Eräässä kirjassani oli väiten, että ei tiedetä, kuinka pieneen neliöön voidaan pakata 11 yksikköneliötä. Sanottiin vain, että paras tunnettu sivun pituus on noin 3,877. Mutta kuinka voidaan todistaa, että 11 yksikköneliötä voidana todella pakata pienimpään mahdolliseen neliöön? Mietin, että ehkäpä tuollaisen todistuksen saisi jotenkin kompaktisuuteen perustuvalla päättelyllä, mutta en osaa topologiaa tarpeeksi löytämään todistusta.
Pienimmän neliön olemassaolo
Anonyymi
5
125
Vastaukset
- Anonyymi
Topologia ei tuossa oikein auta, koska mitat ja muodot eivät ole topologisia ominaisuuksia. (Topologiassa asioita saa venyttää, kutistaa ja väännellä miten haluaa, kunhan ei lisää tai poista reikiä.)
Metriikka ja geometria on siis säilytettävä mukana tuota pohtiessa.
On myös täysin mahdollista, että ei ole olemassa pienintä neliötä, johon voidaan pakata 11 yksikköneliötä, jolloin oikea kysymys onkin, mikä on suurin neliö, johon ei voida pakata 11 yksikköneliötä. Tuo saattaa kuulostaa hiustenhalkomiselta, mutta todistamisen kannalta siinä on merkittävä ero. - Anonyymi
Konfiguraatio syntyy, kun ilmaistaan jokaisen laatikon vasemman alanurkan paikka ja laatikon kierto (verrattuna vaakasuoraan). Eli konfiguratioavaruus on 33 (=2*11 11) ulotteisen euklidisen avaruuden osajoukko. Kierrothan on jo kompaktiin [0, 2pi]:hin rajoitettu ja lisäksi nurkkien sijoitukset voidaan rajoittaa johonkin suureen suljettuun väliin.
Entäpä sitten ne rajoitukset? Jokainen rajoitus, että neliö ei saa mennä toisten kanssa päällekäin (paitsi reunoiltaan) voidaan ilmaista jatkuvan funktion alkukuvana suljetusta joukosta, joten tämä joukko on suljettu ja kun sillä leikataan, niin säilytään suljettuna. Koska rajoitettu oltiin jo valmiiksi, niin lopullinen joukko on edelleen kompakti.
Nyt funktio, jota tässä joukossa tutkitaan, on maksimi suurimmasta lootien x-koordinaattien erotuksesta ja suurimmasta y-koordinaattien erotuksesta. Tämä on jatkuva, joten se saavuttaa miniminsä kompaktissa määrittelyjoukossaan.- Anonyymi
Itse olen pääosin samaa mieltä asiasta kanssasi.
- Anonyymi
Helpoin ehkä nähdä tuo rajoitukset-joukko suljetuksi on todeta että komplementti on avoin: jos sisuksiltaan jossain kohdin päällekkäin meneviä neliöitä liikutetaan hyvin vähän, niin sisukset pysyvät päällekkäin menevinä.
Jos kyseessä olisi ympyrät, niin sittenhän olisi helppo käyttää "suljettuuden näyttöfunktiona" keskipisteiden etäisyyksiä ja vaatia että ne on kaikki suurempia tai yhtä kuin 2. Neliöiden leikkauksen voisi periaatteessa palauttaa janojen leikkaukseen ja käyttää funktiota joka on positiivinen kun janat leikkaavat sisuksiltaan ja 0 kun eivät leikkaa tai leikkaavat vain jomman kumman päätepisteessä. Eli kun ratkaistaan se leikkauspiste, niin saadaan parametri t, jonka ollessa välillä (0, 1), leikkaus tapahtuu janan sisällä. Mutta tässä on se ongelma että entä jos ovet yhdensuuntaiset ja menevät päällekkäin.
- Anonyymi
Hankala laskea mitään, jos ei ensin piirrä erilaisia kuvia:
https://www.semanticscholar.org/paper/Packing-10-or-11-Unit-Squares-in-a-Square-Stromquist/ddcea35f05ff8033f1ff54bbc4e345984d97759f
https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Square_packing_in_a_square
Jos käytössä on vain äärellinen määrä aikaa, kannattanee teettää jossakin konepajassa 11 kpl teräksistä 10 mm:n paksuista mahdollisimman tarkkaan 100 mm:n neliötä ja tarkasti säädettävä tukeva neliömäinen tila niille. Kyllä ne neliöt hakeutuvat optimaaliseen asentoon, kun tilaa pienentää ja vähän tärisyttää. Alkusijoittelun pitää tietysti olla sopiva.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1723580
Tekisi niin mieli laittaa sulle viestiä
En vaan ole varma ollaanko siihen vielä valmiita, vaikka halua löytyykin täältä suunnalta, ja ikävää, ja kaikkea muuta m851598Miksi ihmeessä?
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek261317- 1581242
Pitääkö penkeillä hypätä Martina?
Eivätkö puistonpenkit ole istumista varten.Ei niitä kannata liata hyppäämällä koskaa likaantuvat eikä siellä kukaan niit1941023Erika Vikman diskattiin, tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek https://www.rumba.fi/uut16993- 35981
Kuinka kauan
Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?69903Maikkarin tentti: Orpo jälleen rauhallinen ja erittäin hyvä, myös Purra oli hyvä
Lindtman ja Kaikkonen oli kohtalaisia, sen sijaan punavihreät Koskela ja Virta olivat taas heikkoja. Ja vastustavat jalk95839- 62765