Miten muodostaa kokonaisluvun kuutio yksinkertaisesta lausekkeesta? Eittäin vaikea!

Anonyymi-ap

Ei onnistune ihan lukion eikä yliopiston matematiikan peruskurssien tiedoilla, ellei ole poikkeuksellisen lahjakas tai kekseliäs.

a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja.

a^3 = 3b(b-1) + 4

Ihan päässälaskuna saa ensimmäisen ratkaisun (a=4, b=5), mutta mikä on seuraava ratkaisu?

Heti nähdään, että a:n on oltava parillinen luku ja b:n on oltava aina suurempi kuin a.

Voidaan helposti muodostaa ääretön määrä muitakin yksinkertaisia rajoitteita. Esim. b eikä b-1 ei saa olla jaollinen luvulla 7 eikä a saa olla jaollinen luvulla 13.

Muodostakaa mahdollisimman tehokkaita rajoitteita a:n ja b:n arvoille.

15

299

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Kokonaisluvun kuution pystyy muodostamaan aivan helposti.
      Näin se menee;
      Olkoon kokonaisluku a. Sen kuutio on a^3.

    • Anonyymi

      "Heti nähdään, että a:n on oltava parillinen luku ja b:n on oltava aina suurempi kuin a"

      Et pysty lisäämäättä rajoitteita osoittamaan, että b:n on oltava suurempi kuin a. Väite kun ei pidä paikkaansa.

      • Anonyymi

        Korjaan. Siellä olikin rajoitteena, että niiden ol oltavva positiivisia. Pahoittelen huolimattomuuttani.

    • Anonyymi

      b eikä b-1 ei voi koskaan olla jaollinen kolmella, sillä a^3-4 ei ole millään a:n arvolla koskaan jaollinen 9:llä. Siis:

      b = 2 + n*3 (n = 1,2,3,...)

      Samoin b eikä b-1 ei voi koskaan olla jaollinen 8:lla, sillä a^3-4 ei ole millään a:n arvolla koskaan jaollinen 8:lla.

      Jos ottaa yhtälön molemmista puolista modulo 2*27, niin saadaan lisää rajoitteita:

      a = 4 + m*18 (m = 1,2,3,...)

    • Anonyymi

      Yleensä tuollaisissa ongelmissa on vain 1-2 vastausta pienillä luvuilla.

      • Anonyymi

        Ja yleensä kukaan ei ole koskaan lähtenyt hakemaan ratkaisuja oikeasti isoilla luvuilla. Vie liikaa aikaa.

        Nyt kyse on erittäin tunnetusta ongelmasta, eikä kukaan ole vielä pystynyt esittämään, ettei muitakin ratkaisuja oli jopa ääretöntä määrää.

        Rajoitteet saadaan helposti yli miljarditasoille. Ja sitten biljoonatasolle.

        Cubic reciprocity:llä saadaan:

        b = 5 ＋ n*9 (n = 1,2,3,...) ja
        a = 4 ＋ m*162 (m = 1,2,3,...)

        Ja jos ottaa suodattavaan moduloon kolmosten lisäksi myös 7:n ja 8:n (2^3*3^4*7 = 4536), niin

        b = {5, 68, 437, 500} ＋ n*504
        a = {4, 652, 814} ＋ m*1134

        Jatkakaa suodattamista ottamalla mukaan moduloon 5, 11, ja 13.

    • Anonyymi

      Kertomalla annetun yhtälön molemmat puolet 4:llä, sen saa muokattua neliön muodostamiseksi:

      (4a^3-13)/3 = (2b-1)^2

      Neliöinti on aina helpompaa ja mahdollisia a:n arvoja on biljoonia ( tai triljoonia) kertoja vähemmän kuin b:n arvoja. Molemmat puolet ovat aina varmasti jaollisia 81:llä (sallituilla a:n ja b:n arvoilla).

      • Anonyymi

        Koska b:n mahdollisia arvoja on valtavasti, ei niitä kannata hirveästi lähteä edes karsimaan. Pelkkää ajan tuhlausta.

        Alkuperäisestä yhtälöstä (a^3 - 4 = 3b(b-1)) näkee heti, ettei b eikä b-1 voi olla jaollinen millään 7＋k*6-alkuluvulla, joka ei ole (a^3 - 4):n cubic root modulo prime. Niitä on triljoonittain. [7, 13, 19, 37, 61, 67, 73, 79, 97, 103, ...] Niillä saisi karsittua isojen b:n arvojen tiheyden alle tuhannesosaan, mutta karsinta ei onnistu millään modulaarisella tavalla. Ei voi siis käytännössä mitenkään hyödyntää.

        Kannattaa keskittyä vain neliöimään lauseke (4a^3-13)/3 eri tavoin karsituilla a:n arvoilla. Neliöstä voi suoraan laskea b:n arvon.

    • Anonyymi

      Mitähän mielenkiintoista tällaisessa tehtävässä on.? Vastaaviahan voi helposti kehitellä vaikka kuinka paljon.

      Kuka näitä viitsii ratkoa? Miksi?

      • Anonyymi

        Kyse on vaikeasta matematiikasta, jota sinä et ole ikinä opiskellut. Tiedät kyllä mikset.

        Et itse ikinä pysty kehittämään mitään vaikeaa tehtävää. Ei ole helppoa. Kokeile. Ei onnistu sinulta ikinä. Täysin mahdotonta. Helppo todistaa!

        Vastaava helppo kaikille lukiolaisille:

        a^3 = 3b(b-1) ＋58
        (Neliölauseke on (4a^3-229)/3 = (2b-1)^2)

        Kaksi helppoa ratkaisua. Isommassakin b on alle miljardin ja a satoja kertoja pienempi. Aikaa kuluu Pypyllä alle sekunnin vaikka laskisi ilman optimointeja. Pitää tietysti hiukan tietää, mitä tekee. Hyvää matematiikan perusteiden harjoitusta kokonaisluvuilla.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Kyse on vaikeasta matematiikasta, jota sinä et ole ikinä opiskellut. Tiedät kyllä mikset.

        Et itse ikinä pysty kehittämään mitään vaikeaa tehtävää. Ei ole helppoa. Kokeile. Ei onnistu sinulta ikinä. Täysin mahdotonta. Helppo todistaa!

        Vastaava helppo kaikille lukiolaisille:

        a^3 = 3b(b-1) ＋58
        (Neliölauseke on (4a^3-229)/3 = (2b-1)^2)

        Kaksi helppoa ratkaisua. Isommassakin b on alle miljardin ja a satoja kertoja pienempi. Aikaa kuluu Pypyllä alle sekunnin vaikka laskisi ilman optimointeja. Pitää tietysti hiukan tietää, mitä tekee. Hyvää matematiikan perusteiden harjoitusta kokonaisluvuilla.

        Otetaan mitkä tahansa esim.viisi positiivista kokonaislukua. Muodostetaan niistä lauseke käyttämällä yhteen-, vähennys-,kerto- ja jakolaskuja (potenssiin korotus ml.). Lasketaan tulos. Sitten korvataan näistä valituista luvuista kaksi muuttujilla a ja b. Siinä sinulla on nyt tehtävä, jota saat hyvässä lykyssä miettiä aika kauan, jos nyt ratkeaa ollenkaan.

    • Anonyymi

      Jos määrittelee

      X = (12a)^3
      Y = 72b ＋ 36

      niin annetusta kaavasta saa muodostettua elliptisen käyrän yhtälön

      Y^2 = X^3 - 5616.

      Sitten pitää vain löytää sopivat elliptisen yhtälön toteuttavat kokonaislukupisteet.

      Annettu tehtävä on vain yksi kaikein helpoin erikoistapaus tunnetusta paljon isommasta ongelmasta.

      Sadat huippumatemaatikot tutkivat eri menetelmiä ratkaista näitä ja muita vastaavia tehtäviä. Heiltäkin sopivan tavan löytäminen onnistuu useimmiten vain, jos tietää ensin jollakin muulla tavalla saadun ratkaisun. Ala kehittyy koko ajan. Vaatii aina valtavasti laskentaa ja syvällistä osaamista eri aloilta. Ei ole mahdotonta.

      • Anonyymi

        X:n määrittelystä pitää poista potenssi 3. Eli

        X = 12a

        Testasin tunnetuilla arvoilla, eivätkä ne tietysti toimineet. Ei ole matemaatikkojen työ helppoa, jos huippumatemaatikkojen tarkistetuissa julkaisuissa on painovirheitä.

      • Anonyymi

        Kyse on Mordellin käyristä. Niiden kokonaislukuratkaisuja on taulukoitu miljoonittain.

        https://en.wikipedia.org/wiki/Mordell_curve

        Yhtälöllä

        Y^2 = X^3 - 5616

        on todistettavasti vain kaksi kokonaislukuratkaisua. Isompia ratkaisuja voi yrittää hakea toinen toistaan tehokkaimmilla ja nerokkaimmilla tavoilla loputtomasti. Niitä ei kuitenkaan löydy ikinä.

        https://web.archive.org/web/20160529094946/http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL-

        Jokaisen kokonaislukulaskuja harrastavien kannattaa perehtyä elliptisiin käyriin. Viisaat matemaatikot ovat laskeneet niiden avulla valmiiksi valtavasti eri tapauksia, joita voi soveltaa eri tehtäviin sopivilla muunnoksilla. Ja lisää tulee koko ajan loputtomasti.

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. SDP palauttaa Suomen kansalle kulta-ajat

      Hyvinvointivalto on pääosin SDP:n ja osin myös Maalaisliiton rakentama. Hyvinvointivaltion ylläpito edellyttää oikeude
      Maailman menoa
      162
      13844

    2. Aamun Riikka: työttömyydessä lähestytään viime laman synkintä vaihetta

      Nopeasti mentiiin upean Marinin hallituksen ennätystyöllisyydestä toiseen ääripäähän, kohti Suomen historian kurjimpia t
      Maailman menoa
      84
      10005

    3. Älkää vassarit kuvitelko, että Marinin kulta-ajat palaavat

      Vaikka demarit voittaisivat seuraavat vaalit, se ei palauta Marinin taskut-täyteen-kelasta-aikaa takaisin, ei voi eikä h
      Maailman menoa
      101
      9199

    4. Suomen velka kasvoi ennätysvauhtia - Mäkynen repostelee

      – Velka kasvoi eniten tilaston historiassa, Mäkynen kirjoittaa. – Vuoden 2025 toisella neljänneksellä selvästi eniten k
      Maailman menoa
      21
      8339

    5. Giorgia Meloni vs Riikka Purra

      Kyllä Italian pääministeri on kauniimpi ja seksikkäämpi, kuin Suomen valtiovarainministeri Riikka Purra. Mitä jotkut näk
      Maailman menoa
      48
      6827

    6. Persut JYTKYTTÄÄ ylös, ohi kepun! +2,1 %

      Persut palasi kolmen suurimman joukkoon ja on matkalla kohti kevään 2027 eduskuntavaalivoittoa. Sosialistit ovat syöksy
      Maailman menoa
      43
      6733

    7. Johtuuko vasemmistolaisten inho kristinuskoa kohtaan heidän islamin uskostaan?

      Tätä jäin pohdiskelemaan.
      Maailman menoa
      151
      6216

    8. Gallup, PS:lle JÄRISYTTÄVÄ nousu, SDP suurin laskija

      https://yle.fi/a/74-20186114 PS kovaa vauhtia nousemassa ennen 2027 vaaleja suurimmaksi puolueeksi. Nyt mennään jo etua
      Maailman menoa
      102
      5164

    9. Ohhoh. Kokoomusvirkamiehen mukaan Suomessa ei ole työttömyyskriisiä

      Kun kokoomuksen johtama hallitus epäonnistuu täydellisesti talouspolitiikassaan, niin aikaisemmin erittäin pahaksi määri
      Maailman menoa
      24
      4055

    10. En lähde armeijaan enkä siviilipalvelukseen

      Maanantaina telkan uutisissa toistamiseen kerrottiin tästä luuserista, joka kärsii muka "masennuksesta", mutta nauraa rä
      Maailman menoa
      405
      1359
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt