x,y ja z ovat positiivisia reaalilukuja ja ja x+y+z = 3 ..
Todista että
sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= xy + yz + zx .
Todista epäyhtälö
Anonyymi-ap
12
359
Vastaukset
- Anonyymi
Tehdään muuttujanvaihdos x=1+a, y=1+b, z=1+c, jotta "tarkasteltava kohta" (eli se, jossa epäyhtälö on yhtälö), siirtyy origoon.
Nyt pitää osoittaa että kaikille a,b,c>-1, joille a+b+c=0, pätee
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c) >= ab + bc + ca + 3.
Käytetään neliöjuurelle arviota sqrt(1+x) >= 1 + 1/2*(x-x^2):
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c)
>= 3 + 1/2(a+b+c) - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2).
Riittää siis osoittaa, että
a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca) <= 0.
Mutta tämähän on itseasiassa yhtälö:
0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca).- Anonyymi
Jos a+b+c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 + b^2 +c^2 = - 2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2 >= 0. Siis ab+bc+ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Huomaa kolmonen tuolla 4. rivin oikealla puollella. Se tulee siitä kun
xy+yz+zx
= (1+a)(1+b) + (1+b)(1+c) + (1+c)(1+a)
= 3 + 2*(a+b+c) + ab+bc+ca
= 3 + ab+bc+ca.
Se kumoutuu 8. rivin kolmosen kanssa ja päädytään 10. riviin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Todistettavan epäyhtälön oikea puoli on ab + bc + ca + 3, joten ihan oikeaa asiaa on todistettu. Toki on helppo nähdä, että alkuperäisen epäyhtälön oikea puoli on enimmillään 3, mutta tämä ei tee todistuksesta väärää.
- Anonyymi
Sait tuossa tuloksen, että
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c ) >= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
Mutta a^2 + b^2 + c^2 > = 0
joten tuo neliöjuurien summa > = luku, joka on korkeintaan 3.
Dixi - Anonyymi
Olet todistanut, että
sqrt(x)+sqrt(y) + sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) + (y-1) (z-1) + (z-1) (x-1) + 3 =
6+xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z = xy + yz + zx + 6 - 2*3 = xy + yz + zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olet todistanut, että
sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) (y-1) (z-1) (z-1) (x-1) 3 =
6 xy yz zx - 2x - 2y - 2z = xy yz zx 6 - 2*3 = xy yz zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymiMutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1+x) >= 1 + 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1 x) >= 1 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on.Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 + sqrt(x) + sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x+y+z = 3, saadaan
x^2+y^2+z^2 + 2*( sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) ) >= 3 (x+y+z) = (x+y+z)^2 =
x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 yz + 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiO n n e a v a a n k e v ä ä n y l i o p p i l a s m a t e m a t i i k a n k i r j o i t u k s i i n
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiAi niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta, - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta,C-Sch ei oikein ole tuon muotoinen. Enpä usko että siitä löytyisi todistus. Vaan eihän sitä koskaan tiedä mitä joku saattaa keksiä!
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
6 kW saunan lämmityksestä kohta 10 euron lisämaksu / kerta
Kokoomuslainen sähköyhtiöiden hallitsema Energiavirasto ehdottaa 5 kW:n rajaa, jonka ylittämisestä tulee lisämaksu. Tark874683Kun väestö ikääntyy ja veronmaksajat vähenee, mitä sitten vasemmistolaiset?
Maahanmuutto ei vaan ole ratkaisu väestön ikääntymiseen. Maahanmuutto lykkää ja hidastaa väestön ikääntymistä ja työv2034608"Mitä sä nainen tuot sitten pöytään" ?
Jos mies provaidaa ja suojelee... Pitääkö miesten kysyä tuollaisia?1063066Ekologinen kommunismi tulee voittamaan fossiilikapitalismin
Kiina on mahtitekijä uusiutuvien energialähteiden kehityksessä, ja Trump osoitus viimeisestä öljyn perään itkemisestä, m223057Minja jytkyttää vas.liiton kannatusta ylöspäin
Alkaa raavaat duunarimiehetkin palaamaan vasemmistoliiton kannattajiksi. Eduskunnassahan on vain kaksi työntekijöiden p962980Mahonselän jäät - Saaristokunta Lieksa brutaalisti kriisin partaalla!
Lieksan loppuvuoden hyvän kehityksen jälkeen ei olisi uskonut että palstan ahkerista kommentoijista huolimatta matkailu1382268Oikeistopuolueiden kannatus vain 37,8 %, vasemmiston 43,0 %
Keskustaan jää 17,4 prosenttia ja loput ovat sitten mitä ovat. Mutta selvästikin Suomen kansa on vasemmalle kallellaan.332167- 892143
- 202112
Mies, kerro minulle vielä jotakin aivan uniikkia
ja ainutlaatuista minkä vain me kaksi voisimme ymmärtää jos olemme sen kokeneet ja eläneet, jotta ihan varmasti tietäisi371909