Osaako joku auttaa tämmöisessä tehtävässä?:
n on kokonaisluku. Todista, että luku n^5 10n^4 35n^3 50n^2 24n on jaollinen luvulla 120.
Muissa vastaavissa on laskimen factoria voinut käyttää. Tässä tapauksessa lauseke muuttuu muotoon n∙(n 1)∙(n 2)∙(n 3)∙(n 4), josta ei kyllä muutu yhtään sen viisaammaksi. En saa tuota millään sellaiseen muotoon, että se olisi jaollinen 120:llä.
Tehtävä jaollisuudesta
Anonyymi
16
574
Vastaukset
- Anonyymi
120 = 2*3*4*5. Voit helposti osoittaa, että tuo n∙(n 1)∙(n 2)∙(n 3)∙(n 4) on jaollinen noilla luvuilla (joka toinen jaollinen 2lla, joka kolmas kolmella jne).
- Anonyymi
Luku a on jaollinen luvulla n jos ja vain jos se on jaollinen kaikilla luvun n alkutekijäesityksen p1^k1 * ...* pm^km alkulukupotensseilla pj^kj.
Joten kuten jo on sanottu 120 = 2^3 * 3 * 5, niin riittää osoittaa noilla jaolliseksi. Mutta tosiaan pitää osoittaa kasilla jaolliseksi. Tuosta tulomuodosta sekin seuraa sillä yksi tekijä on neljällä jaollinen ja lisäksi jokin toinen kakkosella, joten yhteensä ainakin kasilla.
Jos tuota tulomuotoa ei huomaa, niin todistus on myös kätevä tehdä modulaari-aritmetiikan avulla. Redusoidaan polynomi mod p^k ja käytetään p=3:lle ja p=5:lle Fermat'n pientä lausetta, jonka mukaan n^p = n (mod p). Katsotaan mitä sitten kasille keksitään, ehkä Eulerin lause, jossa n^phi(q) = 1 (mod q), kun syt(n, q)=1.
MOD 3
n^5 10n^4 35n^3 50n^2 24n
= n^5 n^4 2n^3 2n^2
= n^3 n^2 2n 2n^2
= n(n^2 2)
= n(n^2-1)
Ainoa nollasta eroava neliö mod 3 on 1, joten tämä on aina nolla.
MOD 5
n^5 10n^4 35n^3 50n^2 24n
= n 24n
= 0
MOD 8
n^5 10n^4 35n^3 50n^2 24n
= n^5 2n^4 3n^3 2n^2
= n^2 ( n^3 2n^2 3n 2 )
Tästä nähdään, että jos n on parillinen, niin lauseke on 8:lla jaollinen koska n^2 on neljällä ja toinen tekijä on kakkosella, sillä siinä on parillisia plus n^3 3n, joka kahden parittoman summana on parillinen. Jos taas n on pariton, niin pitää siis osoittaa, että f(n) = n^3 2n^2 3n 2 on kasilla jaollinen. Tehdään tämä vaikka tutkimalla jokainen pariton jäännösluokka mod 8
f(1) = 1 2 3 2 = 8 = 0
f(3) = 27 2*9 9 2 = 3 2 1 2 = 0
f(5) = f(-3) = -27 2 - 3*3 2 = -32 = 0
f(7) = f(-1) = -1 2 - 3 2 = 0
Kaikkihan nämä olisi voinut tehdä vain laskemalla kaikki jäännösluokat läpi, mutta tässä nyt tuli erilaisia metodeja.- Anonyymi
Onnistuu myös ihan vaan supistamalla n:llä viiteen kertaan.
Jos n = 0, lauseke on 0 ja jaollinen 120:llä.
Jos n ei ole nolla, voidaan lausek jakaa n:llä. Saadaan
n^4 10n^3 35n^2 50n 24
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 96:llä. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^3 10n^2 35n 50
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 46:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^2 10n 35
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 11:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n 10
Nyt alkuosan (n) on oltava jaollinen 1:lla. Varmasti on kaikilla n:n arvoilla.
Käytännössä onnistuu ihan päässä laskuna 24 50 35 10 1=120 - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onnistuu myös ihan vaan supistamalla n:llä viiteen kertaan.
Jos n = 0, lauseke on 0 ja jaollinen 120:llä.
Jos n ei ole nolla, voidaan lausek jakaa n:llä. Saadaan
n^4 10n^3 35n^2 50n 24
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 96:llä. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^3 10n^2 35n 50
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 46:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^2 10n 35
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 11:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n 10
Nyt alkuosan (n) on oltava jaollinen 1:lla. Varmasti on kaikilla n:n arvoilla.
Käytännössä onnistuu ihan päässä laskuna 24 50 35 10 1=120En aivan nää kuinka tuo toimii. Eikös siinä pitäisi sanoa, että alkuosan on oltava esim. ensimmäisessä 96 (mod 120). Ja eihän sen välttämättä tarvitse olla sitäkään, nimittäin silloin kun n on jaollinen viidellä, on alkuosa 0 (mod 120).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onnistuu myös ihan vaan supistamalla n:llä viiteen kertaan.
Jos n = 0, lauseke on 0 ja jaollinen 120:llä.
Jos n ei ole nolla, voidaan lausek jakaa n:llä. Saadaan
n^4 10n^3 35n^2 50n 24
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 96:llä. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^3 10n^2 35n 50
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 46:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n^2 10n 35
Nyt alkuosan on oltava jaollinen 11:lla. Jaetaan se n:llä. Saadaan
n 10
Nyt alkuosan (n) on oltava jaollinen 1:lla. Varmasti on kaikilla n:n arvoilla.
Käytännössä onnistuu ihan päässä laskuna 24 50 35 10 1=120Jos n on negatiivinen, tarkasteluun tulee pari kome haaraa lisää.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
En aivan nää kuinka tuo toimii. Eikös siinä pitäisi sanoa, että alkuosan on oltava esim. ensimmäisessä 96 (mod 120). Ja eihän sen välttämättä tarvitse olla sitäkään, nimittäin silloin kun n on jaollinen viidellä, on alkuosa 0 (mod 120).
Olet oikeassa:. Pitää tietysti olla: "alkuosan on oltava esim. ensimmäisessä 96 (mod 120)."
Pitää joskus katsoa Pyhtonilla, missä kaikissa tapauksissa virheellinen todistus toimii ja missä ei toimi.
- Anonyymi
Induktio
- Anonyymi
n∙(n 1)∙(n 2)∙(n 3)∙(n 4), tämä on 120, eli jaollinen 120:llä, kun n=1
Väite: k∙(k 1)∙(k 2)∙(k 3)∙(k 4)=120*m
Arvolla k 1 tulee: 120*m*(k 5)/k, joka on jaollinen 120:llä
- Anonyymi
Binomikerroin B(k,m) = k! / (m! (k-m)!) ja se on kokonaisluku.
Lukusi on siis tuo N = n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) missä n >= 1. Merkitään k = n 4 jolloin N = (k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k = k! / (k-5)! = 5! B(k.5).5! = 120 siis jakaa luvun N.- Anonyymi
Toiseksi vimeisessä lauseessa p.o. :... 5! B(k,5).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Toiseksi vimeisessä lauseessa p.o. :... 5! B(k,5).
Kun jaollisuudesta ouhuttiin niin eipä tulleet heti mieleen negatiiviset kokonaisluvut.
Jos n = jokin luvuista 0, -1,-2,-3,-4 niin N = 0 joten120 l N.
Jos n <= - 5 niin n,n 1,n 2,n 3 ja n 4 ovat negatiivisia ja kun merkitään k=n 4 on k<= - 1.
N = (k-4)(k-3)(k-2)(k-1)k = - (-k 4) (-k 3)(-k 2)(-k 1)(-k). Kun merkitään -k = m, on m>= 1
ja N = -((m 4)(m 3)(m 2)(m 1)m) = - (m 4)!/(m-1)! = - 5!B(m 4,5) ja taas 5! jakaa luvun N.
Esimerkki. n= -11. N = ( -7 - 4)*(-7-3)*(-7-2)*(-7-1)(-7) = - (7 4)(7 3)(7 2)(-7 1)(7) =
- 11*10*9*8*7 = - 11!/6! = - 5! * B(11,5)) joten 5! = 120 jakaa luvun N eli 120 l N
- Anonyymi
120 = 2 * 4 * 3 * 5
Koska lauseke on viiden peräkkäisen kokonaisluvun tulo, on varmaa, että (tasan) yksi tekijöistä on viidellä jaollinen, (ainakin) yksi tekijöistä on kolmella jaollinen, ja (ainakin) kaksi ovat parillisia. Peräkkäisistä parillisista luvuista toinen on myös väkisin jaollinen neljällä.
Tämän mutkikkaampaa todistusta ei tehtävä vaadi. - Anonyymi
Mulla tuli vähän samantapainen jaollisuustehtävä vastaan:
5*3^(2n 1) 5*2^(n 2)= jaollinen luvulla 35.
Ykkösen sijoittamalla tulee 175, jolloin 175/35=5.
Pitäisi siis vielä saada todistettua, että sijoittamalla (k 1) pätee myös. Aika vaikea.- Anonyymi
Koska 35=5*7 ja syt(5, 7)=1, niin riittää osoittaa että lauseke on niillä molemmilla jaollinen. Vitosellahan se on suoraan. Seiskaa varten voidaan 5 ottaa yhteiseksi tekijäksi ja koska se ei vaikuta seiskalla jaollisuuteen, niin pitää osoittaa että 3^(2n 1) 2^(n 2) on 0 mod 7.
3^(2n 1) 2^(n 2)
≡ 3*(3^2)^n 4*2^n
≡ 3*9^n 4*2^n
≡ 3*2^n 4*2^n
≡ 7*2^n
≡ 0
Avainaskelhan tässä on se, että 3^2 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7). - Anonyymi
Ol. 7 l (3^(2n 1) 2^(n 2) ) (7 jakaa tuon sulkeissa olevan luvun)
n -> n 1
3^(2n 3) 2^(n 3) = 3^2*3^(2n 1) 2*2^(n 2) = 7*3^(2n 1) 2*(3^(2n 1) 2^(n 2))
Ja tämhän on jaollinen luvulla 7 induktio-oletuksen mukaan ja koska ensimmäisessä termissä on tekijänä 7. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ol. 7 l (3^(2n 1) 2^(n 2) ) (7 jakaa tuon sulkeissa olevan luvun)
n -> n 1
3^(2n 3) 2^(n 3) = 3^2*3^(2n 1) 2*2^(n 2) = 7*3^(2n 1) 2*(3^(2n 1) 2^(n 2))
Ja tämhän on jaollinen luvulla 7 induktio-oletuksen mukaan ja koska ensimmäisessä termissä on tekijänä 7.No, olisi pitänyt mainita induktiotodistuksen alussa että lause pätee arvolla n=1.Mutta senhän olit jo todennut.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Suomen kansa haluaa Antti Lindtmanista pääministerin
Lindtman on miltei tuplasti suositumpi kuin etunimikaimansa Kaikkonen. Näin kertoo porvarimedian teettämä kysely. http2604596Vain 21% kannattaa Lindtmania pääministeriksi
se on selvästi vähemmän kuin puolueen kannatus, mites nyt noin?1323003Miten löydän sinut
Ja saan sanottua kaiken mitä haluan sinulle kertoa? Ja kuinka kuuntelisit minua sen hetken? Kuinka voin ilmaista sen mit422770Yöllinen autolla kaahari Heinolan seudulla
Asukkaita häiriköivän nuoren herran autokaahaus keskustelu poistettu, onko jokin hyvävelijärjestelmä käytössä ?751749Vaikea tilanne
Hieman kolkuttaa omatuntoa, kun on osoittanut kiinnostusta väärää naista kohtaan. En ymmärrä miten toinen on voinut te1061604Jouluksi miettimistä: kuka tai mikä valmistaa rahan?
Nyt kun on ollut vääntöä rahasta ja eritoten sen vähyydestä, niin olisi syytä uida rahan alkulähteille, eli mistä se syn281493- 551334
- 931245
- 471119
Julkinen sektori on elänyt aivan liian leveästi yli varojensa!
Viimeisen 15 vuoden aikana julkisen puolen palkat ovat nousseet n. 40%, kun taas yksitysellä sektorilla vain n. 20%. En2081116