x,y ja z ovat positiivisia reaalilukuja ja ja x+y+z = 3 ..
Todista että
sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= xy + yz + zx .
Todista epäyhtälö
Anonyymi-ap
12
329
Vastaukset
- Anonyymi
Tehdään muuttujanvaihdos x=1+a, y=1+b, z=1+c, jotta "tarkasteltava kohta" (eli se, jossa epäyhtälö on yhtälö), siirtyy origoon.
Nyt pitää osoittaa että kaikille a,b,c>-1, joille a+b+c=0, pätee
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c) >= ab + bc + ca + 3.
Käytetään neliöjuurelle arviota sqrt(1+x) >= 1 + 1/2*(x-x^2):
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c)
>= 3 + 1/2(a+b+c) - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2).
Riittää siis osoittaa, että
a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca) <= 0.
Mutta tämähän on itseasiassa yhtälö:
0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca).- Anonyymi
Jos a+b+c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 + b^2 +c^2 = - 2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2 >= 0. Siis ab+bc+ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Huomaa kolmonen tuolla 4. rivin oikealla puollella. Se tulee siitä kun
xy+yz+zx
= (1+a)(1+b) + (1+b)(1+c) + (1+c)(1+a)
= 3 + 2*(a+b+c) + ab+bc+ca
= 3 + ab+bc+ca.
Se kumoutuu 8. rivin kolmosen kanssa ja päädytään 10. riviin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Todistettavan epäyhtälön oikea puoli on ab + bc + ca + 3, joten ihan oikeaa asiaa on todistettu. Toki on helppo nähdä, että alkuperäisen epäyhtälön oikea puoli on enimmillään 3, mutta tämä ei tee todistuksesta väärää.
- Anonyymi
Sait tuossa tuloksen, että
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c ) >= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
Mutta a^2 + b^2 + c^2 > = 0
joten tuo neliöjuurien summa > = luku, joka on korkeintaan 3.
Dixi - Anonyymi
Olet todistanut, että
sqrt(x)+sqrt(y) + sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) + (y-1) (z-1) + (z-1) (x-1) + 3 =
6+xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z = xy + yz + zx + 6 - 2*3 = xy + yz + zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olet todistanut, että
sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) (y-1) (z-1) (z-1) (x-1) 3 =
6 xy yz zx - 2x - 2y - 2z = xy yz zx 6 - 2*3 = xy yz zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymiMutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1+x) >= 1 + 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1 x) >= 1 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on.Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 + sqrt(x) + sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x+y+z = 3, saadaan
x^2+y^2+z^2 + 2*( sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) ) >= 3 (x+y+z) = (x+y+z)^2 =
x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 yz + 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiO n n e a v a a n k e v ä ä n y l i o p p i l a s m a t e m a t i i k a n k i r j o i t u k s i i n
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiAi niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta, - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta,C-Sch ei oikein ole tuon muotoinen. Enpä usko että siitä löytyisi todistus. Vaan eihän sitä koskaan tiedä mitä joku saattaa keksiä!
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Purran tuhoja tuskin saadaan koskaan korjatuksikaan
Purra on aiheuttanut Suomen taloudelle karmaisevat tuhot. Sen lisäksi Purra on ajanut myös suuren osan Suomen kansasta k16310605Marinin tuhojen korjaaminen kestää kahdeksan vuotta
Nyt on vasta neljännes mennyt ja ensimmäiset korjausliikkeet saatu liikkeelle. Innokkaimmat olivat odottaneet että jo t887491Miksi persuilla ei ole firmoja?
Kuten vasemmisstolaisilla, esim. Sannalla MA\PI. Eikö ole aika erikoista?1067377Se oli Orpo joka rynni Eagle S -alukselle
Vastoin kaikkia kansainvälisen merenkäynnin sääntöjä. Kunpa olisi ollut purjehtija Harkimo Suomen johdossa silloin. ht37346Aamun Riikka: työttömyydessä lähestytään viime laman synkintä vaihetta
Nopeasti mentiiin upean Marinin hallituksen ennätystyöllisyydestä toiseen ääripäähän, kohti Suomen historian kurjimpia t227321Persut hommasivat Suomeen 35 000 pientä lasta v. 2015
Onko Riikka Purra nyt tavoittelemassa tätä samaa historiallista persujen utopiaa? Purram kaksinaamaisessa pelissä vaadit427269Miksette persut irtisanoudu Kirkin lausunnoista?
Kirkhän muun muassa vaati raiskattuja naisia pidättäytymään abortista ja vaimoja alistumaan aviomiestensä tahtoon. Mik1136677Purran vuoro kiihoittua Lepomäen sääristä
"Ulkoministeri Elina sanoo, ettei muuta pukeutumistaan sen mukaan, kenet tapaa, ja että hän ei suostuisi peittämään kasv296506Demarikultin uhri kertoo
Demarikultin uhri kertoo: “En saanut mennä edes suihkuun ilman lupaa” – Seksuaalisen hyväksikäytön uhri kertoo vuosistaa885733Persujen kaksoisstandardit: Räsäsen uhkailu paha, Virran uhkailu hyvä
Tässä taas nähdään kuinka kaksinaamaista porukkaa persut ovat. Mitäs persut tähän?485515