Miten lasketaan

Se tarkoittaa lukua, joka tulee z^3:n kertoimeksi kun (1+z+z^2)^4 kerrotaan auki ja esitetään "perusmuodossa" c0 + c1*x + c2*x^2 + ...
Tälle ns. "coefficient extraction":ille on merkintä [z^k] p(z), kun polynomista (tai yleisemminkin potenssisarjasta) p(z) otetaan z^k:n kerroin.
En tiedä onko peruslaskimissa, mutta paperilla tuon esimerkin voi laskea multinomikaavalla

[z^3] (1+z+z^2)^4
= [z^3] sum_{a+b+c=4} multinomi(a,b,c) z^b*z^(2c)
= [z^3] sum_{c=0}^4 sum_{b=0}^{4-c} multinomi(4-b-c, b, c) z^(b+2c)
= sum_{c=0}^1 multinomi(1+c, 3-2c, c)
= multinomi(1,3,0) + multinomi(2,1,1)
= 4!/(1!*3!*0!) + 4!/(2!*1!*1!)
= 16

Tuplasumma saadaan, kun annetaan c:n käydä kaikki mahdolliset läpi, jolloin b menee vain 4-c:hen asti ja a = 4-b-c.
Sitten z^3:n kerroin saadaan, kun vaaditaan, että b+2c = 3. Tällöin c voi saada vain arvot 0 ja 1, koska b=3-2c >= 0. Lisäksi a = 4-b-c = 4-(3-2c)-c = 1+c.

(1+z+z^2)^4 = ((1+z+z^2)^2)^2 = (1+z^2+z^4+2z+2z^2+2z^3)^2 =
(1+2z+3z^2+2z^3+z^4)^2 =
1+4z^2+4z+6z^2+4z^3+12z^3 + termejä joissa z:n potenssi on > 3.
z^3:n kerroin on siis 16.

Suuret kiitokset kummallekkin vastaukselle, asia selveni.

z^3 = z*z*z*1 tai z^2*z*1*1. Ekaan on neljä tapaa valita, mistä tulon neljästä tekijästä ykkönen valitaan. Tokassa on neljä tapaa valita, mistä tekijästä otetaan z^2 termi ja tämän jälkeen kolme tapaa valita z termi. Kertoimeksi tulee siis 4 + 4*3 = 16.

Laske sinä vain housuihisi.