Sammakko hyppää aina matkan 1 ja samalla todennäköisyydellä mihin tahansa suuntaan 360 astetta. Sammakko hyppää kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä se on sen jälkeen lähempänä kuin etäisyydellä 1 lähtöpisteestä?
Sammakon hyppely
Anonyymi-ap
30364
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 30
Vanhimmat
Oikea vastaus näyttäisi olevan 1/3.
En tiedä miksi.
En tiedä ehkä tuli vihreä jossain
Arvoin kolme kulmaa, laskin sinit ja kosinit kummatkin keskenään (x-siirtymät ja y-siirtymät) otin niistä (siirtymistä) neliöt ja siirtymien summasta neliöjuuren (sqrt(x-siirtymät^2 plus y-siirtymät^2). Testasin että onko alle 1.
Tuota toistin silmukassa
kulmat välillä 0 ... 2*pii
siirtymien summasta neliöjuuren
po
neliöiden summasta neliöjuuren
Minä saan 1/4.
Kolmelle kulmalle a1,a2,a3 kuutiosta [0, 2pi]^3 pitää päteä
| sum(e^(i*a_j)) | < 1
Kun tämä lasketaan auki (voi käyttää |.|^2), niin saadaan
cos(a1-a2) < -1 - cos(a1-a3) - cos(a2-a3).
Ensimmäinen kulma voidaan olettaa 0:ksi (tai yhtäpitävästi mikä tahansa, lauseke on symmetrinen) ja antaa kahden käydä läpi neliö [0, 2pi]^2. Suotuisa alue on kaksi kolmiota, joiden ala yhteensä pi^2: https://www.desmos.com/calculator/yiocbnqa4i
joten todennäköisyydeksi saadaan 1/4.
Kahdelle hypylle tulisi minun mielestä tuo 1/3. Siinähän jää ehdoksi cos(a)<-1/2.
Voikos se olla niin että n:lle hypylle tn on 1/(n--1)?
Tietokoneella simuloimalla saan 1/n
Ainakin jos lasketaan <= 1
kun on vain yksi hyppy
Muutenhan yhdellä hypyllä todennäköisyys on 0
Viestini poistettiin sääntöjen vastaisena ilmeisesti koska pahoittelin virhettä.
Laskin siis vahingossa suhteen ali/yli enkä ali/(yli plus ali)
Tuo siis on ilmeisesti oikein:
"Kahdelle hypylle tulisi minun mielestä tuo 1/3. Siinähän jää ehdoksi cos(a)<-1/2.
Voikos se olla niin että n:lle hypylle tn on 1/(n--1)?"
Itse laskin aluksi kompuutterilla väärin.
Joo kyllä tuo 1/4 on oikein. Saadaan myös geometrisella tarkastelulla (jota valitettavasti en voi piirtää).
Lähtöpiste on A ja siitä sammakko päätyy 1-säteisen ympyrän jollekin kehäpisteelle, oletetaan piste B. Seuraava hyppy päätyy uuden 1-säteisen ympyrän kehälle. Tämän ympyrän B kehästä 1/3 on A-ympyrän sisällä, toisen hypyn jälkeen tn on 1/3, että on enintään etäisyydellä 1 lähtöpisteestä.
B-ympyrän kehältä lähtee kolmas hyppy, jonka mahdolliset päätepisteet ovat taasen 1-säteisen ympyrän kehällä. Pitäisi selvittää, kuinka suuri osa tämän ympyrän kehästä on A-ympyrän sisällä.
Piirretään suora A ja B kautta, se leikkaa B-ympyrän kehän pisteessä C. Siitä lähtevä hyppy tavoittaisi A-ymyrän kehän vain yhdessä pisteessä B. Piirretään sitten B-ymyrälle toinen säde, joka leikkaa B-ympyrän pisteessä D ja joka muodostaa keskuskulman a säteen BC kanssa. Pisteestä D piirretään 1-säteinen ympyrä, jonka kehä kuvaa kolmannen hypyn mahdollisia päätepisteitä. Tästä ympyrästä jää ympyrän A sisälle vaihtelevan pituisia kaaria riippuen kulmasta a, ja kukin kaari kulkee pisteen B kautta. Piirretään ympyrälle A tällaista kaarta vastaava keskuskulma. Nähdään, että tätä keskuskulmaa vastaava ympyrän A kaari on yhtä pitkä kuin tuo A-ympyrän sisälle jäävä D-ympyrän kaari.
Tarkasteltaessa ympyrää B huomataan, että kehäkulma CAD on keskuskulman CBD = a puolikas. Siten A ympyrän keskuskulma, joka vastaa mainittua A-ympyrän kaarta, suuruudeltaan a, ja myös etsitty D-ympyrän kaaren pituus on a. Kun a muuttuu 0 -> pii, muuttuu myös kaaren pituus vastaavasti.
Kysytyn todennäköisyyden saamiseksi integroidaan a/(2*pii)*da välillä 0->pii ja kerrotaan vielä tekijällä 1/pii. Tulos on 1/4.
Tuo sama lyhyemmin. Sammakko hyppää ensin pisteestä A yksikköympyrän kehälle pisteeseen B. Seuraava yksikköhyppy tapahtuu pisteeseen C, joka muodostaa kulman a janaan AB nähden (oletetaan, että hyppytapahtuu ympyrän A ulkopuolelle). Piirretään nyt pisteestä yksikköjanan toinen leikkauspiste D (B lisäksi) ympyrän A kehän kanssa. Yhdidtetään vielä D pisteeseen A. Saadaan vinoneliö, jonka terävät kulmat ovat a. A-ympyrän sisäälä olevan kaaren pituus on siis myös a ja integroimalla saadaan todennäköisyys.
Lähdin huvikseni laskemaan k:n hypyn jälkeisen etäisyyden tiheysfunktiota. Tein aluksi simulaation (k = hyppyjen määrä): https://www.desmos.com/calculator/ya6cprfmqf
Tuossa on jo mukana kaksi tiheysfunktiota (k=2 ja k=3) jotka sain laskettua. Näin niitä analyyttisesti laskin (saadaan rekursio, jossa edellistä integroidaan tietyn "ytimen" kanssa): https://aijaa.com/U2jPmo
Mutta en tiedä pystyykö tuota kolmosenkaan integraalia enää laskemaan alkeisfunktioiden avulla mitenkään.
Jännä äärettömään menevä piikki tulee kolmoseen kohtaan r=1. Myös kakkosessa on piikki r=2:ssa. Mutta neloseen ei näyttäisi enää piikkejä tulevan simulaation mukaan, onko tämä totta? Desmos ei suostunut enää seuraavan integraalia laskemaan. Eihän se tosin varmaksi sano niitä äärettömyyskohtiakaan mutta sen voi tarkastaa sijoittamalla r=1 ja katsomalla että tulee suppenematon integraali. Mitenkäs muuten arvo r=3:ssa? Sielläkinhän on integrandin äärettömyyskohta mutta integroimisväli menee myös nollaan.
Onko tuolla mitään kiinnostavaa?
http://archive.ymsc.tsinghua.edu.cn/pacm_download/21/228-2013A_study_on_the_probability_issue_ofa_frog_jumping_one_meter_a_time.pdf
Sammakko hyppää ensin yhden yksikön pituisen matkan, olkoot se 30 cm. Kysytään siis että kun se jatkaa hyppimistä em. pisteestä mielivaltaisiin suuntiin vielä kahdella 30 cm hypyllä niin millä todennäköisyydellä se päätyy hyppyjensä jälkeen lähemmäksi kuin 30 cm lähtöpaikkaansa?
Siinäpä laskemista!
Sitä paitsi, ilmaisu ..."mihin tahansa suuntaan 360 astetta" on ristiriitainen koska käsite "mihin tahansa suuntaan" pitää jo sisällään 360 asteen mahdollisuuden ja toisinpäin 360 astetta pitää jo sisällään mahdollisuuden "mihin tahansa suuntaan"...
Ilmaisu oli: "samalla todennäköisyydellä mihin tahansa suuntaan 360 astetta". Eli pääsit nälvimään jättämällä osan tekstistä pois. 360 astetta oli lähinnä täsmennyksenä, koska sammakko ei hyppää "taaksepäin" muutoin kuin kääntymällä paikallaan. Jos olisi "samalla todennäköisyydellä mihin tahansa suuntaan 180 astetta", silloin tuo asteluku olisi välttämätön.
Yksikön pituinen matka on matematiikassa aina 1. Helpottaa laskemista joka vaiheessa todella paljon. Ei tarvitse edes ottaa edes neliöjuurta. Riittää että neliö on <1.
"Yksikkö" ei ole matka ollenkaan, esim. millimetri tai kilometri ovt matkan yksiköitä.
360 astetta ei kata kuin tason suunnat.
Kokeilinkin mallintaa mitä tapahtuisi jos voisi hypätä kolmiulotteisessa avaruudessa vapaaseen suuntaan. En ole varma sainko oikeita tuloksia. Tuli aivan mitättämän pieni todennäköisyys että päätyy yhden hypyn pituutta lähemmäksi jo kahdella hypyllä.
Matematiikassa lasketaan yleensä ilman dimensioita, esim käsitellään kolmiota, jonka sivun pituudet ovat 3, 4 ja 5. Sovelluksina voi olla tehtäviä, joissa on dimensiollisia suureita, mutta ne yleensä lasketaan ilman dimensioita ja vasta lopputulokseen lisätään dimensio.
Ei se niin pieni ole. Kun on yhden hypyn jälkeen 1-säteilellä pallolla, pitää toisella hypyllä suunnata kartioon, jonka akseli on pallon keskipisteeseen ja huippukulma akseliin nähden on 60 astetta. Tuon kartion avaruuskulma on 1/4 täydestä pallosta, ja tuo on myöskin kysytty tn.
Nyt kyse on matematiikasta. Ajattelet selvästi venäjäksi ja kaikki menee lähes aina pieleen.
Et tule koskaan ymmärtämään suomen kieltä.
Eikös toisen hypyn pallon pinta-alasta ole 1/3 eka pallon sisällä (ja myös toisinpäin)?
120 asteen kartion kalotti
Satunnaisluvuilla sain kuitenkin n. 28.61 % joten eikö jakaannu tasaisesti pisteet.
Käytin tuon ohjetta https://math.stackexchange.com/questions/1585975/how-to-generate-random-points-on-a-sphere
u = (float)rand() / RAND_MAX;
v = (float)rand() / RAND_MAX;
kulma1 = 2 * M_PIl * u
kulma2 = 2* acos(2 * v - 1) (tuohon lisäsin 2* alkuun)
hypyn koordinaattilisäykset
xplus = cos(kulma1) * cos(kulma2);
yplus = sin(kulma1) * cos(kulma2);
zplus = sin(kulma2);
Pitäisikö sanoa että pallosektorin kalotti on 120 astetta
Laskeskelin kolmea hyppyä kolmessa dimensiossa ja sain, että 1/6 on yhden hypyn sisällä löhtöpisteestä.
Kyllä 120 asteen kalotin pinta-alaosuus pallosta on 1/4.
Niinpä näyttää oleva eli pii/4pii
Sain 0.17 kolmella, mutta en saanut aivan 1/4 kahdellakaan hypyllä (0.27)
muutin koodia niin että molemmat kulmat arvotaan samalla tavalla, tuli vähän lähemmäksi, jotain vikaa siinä on
Pitäisikö siirtyä matematiikkaan :)
Todennäköisyys on yksi, koska sannakko hyppii pallolla, jonka läpimitta on alle yhen uksikon.
Katso tuolta:
https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk