Stokastinen prosessi X(t). t on indeksi ja X(t) on indeksin t osoittama satunnaismuuttuja. Se kuvaa todennäköisyysavaruuden (M,S,p) esim. reaaliakselille jolla on määriteltyt Borel-joukot. S on jokin M.n nosajoukkojen muodostama sigma-algebra. Kaikki satunnaismuuttujat Xt) siis kuvaavat M -> R siten että Borel-joukkojen alkukuvat M-avaruufdessa kuuluvat sigmarenkaaseen S. Indeksijoukko voi olla esim. diskreetti (t1,t2,...) tai jatkuva, esin. (0 <= t <= T)
Useissa oppikirjoissa (ja esim. engl. Wikipediassa) sanotaan sitten, että tuo prosessi voidaan ymmärtää kahden muuttujan funktiona X(t,s). Siis kullakin arvolla t satunnaismuuttuja X(t, ) kuvaa M -> R ja ja jos valitaan tietty s niin X( , s) kuvaa indeksijoukon R:ään.Tässsä siis sama M:n alkio s kuvautuu arvoksi X(t,s) kullakin t:n arvolla. Tätä funktiota kutsutaan nimellä "realisaatio" (myös "sample function").
Mutta onko määritelmä järkevä? Otetaan prosessi jossa X(t) = X kaikilla indeksin t arvoilla eli kyseessä on joukko identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia. Tällöin jokainen niistä kuvaa tietyn valitun alkion s samalla reaaliluvulle X(s).Esim. nopanheittoa kuvaavan prosessin reaalisaatiot olisivat (1,1,1,....), (2,2,2,...) ...(6,6,6,...).
Mutta eikös myös vaikkapa (1,6,4,4,2,4....) ole tuon prosessiun realisaatio? Tätä ei kuitenkaaan saada aikaan yllä kuvatulla tavalla!
realization, sample function
8
104
Vastaukset
- Anonyymi
Jos X(t) = X on yksi ja sama satunnaismuuttuja kaikilla t, niin siinä ei ole kuin yksi nopanheitto. Pitää olla eri satunnaismuuttujat X_1, X_2, ..., jotta kuvastetaan sitä tilannetta, että heitetään uudelleen joka kerta.
- Anonyymi
Onhan siinä useita nopanheittoja. Jokaiselle t on X(t) = X. Ja jos valitaan tietty tn-avaruuden s, esim. se, joka antaa tuloksen 5 eli X(s) = 5 niin X(t,s) = X(s) = 5 kaikilla arvoilla t. Ja realisaatio on
5,5,5,... - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onhan siinä useita nopanheittoja. Jokaiselle t on X(t) = X. Ja jos valitaan tietty tn-avaruuden s, esim. se, joka antaa tuloksen 5 eli X(s) = 5 niin X(t,s) = X(s) = 5 kaikilla arvoilla t. Ja realisaatio on
5,5,5,...Mitä ne muut nopanheitot on, jos sinulla on vain yksi satunnaismuuttuja X? Ei niitä ole, vaan silloin luetaan aina sen yhden ja saman nopan arvo kaikilla t.
- Anonyymi
Et näytä ymmärtävän tekstiäni. Kyllä satunnaismuuttujia on useita: X(1), X(2),....
Heitolla i on satunnaismuuttuja X(i). Ne vain jakautuvat identtisest:
P(X(i) = j ) (1 <= j <= 6) = 1/6 = P(X(k) = j (k =/ i)
Kukin X(i) on kuvaus jostain tn-avaruudesta T -> R.
Jos s on T:n alkio niin se kuvautuu R:n alkiolle X(i,s) = X(i) (s) kaikissa kuvauksissa X(i). Mutta nämä kuvaukset ovat samoja, X(i) (s) = X(k) (s).- Anonyymi
No eihän ne kuvaukset sitten välttämättä ole samoja, jos X(i) != X(k).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
No eihän ne kuvaukset sitten välttämättä ole samoja, jos X(i) != X(k).
Tai no joo, onhan ne kuvauksina samat, jos oletetaan että tn. avaruus on {1,2,3,4,5,6} ja X(s) = s. Mutta jos halutaan mallintaa useaa eri nopan heittoa, niin siinä on lähtöjään oletettava että joka t:n arvolla on oma satunnaismuuttujansa. Eiväthän ne voi olla riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ovat täysin identtiset.
Eli nämä kaksi prosessia ovat prosesseina erit, vaikka niissä jokainen satunnaismuuttuja onkin yhtäsuuri. Täällä https://web.ma.utexas.edu/users/mks/M358KInstr/RandomVariables.pdf sanottu näin:
"
Using the same variable (in this case, height) but different
random processes (in this case, choosing from different populations) gives different
random variables.
" - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tai no joo, onhan ne kuvauksina samat, jos oletetaan että tn. avaruus on {1,2,3,4,5,6} ja X(s) = s. Mutta jos halutaan mallintaa useaa eri nopan heittoa, niin siinä on lähtöjään oletettava että joka t:n arvolla on oma satunnaismuuttujansa. Eiväthän ne voi olla riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ovat täysin identtiset.
Eli nämä kaksi prosessia ovat prosesseina erit, vaikka niissä jokainen satunnaismuuttuja onkin yhtäsuuri. Täällä https://web.ma.utexas.edu/users/mks/M358KInstr/RandomVariables.pdf sanottu näin:
"
Using the same variable (in this case, height) but different
random processes (in this case, choosing from different populations) gives different
random variables.
"Aika kehno esitys tuo mihin viittasit.
Satunnaismuuttuja on yksinkertaisesti sellainen funktio joka kuvaa M -> S tavalla jonka aloituksessa esitin (sigma-algebra, Borel-joukot). Ei siinä sinänsä ole mitään "satunnaista", ihan tavallinen fuktio se on.
termi "satunnainen" tulee siitä, että M on mitta-avaruus jossa on määritelty todennäköisyysmitta p.
P(X <= x) = p( (s l X(s) <= x)
Stokastinen prosessi taas on joukko satunnaismuuttujia X(t,s) = X(t) (s). Jos siis jokaisella t:n arvolla X(t) on sama muuttuja on sillä myös sama arvo tietyssä M:n pisteessä s.
Tuo arvostelemani määritelmä esiintyy varsin monessa oppikirjassa.Mutta esim. varsin perusteellinen ja matemaattinen teos
Achim Klenke: Probability Theory (A Comprehensive Course) ei mainitse käsittetitä "realization" tai "sample function" lainkaan. Olisikohan syynä juuri tuon käsitteen sekavuus?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 783248
Hakkarainen: persut Venäjän ja Pohjois-Korean tiellä
Hakkarainen entisenä persujen kärkipoliitikkona tietää, mitä puhuu. https://www.is.fi/politiikka/art-2000010422614.html2001972Ilouutinen! Anniina Valtonen heitti jymy-yllätyksen - Tämä ei jätä kylmäksi!
Ohhoh, tämäpä ylläri! Anniina Valtonen sai puolisonsa kanssa lapsen viime vuoden lopulla. Lue lisää: https://www.suomi2251851Fuengirola.fi: Kohuissa rypenyt Jari Sillanpää, 58, harvinaisessa haastattelussa: "Minä haluan..."
Ex-tangokuningas on kertonut kuulumisiaan Espanjan Aurinkorannikolta. Että ei muuta kuin elämässä etiäpäin, Jari Sillanp271538Ootko muuten vieläkään hiffannut
Että en kuulu sinun maailmaasi? On meissä samaa, ja samaa aaltopituutta oli, mutta tunsin oloni usein hyvin vaivautuneek1661395Miten nyt sanoisin
tämän sinulle. Oletko mielessäni päivittäin, kysyin itseltäni ja vastaus oli, kyllä olet. Yllätyin, päädyin oudoille tei881375- 521099
- 971038
- 55844
- 59830