Kolmen värin helmitaulut

Anonyymi-ap

Meillä on punaisia, vihreitä ja sinisiä helmiä, kutakin m kappaletta. Eli yhteensä n = 3m helmeä. Kuinka monella tavalla ne voi asetella tauluun, niin että kullekin riville tulee k helmeä ja minkään rivin helmet eivät ole kaikki samaa väriä? (Huom: n on k:lla jaollinen.)

Saa ajatella että samanväriset helmet ovat aivan saman näköisiä tai numeroituja (asettelujen lukumääräthän eroavat toisistaan vain m!^3:lla). Tai tehdäänkin niin, että kysytään todennäköisyyttä, että saadaan yks-väri-rivitön taulu kun helmet asetellaan satunnaisesti, niin tämä erottamattomuus-ongelma katoaa.

BONUS-probleema: entäpä sen todennäköisyys että myöskään mikään sarake ei ole yksivärinen?

2

205

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Olen itse keksinyt kaksi erilaista kaavaa (I-E ja GF) mutta en vielä paljasta niitä niin ei mene keksimisen ilo, jos joku haluaa noita tapoja pohtia.

      Bonus-tehtävää en ole vielä miettinyt, keksin sen vasta viestiä kirjoitellessa, ehkä siihenkin jonkun näköinen inkluusio-ekskluusio voisi toimia tai sitten se on täysin mahdoton.

    • Anonyymi

      Gen. funktiolla:

      [x^(n/3) y^(n/3)] ((1 x y)^k - 1 - x^k - y^k) / multinomi(n; n/3, n/3, n/3)

      Missä [t]p on termin t kerroin polynomissa p.
      Tai yleisemmin jos n ei ole kolmella jaollinen:

      p = (1 x y)^k -1-x^k-y^k
      return p.coefficient(x^(n//3)*y^((n 1)//3)) / multinomial([n//3, (n 1)//3, (n 2)//3])


      Inkluusio-Eksluusiolla:
      Laitetaan tämä kaava vaikka näin Desmoksessa kirjoitettuna: https://www.desmos.com/calculator/8jrmmpoyfv
      Siellä on lisäksi Bonus-tehtävän kaava, jonka saa myös I-E:lla. Jos jokin sarake ja jokin rivi ovat yksivärisiä, niin silloin kaikki yksiväriset sarakkeet ja rivit ovat automattisesti kaikki tätä yhtä ja samaa väriä. Näiden leikkauksien summaa olen merkannut koodissa u3 = 3*..... Kaksi ekaa osaa ovat u1 = rivien leikkaukset ja u2 = sarakkeiden. Ne on kumpikin sama lasku, joka tavan tehtävässä on jo laskettu.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Persut eivät ole kertoneet euronkaan edestä säästökohteita

      Mutta änkyttävät kysellä niistä muilta jatkuvasti. Vaikuttaa ettei persuilla ole kykyä omaan ajatteluun ja päätöksenteko
      Maailman menoa
      274
      3457
    2. Työeläkeloisinta Suomen suurin talousongelma

      Työeläkeloisinta maksaa vuodessa lähes 40 miljardia euroa, josta reilut 28 miljardia on pois palkansaajien ostovoimasta.
      Maailman menoa
      121
      1797
    3. Israel euroviisujen 2.

      Israel sai taas eniten yleisöääniä. Suomesta täydet 12 pistettä, poliittinen ”ammattiraati” antoi 0 pistettä. Hyvä Is
      Luterilaisuus
      263
      1512
    4. 74
      1366
    5. Persujen puoluekokous 2026

      Missä ja Milloin pidetään ?
      Maailman menoa
      67
      1269
    6. Mun mielestäni on tosi loukkaavaa

      Nainen, että luulet palatan typeriä, sekavia ja ilkeitä viestejä mun kirjoittamiksi. Mä en ole katkera, epätoivoinen, ra
      Ikävä
      199
      1117
    7. Odotettu tulos Taivalvaaran hiihtokeskuksen osalta

      "MCS Finland Oy on ilmoittanut Taivalkosken kunnalle 30.4.2026, että se irtisanoo Taivalkosken kunnan ja MCS Finland Oy:
      Taivalkoski
      52
      1109
    8. Mikä se viehättävin

      Asia on kaivatussasi?
      Ikävä
      63
      1011
    9. Tiedän satavarmasti ettet tule koskaan

      Uskaltamaan mitään. Ei me tulla edes näkemään koskaan.
      Ikävä
      22
      947
    10. IS viikonloppu 16.-17.5.2026

      Tänä viikonloppuna on Kärkkäisen ja Skyttän yhteistyönä syntynyt 3.0 arvoinen sanaristikko ratkaistavana.
      Sanaristikot
      35
      893
    Aihe