettömän monta eri arvoa, itseisarvoltaan mielivaltaisen pieniä ja suuria.

/- i on yhtälön x^2 1 = 0 ratkaisu. Voidaan myös sanoa, että i = sqrt(-1). Sarjakehitelmällä voidaan sosittaa, että e^(i fii) = cos(fii) i sin(fii). Näin ollen e^(i pii/2) = i.

Jos olisi aikoinaan vain tyydytty siihen, että yhtälöllä x^2 1 = 0 ei ole ratkaisua, niin asia olisi varmaan jäänyt hiertämään. Niinpä oletettiin, että on joku ratkaisu x = i. Tästä seuraa, että i^2 = -1. Päätelmällä on ollut kauaskantoiset vaikutukset matematiikassa ja sitä kautta fysiikassa ja tekniikassa. Kun mukaan otetan vielä toinen kirjain eli e, niin ollan matematiikan ytimessä.

Olkoon
f(x) = a^x
Millä a:n arvolla pätee
df(x)/dx = f(x)
Vastaus on a = e. Tämän voi helposti itsekin johtaa ratkaisemalla tuon yhtälön diskretoimalla. e:n numeerinen arvo on 2,718281828.....

Minä korotan kaikki kirjaimet ja numerot potenssien potensseihin. Suurimmat potenssit lausun minä. Myöskin vaikeimmat. Mulla potenssia riittää.

i potenssiin i on peruskauraa. Helposti lyön lisää löylyä kiukaalle: i^i^i^i^i^i^iiiiii^iii^i!

Tällekin löydän arvon. Eniten tykkään kuiteskin suurista potensseista. Mielettömän suurista. Minä lataan kaikista suurimmat potenssit kehään.

p.o : ...= 0,207879578...

Ja tuli vielä sulkumerkkivirhekin. Uudestaan:
i ^i = (e^(i pii/2)) ^i=e ^(i ^2 pii/2) = e ^(- pii/2) = 0,207879576...