Tajusin tänään äärettömän paradoksin

...joten matka on lyhempi.

Matka nollasta ykköseen on siis pisin, se on käytännössä ääretön. Muut matkat ovat tästä vain osa.

"Luku yksi on suurin luku,"

Yhden ja nollan välinen matka reaalilukuna eli erotuksen itseisarvo on yksi. Samoin yhden ja kahden. Ja kolmen ja kahden. Jne.

Reaalilukujen määrä jokaisella näistä ja millä tahansa reaalilukujen välillä on kylläkin ääretön, mutta se ei ole näiden lukujen etäisyys.

Hekkone, määritellään funktio että f(n) = 1/(n 1), niin tässä on ilmeisesti se mitä kuvailit. Joo-o, f on aidosti vähenevä funktio joka saa suurimman arvonsa arvolla 1.
Mikäs olikaan se mitä halusit tästä sanoa

Olet ymmärtänyt numerot väärin. Jokainen numero on oma yksittäinen määrä tai arvo. Numeroiden välisillä matemaattisilla suhteilla ei ole merkitystä käytännössä, eikä niiden avulla voi käydä "minuutissa äärettömän hotellin huoneissa". Mutta sinänsä mielenkiintoista matemaattista kikkailua, vaikka jääkin vain verbaaliselle tasolle.

"Jos laitamme numerot 1,2 3 ... peräkkäin, niin ykkösestä kakkoseen on matkaa vain pollet ja kakkosesta kolmoseen vain yksi kolmasosa."

Hienoa, olet alkanut ymmärtää jakolaskun perusteita! Jatka samaan tahtiin.
Tsempiä!

Vitsialoitushan tämä selvästi on, mutta pureksitaanpa silti tuota ehdotusta hieman. Päästäänkö sillä tosiaan eroon äärettömyydestä?

Aloittajan "ongelma" siis on ilmeisesti, että kun kokonaisluvut ovat luontevasti aina samalla etäisyydellä seuraavasta ja edellisestä, niin "viimeinen" luku olisi näinollen äärettömän kaukana. (Ei nyt takerruta siihen pikkuseikkaan, ettei tuollaista "viimeistä" lukua oikeasti ole.)

Ja ehdotus "ongelman" "ratkaisuksi" olisi siis, että lukujonon häntäpäätä tiivistettäisiin, niin että ykkönen (ja nolla?) pysyvät siellä missä ovatkin, mutta loput numerot ovat aina vain lähempänä toisiaan:
kakkonen on kahdesosan (eli puolikkaan) päässä ykkösestä, kolmonen on kolmasosan päässä kakkosesta, nelonen neljäsosan päässä kolmosesta, ja niin edelleen.

Tuosta voidaan näppärästi summakaavalla laskea, että luvun n sijainti olisi siis 1 1/2 1/3 ... 1/n, mikä on paljon lähempänä nollaa kuin luvun n perinteinen sijainti (n). Mahtavaa!
Kun luvut tungetaan näin tiiviisti yhteen, ne varmastikin mahtuvat äärelliseen tilaan, eikös? Mihin siis tuo mystinen "viimeinen" luku osuu? Tai siis järkevämmin kysyttynä, mihin tuo lukujono 1 1/2 1/3 ... suppenee?

Ja vastaushan on: ei se suppene. Äärettömyyteen joudutaan silti. Tuo on harmoninen sarja, jonka summa on ääretön. "Viimeinen" luku päätyy edelleen äärettömän kauas nollasta, vaikka jokainen äärellinen luku saikin uuden paikan huomattavasti lähempää nollaa. Tämä "nerokas" idea ei siis sittenkään ratkaissut aloittajan "vakavaa" ongelmaa.

Jotain hämärää tulee mieleen kompleksiluvuista 1/(1-z) ja 1/(z-1), joilla molemmilla on ääretön kohta arvolla z=1 j0. Sisäpuoli kuvautuu ulkopuoleksi yksikköympyrässä?

Ainakin ketjun idioottien lukumäärä on suuri joskaan ei liene ääretön.