Stokastinen prosessi X(t). t on indeksi ja X(t) on indeksin t osoittama satunnaismuuttuja. Se kuvaa todennäköisyysavaruuden (M,S,p) esim. reaaliakselille jolla on määriteltyt Borel-joukot. S on jokin M.n nosajoukkojen muodostama sigma-algebra. Kaikki satunnaismuuttujat Xt) siis kuvaavat M -> R siten että Borel-joukkojen alkukuvat M-avaruufdessa kuuluvat sigmarenkaaseen S. Indeksijoukko voi olla esim. diskreetti (t1,t2,...) tai jatkuva, esin. (0 <= t <= T)
Useissa oppikirjoissa (ja esim. engl. Wikipediassa) sanotaan sitten, että tuo prosessi voidaan ymmärtää kahden muuttujan funktiona X(t,s). Siis kullakin arvolla t satunnaismuuttuja X(t, ) kuvaa M -> R ja ja jos valitaan tietty s niin X( , s) kuvaa indeksijoukon R:ään.Tässsä siis sama M:n alkio s kuvautuu arvoksi X(t,s) kullakin t:n arvolla. Tätä funktiota kutsutaan nimellä "realisaatio" (myös "sample function").
Mutta onko määritelmä järkevä? Otetaan prosessi jossa X(t) = X kaikilla indeksin t arvoilla eli kyseessä on joukko identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia. Tällöin jokainen niistä kuvaa tietyn valitun alkion s samalla reaaliluvulle X(s).Esim. nopanheittoa kuvaavan prosessin reaalisaatiot olisivat (1,1,1,....), (2,2,2,...) ...(6,6,6,...).
Mutta eikös myös vaikkapa (1,6,4,4,2,4....) ole tuon prosessiun realisaatio? Tätä ei kuitenkaaan saada aikaan yllä kuvatulla tavalla!
realization, sample function
8
217
Vastaukset
- Anonyymi
Jos X(t) = X on yksi ja sama satunnaismuuttuja kaikilla t, niin siinä ei ole kuin yksi nopanheitto. Pitää olla eri satunnaismuuttujat X_1, X_2, ..., jotta kuvastetaan sitä tilannetta, että heitetään uudelleen joka kerta.
- Anonyymi
Onhan siinä useita nopanheittoja. Jokaiselle t on X(t) = X. Ja jos valitaan tietty tn-avaruuden s, esim. se, joka antaa tuloksen 5 eli X(s) = 5 niin X(t,s) = X(s) = 5 kaikilla arvoilla t. Ja realisaatio on
5,5,5,... - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Onhan siinä useita nopanheittoja. Jokaiselle t on X(t) = X. Ja jos valitaan tietty tn-avaruuden s, esim. se, joka antaa tuloksen 5 eli X(s) = 5 niin X(t,s) = X(s) = 5 kaikilla arvoilla t. Ja realisaatio on
5,5,5,...Mitä ne muut nopanheitot on, jos sinulla on vain yksi satunnaismuuttuja X? Ei niitä ole, vaan silloin luetaan aina sen yhden ja saman nopan arvo kaikilla t.
- Anonyymi
Et näytä ymmärtävän tekstiäni. Kyllä satunnaismuuttujia on useita: X(1), X(2),....
Heitolla i on satunnaismuuttuja X(i). Ne vain jakautuvat identtisest:
P(X(i) = j ) (1 <= j <= 6) = 1/6 = P(X(k) = j (k =/ i)
Kukin X(i) on kuvaus jostain tn-avaruudesta T -> R.
Jos s on T:n alkio niin se kuvautuu R:n alkiolle X(i,s) = X(i) (s) kaikissa kuvauksissa X(i). Mutta nämä kuvaukset ovat samoja, X(i) (s) = X(k) (s).- Anonyymi
No eihän ne kuvaukset sitten välttämättä ole samoja, jos X(i) != X(k).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
No eihän ne kuvaukset sitten välttämättä ole samoja, jos X(i) != X(k).
Tai no joo, onhan ne kuvauksina samat, jos oletetaan että tn. avaruus on {1,2,3,4,5,6} ja X(s) = s. Mutta jos halutaan mallintaa useaa eri nopan heittoa, niin siinä on lähtöjään oletettava että joka t:n arvolla on oma satunnaismuuttujansa. Eiväthän ne voi olla riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ovat täysin identtiset.
Eli nämä kaksi prosessia ovat prosesseina erit, vaikka niissä jokainen satunnaismuuttuja onkin yhtäsuuri. Täällä https://web.ma.utexas.edu/users/mks/M358KInstr/RandomVariables.pdf sanottu näin:
"
Using the same variable (in this case, height) but different
random processes (in this case, choosing from different populations) gives different
random variables.
" - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tai no joo, onhan ne kuvauksina samat, jos oletetaan että tn. avaruus on {1,2,3,4,5,6} ja X(s) = s. Mutta jos halutaan mallintaa useaa eri nopan heittoa, niin siinä on lähtöjään oletettava että joka t:n arvolla on oma satunnaismuuttujansa. Eiväthän ne voi olla riippumattomat, jos satunnaismuuttujat ovat täysin identtiset.
Eli nämä kaksi prosessia ovat prosesseina erit, vaikka niissä jokainen satunnaismuuttuja onkin yhtäsuuri. Täällä https://web.ma.utexas.edu/users/mks/M358KInstr/RandomVariables.pdf sanottu näin:
"
Using the same variable (in this case, height) but different
random processes (in this case, choosing from different populations) gives different
random variables.
"Aika kehno esitys tuo mihin viittasit.
Satunnaismuuttuja on yksinkertaisesti sellainen funktio joka kuvaa M -> S tavalla jonka aloituksessa esitin (sigma-algebra, Borel-joukot). Ei siinä sinänsä ole mitään "satunnaista", ihan tavallinen fuktio se on.
termi "satunnainen" tulee siitä, että M on mitta-avaruus jossa on määritelty todennäköisyysmitta p.
P(X <= x) = p( (s l X(s) <= x)
Stokastinen prosessi taas on joukko satunnaismuuttujia X(t,s) = X(t) (s). Jos siis jokaisella t:n arvolla X(t) on sama muuttuja on sillä myös sama arvo tietyssä M:n pisteessä s.
Tuo arvostelemani määritelmä esiintyy varsin monessa oppikirjassa.Mutta esim. varsin perusteellinen ja matemaattinen teos
Achim Klenke: Probability Theory (A Comprehensive Course) ei mainitse käsittetitä "realization" tai "sample function" lainkaan. Olisikohan syynä juuri tuon käsitteen sekavuus?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1723570
Tekisi niin mieli laittaa sulle viestiä
En vaan ole varma ollaanko siihen vielä valmiita, vaikka halua löytyykin täältä suunnalta, ja ikävää, ja kaikkea muuta m851598Miksi ihmeessä?
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek261307- 1581242
Pitääkö penkeillä hypätä Martina?
Eivätkö puistonpenkit ole istumista varten.Ei niitä kannata liata hyppäämällä koskaa likaantuvat eikä siellä kukaan niit1941013Erika Vikman diskattiin, tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek https://www.rumba.fi/uut16983- 35981
Kuinka kauan
Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?63879Maikkarin tentti: Orpo jälleen rauhallinen ja erittäin hyvä, myös Purra oli hyvä
Lindtman ja Kaikkonen oli kohtalaisia, sen sijaan punavihreät Koskela ja Virta olivat taas heikkoja. Ja vastustavat jalk95829- 62765