Pyrstötähti lähestyy maapalloa pitkin rataa, jota voidaan tarkastelujakson aikana pitää suorana. Mittausten perusteella pyrstötähden sijainti valitussa koordinaatistossa oli eräänä hetkenä P(−1,−5,4) ja hiukan myöhemmin Q(0,−3,3.5). Maapallon keskipiste sijaitsee koordinaatiston origossa ja maan säteen lukuarvo on 1. Mittayksikkönä käytetään siis maapallon sädettä.
Miten läheltä maapallon pintaa pyrstötähti kulkee?
Miten tällänen ratkastais??
Miten läheltä maapallon pintaa pyrstötähti kulkee?
Miten tällänen ratkastais??
Vastaukset 8
Vanhimmat
En osaa laskea tuollaisia, mutta herää kysymys voiko laskea kun ei tiedetä alkunopeutta pisteessä Q.
Onko tuo tehtävä jostain kurssilta, eli ratkaistavissa?
Ensiksi sovitetaan suora pisteiden P ja Q kautta. Sitten lasketaan origon etäisyys suorasta.
Helppoa kuin heinänteko.
Rata on suora R(t) =
(1-t) ( -1, - 5, 4) + t (0, -3, 3.5) =
(t-1, 2t - 5, - 0.5 t plus 4)
Tark.
R(0) = (-1,-5,4) ja R(1)= (0, - 3, 3.5)
Laske nyt origon etäisyys tuosta suorasta. Esim. niin että se on R:n pituuden
lR(t)l pienin arvo.
Jatkuu.
Tuosta puuttui taas plus-merkki. P.o.: R(t) = (1-t) (-1,-5,4) plus t(0,-3, 3.5)
Voit myös määrätä t:n niin, että vektori
(0 - (-1) , - 3 - (-5), 3.5-4) = (1,2, - 1/2) on nkohtisuorassa vektoria R(t) vastaan.
Kummallakin tavalla saadaan t = 52/21.
Nyt lasket pituuden l R(52/21) l . Olkoon tämä pituus r(52/21). Pyrstötähden etäisyys maanpinnasta on lyhyimmillään r(52/21) - 1.
Yksinkertainen yhtälö on R(t)*R'(t)=0 missä * on pistetulo ja R'(t) on derivaatta parametrin t suhteen.
Jatkuu /2.
(A, B) on vektoreitten A ja B sisätulo ("pistetulo")
l R(t) l saa minimin samassa pisteessä t kuin l R(t) l^2
d/dt l R(t) l^2 = d/dt (R(t) , R(t) ) = (R'(t) , R(t) ) + ( R(t) , R' (t)) = 2 (R'(t) , R(t) ) = 0
R'(t) = (1,2, - 1/2)
(R'(t) , R(t) ) = t-1 plus 4t - 10 plus t/4 - 2 = 5 1/4 t - 13 = 0
t = 52/21
Geometrisesti ajatellen R'(t) on R(t)-käyrän tangenttivektori ja koska R(t) on nyt suora on sen tangenttivektori suoran itsensä suuntainen. Maapallon keskipistettä (origo) lähinnä oleva suoran piste on se jossa tangenttivektori R'(t)on kohtisuorassa suoran paikkavektorisa R(t) vastaan eli (R'(t) , R(t) ) = 0
Taas jäi yksi plussa pois. Saamari etteivät korjaa tätä vikaa!
P.O. ... d/dt (R(t),R(t) ) = (R'(t) , R(t) ) plus (R(t), R'(t) ) ...
vektoreiden pistetulon avulla