Kolme pariskuntaa tapaa illanistujaisissa, ja asettuu satunnaisesti kolmionmuotoisen
pöydän ympärille siten, että kullakin sivulla on kaksi tuolia. Millä todennäköisyydellä vähintään yksi pariskunta istuu vierekkäin samalla sivulla?
pöydän ympärille siten, että kullakin sivulla on kaksi tuolia. Millä todennäköisyydellä vähintään yksi pariskunta istuu vierekkäin samalla sivulla?
Vastaukset 36
Vanhimmat
Parit samalla sivulla. 1. AB. 2. AC 3. AA. 4.. BC. Tuon mukaan 1/4 eli 25%. Olisiko se noin helppo?
Ei ihan noin helppo, on todennäköisempää, vaikken suoraan numeerista vastausta annakaan.. Olkoon henkilöt A A B b C c ja ensimmäinen istuja A. Jotta hän pariutuisi, toisen istujan olisi oltava a. Jos näin ei käy, olkoon A:n vierustoveri siis vaikka B, tähän on lisättävä todennäköisyys, että jäljelläolevista abCc pari Cc tai cC asettuu samalla sivulle kahdesta vapaasta sivusta. Istukoon näistä ensimmäisenä C, jolloin kolmesta jäljelläolievasta yksi käy pariksi.
Helpompi laskea ensin, ettei yksikään pari istu samalla sivulla. Jos numeroidaan paikat myötäpäivään 1...6 niin, että 1 ja 2 jne ovat samalla sivulla, ykköspaikalle voidaan valita kuka tahansa, vaikkapa A, sen tn = 1. Kakkospaikalle voidaan valita neljä viidestä (muut paitsi a), eli tn = 4/5. Nyt jäljellä on yksi pari ja kaksi parin puoliskoa (esim a,b,C,c). Jo kolmospaikalle valitaan toinen parista (C tai c), täytyy nelospaikalle valita toinen jäljelläolevasta parin puoliskosta (a tai b) eli tn = 2/3. Jos kolmospaikalle valitaan toinen parin puoliskosta (a tai b), pitää nelospaikalle valita toinen parista (C tai c), ja molemmissa tapauksissa siis tn = 2/3. Viitos- ja kuutospaikalle tulee sitten automaattisesti parittomat. Kokonaistn = (4/5)*(2/3) = 8/15 ja kysytty tn = 1 - 8/15 = 7/15.
Tämä ei mennyt nyt jakeluun? Mikä on tämän teorian vastaus? Omassa vastaukseksessani perustelu on se ettei samalla ”parilla” ole kuin yksi kohtaaminen. Muutoinhan tuo toinen teoria oli hyvin samankaltainen vaikka vastaus jäi auki minulle!
"Tämä ei mennyt nyt jakeluun? Mikä on tämän teorian vastaus? Omassa vastaukseksessani perustelu on se ettei samalla ”parilla” ole kuin yksi kohtaaminen."
Erehdyt kahdessa asiassa: 1) Kun A on istunut, jäljellä on viisi henkilöä hänen parikseen. Oletat että toinen A istuu viereen 25%:n todennäköisyydellä ja muut 18,75 %:n todennäköisyydellä.
2) Jos 1. sivulle ei tule paria, se voi tulla toiselle tai kolmannelle sivulle.
Kombinatoriikalla seuraavasti. Otetaan esnin yksi sivu pöydästä. Siihen voidaan valita kaksi istujaa C(6,2) = 15 eri tavalla. Niistä kolme on pariskuntia, siis tn = 3/15, että tälle sivulle tulee pariskunta. Sitten tn= 12/15, että tulla yhdellä sivulla ei ole pariskuntaa. Jäljelle jääville kahdelle sivulle voidaan muut neljä sijoittaa C(4,2) = 6 eri tavalla. Kun jäljelle jäävissä on yksi pari ja kaksi paritonta, on kaksi tapausta, joissa pari on samalla sivulla. Siten kokonaistn = 3/15 (12/15)*(2/6) = 7/15.
Eli miten päädyit tähän: "kokonaistn = 3/15 (12/15)*(2/6) = 7/15."
Plusmerkki jäänyt pois: 3/15 (12/15)*(2/6) = 7/15. Päättely on selostettu edellä. Lyhyesti: ensin lasketaan todennäköisyys, että yhdellä sivulla on pari, muilla sivuilla voi olla pari tai olla olematta. Sitten todennäköisyys, että tuolla yhdellä sivulla ei ole paria kertaa todennäköisyys, että pari on jommalla kummalla kahdella muulla sivulla (molemmilla ei voi olla, koska vain yksi pari on jäljellä).
Ei se vieläkään tulostunut; siis 3/15 jälkeen pitää olla .
Tuossahan pitäisi olla todennäköisyyksien tulo eikä jotain summaa.
Kun tehdään peräkkäisiä valintoja tn ei summaudu vaan syntyy tuloja.
Siis väärin meni.
Yleisesti n sivuiselle pöydälle ja n:lle pariskunnalle saadaan inkluusio-eksluusion avulla kaava
1 / (2n)! * sum_{r=1}^n (-1)^(r 1) * binomial(n, r)^2 * r! * 2^r * (2(n-r))!
Wolfram Alpha osaa kertoa tälle myös muodon
1 - 1F1(-n; 1/2-n; -1/2)
missä 1F1 on Kummerin konfluentti hypergeometrinen funktio.
https://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind.html
Lisäksi tuolta löytyvällä kaavalla saadaan yksinkertaisempi(?) muoto
1 - e^(-1/2) * 1F1(1/2; 1/2-n; 1/2)
Mitenkäs tämä käyttäytyy kun n kasvaa rajatta? WA:kaan ei osannut kertoa.
Supistuuko 1/(2n)!... alkuisesen kaavan nimittäjästä aina kaikki kakkoset pois?
Muilla tavoin laskettuna supistusten jälkeen yläkertaan näyttäsi aina jäävän joku isohko kahden potenssi.
Joo, tosiaan. Mielenkiintoista että vastauksen rationaalilukuun ei näytä jäävän kakkosta ei osoittajaan eikä nimittäjään.
Jos jakajan (2n)! vie sisälle ja muokkaa summan termiä, niin saadaan summan sisälle esim. muoto
(-1)^(r 1) * (nCr)^2 * (2r)!! / (2n)P(2r)
missä !! = tupla-faktoriaali eli (2r)!! = 2r * (2r-2) * ... * 2
ja C = bin. kerroin, P = putoava faktoriaali.
Mutta en tiedä onko tuo sen selvempi.
Hypoteesi siis olisi että alkuperäisen summan (ilman jakajaa) 2-valuaatio on tismalleen sama kuin luvun (2n)! eli paljonkos siitä nyt kakkosta tulee...
Vastaus riippuu kysymyksestä. Jos lasketaan todennäköisyyttä, ettei ole yhtään pariskuntaa, niin vastaukseen jää kakkosia. Esim. 8/15, tai 4/7 (4 sivua).
Ilman kaavaa tyhmillä tavoilla laskettuna laskuajan saa murto-osaan, kun hyödyntää erilaisia symmetrioita. Onnistuu käytännössä tietysti vain pienillä n:n arvoilla.
Sain osoitettua että jokaisen summan (jossa (2n)! viety sisään) termin nimittäjä on pariton. Silloinhan myös koko summan nimittäjä on sitä. Käytin todistuksessa Legendren kaavaa: https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre's_formula . Liittyvä kaava on myös Kummerin kaava: https://en.wikipedia.org/wiki/Kummer's_theorem ja tässähän esiintyi myös Kummerin hyp.geom funktio, joten liekkö Kummer jotain tällaista juuri tutkinut.
Edellisessä todistuksessa itse asiassa nähdään, että k. termin valuaatio on binomikertoimen nCk valuaatio, joten jos n. termi on ainoa, jonka valuaatio on nolla (parillisilla n käy näin), niin silloin nähdään että myös lopullisen summan osoittaja on pariton. Hetkonen, binomikertoimien symmetriastahan se tulee että ne kaksi symmetrista summautuu parilliseksi ja ainoa termi on k=n, joka tekee parittomuuden, koska k=0 ei ole sen parina. Katsotaanpa jos saisi tästä ideasta kirjoiteltua todistuksen...
Ai niin, eihän nCk olekaan aina parillinen vaikka n parillinen ja k ei 0 tai n, esim 12C4 = 495. Mutta parilliselle n=2m voi jättää termin (2m)Cm pois sillä se on valuaatioltaan positiivinen. Ja sitten loput pariutuvat parillisiksi paitsi k=n, joka tekee parittomuuden.
Puhtaaksikirjoitin nyt joutessani tuon todistuksen. Mihinköhän voisi nettiin Latexin laittaa? Tässä kuitenkin kuvana: https://aijaa.com/unmj2c
Kyse on yksinkertaisesta kolmen pelaajan ja kuuden kortin korttipelistä. Helppo laskea paperilla tai tulostaa tietokoneella vaikka ihan kaikki mahdollisuudet määrillä painotettuina.
Kortit ovat 1, 1, 2, 2, 3, 3.
Lasketaan tn, ettei kukaan saa yhtään paria:
Symmetrian vuoksi riittää tarkastella tilannetta, jossa ensimmäinen pelaaja saa ensin 1-kortin ja sitten joko 2- tai 3-kortin. Tn = 4/5.
Ja taas symmetrian vuoksi riittä tarkastela tilannetta, jossa ensimmäinen pelaaja sai kortit 1 ja 2.
Tällöin kaksi muuta pelaajaa voi saada (painotettuina todennäköisyyksinä) kortit:
(1,2) ja (3,3): pari
(1,3) ja (2,3)
(1,3) ja (2,3)
(2,3) ja (1,3)
(2,3) ja (1,3)
(3,3) ja (1,2): pari
Ei paria jälkimmäisillä pelajilla tn = 4/6 = 2/3.
Kysytty tn = 1-(4/5)*(2/3) = 7/15
Jos pelaajia on 100000 (200000 korttia), niin yksinkertaisella simuloinnilla tn pienenee ainakin 0,393:ksi.
Vaikka pelaajia on miljoona, niin tuo luku ei enää näyttäisi pienenevän.
Haa, tuolla yllä termi 1F1(1/2; 1/2-n; 1/2) näyttäisi menevän ykköseen joten vastaus olisi
1 - e^(-1/2) = 0,39346934...
Hyvä tietää. Tuo tarkkuus olisi vaatinut usemman viikon simuloinnin usealla eri ytimellä ja keskiarvon laskemisen taskulaskimella eikä vain päässälaskuna.
Tavallisella 52 kortin pakalla voi pelata pasianssia, jossa otetaan pakan päältä aina kaksi korttia. Jos saa parin ja molemmat kortit ovat samaa väriä, niin voittaa ja peli päättyy.
Jos pelaa sata kertaa, voittoja tulee keskimäärin 40 ja häviöitä 60. Kokeilkaa! Voitatte varmasti joskus.
Laske vielä millä n:n arvolla vastaus on kaikkein pienin.
Vastaus on paljon alle 0,35. Helpottaako yhtään?
Kakkosella tulee pienin (1/3) ja kun n kasvaa, niin lähestytään tuota 1-e^(-0.5) = 0.393:sta (sain tuon muuten todistettua: https://aijaa.com/bUTsea). Kai siihen voisi jonkun approksimaation vielä tehdä että varmasti näkee ettei 1/3:n alle enää painuta. Vai onkos tuossa jopa niin, että etäisyys raja-arvoon pienenee koko ajan..?
Tuosta todistuksesta: muokkautuihan se summan termi mukavampaan muotoon, josta Kummerin funktiokin on nähtävissä. Mutta huom: Kummerin 1F1:n määrittelyssä käytetty Pochammerin symboli (n)_k on NOUSEVA kertoma n(n 1)...(n k-1), kun taas yleensä näkee käytettävän, niin kuin minäkin käytin, (n)_k:ta merkitsemään laskevaa kertomaa n(n-1)...(n-k 1). Raja-arvon laskua varten voi kuitenkin suoraan käyttää Dominoitua konvergenssiä eikä Kummerin funktiota tarvitse edes huomata.
PS. Tulos 1/sqrt(e) pariskuntien vierekkäin istumattomuuden todennäköisyydelle on siitäkin mielenkiintoinen, että jos meillä olisi kaksi riippumatonta pöytää (kummallakin omat pariskuntansa), niin tn että kummassakaan ei tule pareja vierekkäin olisi rajaltaan 1/e, joka tunnetusti on kiintopisteettömän permutaation raja-arvo. Onko tämä jotenkin intuitiivisesti nähtävissä suoraan? Äärelliselle n ei päde, että pöytä-tn:n neliö olisi derangementin tn, vaan vain raja-arvona.
Jahas, linkkiin tuli sulku mukaan, laitetaan nyt vielä uudestaan: https://aijaa.com/bUTsea
Riippuu pitkälti lelujen materiaaleista.
1. (6*(4! / (2! 2!)) / ((6! / (2! 2! 2!)) = 2/5
2. (3*6*2*4*2) / 6! = 2/5
Numeroidaan henkilöt (kortit) 1,2,3,4,5,6. Pareja ovat (1,2) tai (2,1) , (3,4) tai (4,3) ja (5,6) tai (6,5). Tulostetaan mekaanisesti kaikki 120 (5*4*3*2*1) vaihtoehtoa, joissa 1 on ensimmäisenä. Parit ovat laidoissa tai keskellä.
[1, 2, 3, 4, 5, 6] 1
[1, 2, 3, 4, 6, 5] 2
[1, 2, 3, 5, 4, 6] 3
[1, 2, 3, 5, 6, 4] 4
[1, 2, 3, 6, 4, 5] 5
[1, 2, 3, 6, 5, 4] 6
[1, 2, 4, 3, 5, 6] 7
[1, 2, 4, 3, 6, 5] 8
[1, 2, 4, 5, 3, 6] 9
[1, 2, 4, 5, 6, 3] 10
[1, 2, 4, 6, 3, 5] 11
[1, 2, 4, 6, 5, 3] 12
[1, 2, 5, 3, 4, 6] 13
[1, 2, 5, 3, 6, 4] 14
[1, 2, 5, 4, 3, 6] 15
[1, 2, 5, 4, 6, 3] 16
[1, 2, 5, 6, 3, 4] 17
[1, 2, 5, 6, 4, 3] 18
[1, 2, 6, 3, 4, 5] 19
[1, 2, 6, 3, 5, 4] 20
[1, 2, 6, 4, 3, 5] 21
[1, 2, 6, 4, 5, 3] 22
[1, 2, 6, 5, 3, 4] 23
[1, 2, 6, 5, 4, 3] 24
[1, 3, 2, 4, 5, 6] 25
[1, 3, 2, 4, 6, 5] 26
[1, 3, 2, 5, 4, 6] 27
[1, 3, 2, 5, 6, 4] 28
[1, 3, 2, 6, 4, 5] 29
[1, 3, 2, 6, 5, 4] 30
[1, 3, 4, 2, 5, 6] 31
[1, 3, 4, 2, 6, 5] 32
[1, 3, 4, 5, 2, 6] 33
[1, 3, 4, 5, 6, 2] 34
[1, 3, 4, 6, 2, 5] 35
[1, 3, 4, 6, 5, 2] 36
[1, 3, 5, 2, 4, 6] 37
[1, 3, 5, 2, 6, 4] 38
[1, 3, 5, 4, 2, 6] 39
[1, 3, 5, 4, 6, 2] 40
[1, 3, 5, 6, 2, 4] 41
[1, 3, 5, 6, 4, 2] 42
[1, 3, 6, 2, 4, 5] 43
[1, 3, 6, 2, 5, 4] 44
[1, 3, 6, 4, 2, 5] 45
[1, 3, 6, 4, 5, 2] 46
[1, 3, 6, 5, 2, 4] 47
[1, 3, 6, 5, 4, 2] 48
[1, 4, 2, 3, 5, 6] 49
[1, 4, 2, 3, 6, 5] 50
[1, 4, 2, 5, 3, 6] 51
[1, 4, 2, 5, 6, 3] 52
[1, 4, 2, 6, 3, 5] 53
[1, 4, 2, 6, 5, 3] 54
[1, 4, 3, 2, 5, 6] 55
[1, 4, 3, 2, 6, 5] 56
[1, 4, 3, 5, 2, 6] 57
[1, 4, 3, 5, 6, 2] 58
[1, 4, 3, 6, 2, 5] 59
[1, 4, 3, 6, 5, 2] 60
[1, 4, 5, 2, 3, 6] 61
[1, 4, 5, 2, 6, 3] 62
[1, 4, 5, 3, 2, 6] 63
[1, 4, 5, 3, 6, 2] 64
[1, 4, 5, 6, 2, 3] 65
[1, 4, 5, 6, 3, 2] 66
[1, 4, 6, 2, 3, 5] 67
[1, 4, 6, 2, 5, 3] 68
[1, 4, 6, 3, 2, 5] 69
[1, 4, 6, 3, 5, 2] 70
[1, 4, 6, 5, 2, 3] 71
[1, 4, 6, 5, 3, 2] 72
[1, 5, 2, 3, 4, 6] 73
[1, 5, 2, 3, 6, 4] 74
[1, 5, 2, 4, 3, 6] 75
[1, 5, 2, 4, 6, 3] 76
[1, 5, 2, 6, 3, 4] 77
[1, 5, 2, 6, 4, 3] 78
[1, 5, 3, 2, 4, 6] 79
[1, 5, 3, 2, 6, 4] 80
[1, 5, 3, 4, 2, 6] 81
[1, 5, 3, 4, 6, 2] 82
[1, 5, 3, 6, 2, 4] 83
[1, 5, 3, 6, 4, 2] 84
[1, 5, 4, 2, 3, 6] 85
[1, 5, 4, 2, 6, 3] 86
[1, 5, 4, 3, 2, 6] 87
[1, 5, 4, 3, 6, 2] 88
[1, 5, 4, 6, 2, 3] 89
[1, 5, 4, 6, 3, 2] 90
[1, 5, 6, 2, 3, 4] 91
[1, 5, 6, 2, 4, 3] 92
[1, 5, 6, 3, 2, 4] 93
[1, 5, 6, 3, 4, 2] 94
[1, 5, 6, 4, 2, 3] 95
[1, 5, 6, 4, 3, 2] 96
[1, 6, 2, 3, 4, 5] 97
[1, 6, 2, 3, 5, 4] 98
[1, 6, 2, 4, 3, 5] 99
[1, 6, 2, 4, 5, 3] 100
[1, 6, 2, 5, 3, 4] 101
[1, 6, 2, 5, 4, 3] 102
[1, 6, 3, 2, 4, 5] 103
[1, 6, 3, 2, 5, 4] 104
[1, 6, 3, 4, 2, 5] 105
[1, 6, 3, 4, 5, 2] 106
[1, 6, 3, 5, 2, 4] 107
[1, 6, 3, 5, 4, 2] 108
[1, 6, 4, 2, 3, 5] 109
[1, 6, 4, 2, 5, 3] 110
[1, 6, 4, 3, 2, 5] 111
[1, 6, 4, 3, 5, 2] 112
[1, 6, 4, 5, 2, 3] 113
[1, 6, 4, 5, 3, 2] 114
[1, 6, 5, 2, 3, 4] 115
[1, 6, 5, 2, 4, 3] 116
[1, 6, 5, 3, 2, 4] 117
[1, 6, 5, 3, 4, 2] 118
[1, 6, 5, 4, 2, 3] 119
[1, 6, 5, 4, 3, 2] 120
(1,2) alkusia on 24. Niissä kaikissa 24:ssä on vähintään yksi pari(skunta).
(1,3) alkuisia on 24. Niistä 8:ssa on on pari.
(1,4) alkuisia on 24. Niistä 8:ssa on on pari.
(1,5) alkuisia on 24. Niistä 8:ssa on on pari.
(1,6) alkuisia on 24. Niistä 8:ssa on on pari.
24 4*8 = 56.
56/120 = 7/15
Mieti, missä teit virheitä. Vastaavia helposti väärin meneviä tehtäviä on sadoittain. Ne on helppo oppia ymmärtämään oikein tulostamalla kaikki vaihtoehdot ja hakemalla niistä oikeat.
Kannattaa opetella Pythonin alkeet ja ratkaista myös ohjelmallisesti kaikki tehtävät jo ihan tarkistuksen vuoksi. Säästyy aikaa ja vaivaa.
Tuli tuossa ajatusvirhe. Anonyymi/10:47:32 tästä huomauttikin..
Näin se käy:
tn(ainakin yksi pari) = 1 - tn(ei yhtään paria) =
1 - (6*2*3*4*2) / (6*(6! /(2! 2! 2!) ) = 1 - 288/540 = 1 - 8/15 = 7/15
Ei tuolla tavalla mitään oikeasti ratkaista. Menee varmasti aina pieleen, jos ei tiedä vastausta. Eikä tuollaista epämääräistä kaavaa voi edes olla olemassa.
Tälläisissä täysin symmetrisissä tehtävissä kannattaa aina valita ensimmäinen henkilö tai kortti kiinteästi joksikin.
Tietokonesimulointi antaa 0,466 eli 7/15. Pitää vielä miettiä tuo analyyttinen ratkaisu läpi.
Laske ihan päässälaskuna, mikä on todennäkösyys kahden pariskunnan (tai 2x2 kortin) tapauksessa. Helpottaa ymmärtämään muitakin tapauksia.
Ja kun ymmärtää 4 pariskunnan (4x2 kortin) tapauksen, voi jo yrittää johtaa yleisen kaavan.
tn(ei yhtään avioparia) = (12*3*6*2) / (15*3*6*2) = 4/5
tn(vähintään yksi aviopari) = (3*3*6*2) / (15*3*6*2) = 1/5
4/5 1/5 = 1.
Ja taas plus-merkki puuttui: 4/5 plus 1/5 = 1
Eikö tätä puutetta saa millään palstan ylläpitäjien tietoon? Vai eivätkö vaan korjaa asiaa?
Vielä lisäkommentti. Otetaan vain kaksi pariskuntaa ja suorakaiteen muotoinen pöytä, jonka pitkille sivuille istuvat nuo henkilöt satunnaisesti siten, että kummallekin sivulle tulee kaksi henkilöä. Laskien samalla periaatteella kuin yllä kolmen parin ja kolmiopöydän tapauksessa saadaan:
tn(ei yhtään avioparia) =(4*2) / (6*2) = 2/3
tn(vähintään yksi avioparai) = (2*2) / (6*2) = 1/3.
Pieni lisävihje: kun näissä tehtävissä valitaan kahden alkion osajoukkoja niin ei voida valita sellaisia joissa jompi kumpi alkioista on jo esiintynyt aiemmin valituissa.