x,y ja z ovat positiivisia reaalilukuja ja ja x+y+z = 3 ..
Todista että
sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= xy + yz + zx .
Todista epäyhtälö
13
246
Vastaukset
- Anonyymi
Tehdään muuttujanvaihdos x=1+a, y=1+b, z=1+c, jotta "tarkasteltava kohta" (eli se, jossa epäyhtälö on yhtälö), siirtyy origoon.
Nyt pitää osoittaa että kaikille a,b,c>-1, joille a+b+c=0, pätee
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c) >= ab + bc + ca + 3.
Käytetään neliöjuurelle arviota sqrt(1+x) >= 1 + 1/2*(x-x^2):
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c)
>= 3 + 1/2(a+b+c) - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2).
Riittää siis osoittaa, että
a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca) <= 0.
Mutta tämähän on itseasiassa yhtälö:
0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca).- Anonyymi
Jos a+b+c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 + b^2 +c^2 = - 2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2 >= 0. Siis ab+bc+ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Huomaa kolmonen tuolla 4. rivin oikealla puollella. Se tulee siitä kun
xy+yz+zx
= (1+a)(1+b) + (1+b)(1+c) + (1+c)(1+a)
= 3 + 2*(a+b+c) + ab+bc+ca
= 3 + ab+bc+ca.
Se kumoutuu 8. rivin kolmosen kanssa ja päädytään 10. riviin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Todistettavan epäyhtälön oikea puoli on ab + bc + ca + 3, joten ihan oikeaa asiaa on todistettu. Toki on helppo nähdä, että alkuperäisen epäyhtälön oikea puoli on enimmillään 3, mutta tämä ei tee todistuksesta väärää.
- Anonyymi
Sait tuossa tuloksen, että
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c ) >= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
Mutta a^2 + b^2 + c^2 > = 0
joten tuo neliöjuurien summa > = luku, joka on korkeintaan 3.
Dixi - Anonyymi
Olet todistanut, että
sqrt(x)+sqrt(y) + sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) + (y-1) (z-1) + (z-1) (x-1) + 3 =
6+xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z = xy + yz + zx + 6 - 2*3 = xy + yz + zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olet todistanut, että
sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) (y-1) (z-1) (z-1) (x-1) 3 =
6 xy yz zx - 2x - 2y - 2z = xy yz zx 6 - 2*3 = xy yz zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymiMutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1+x) >= 1 + 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1 x) >= 1 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on.Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 + sqrt(x) + sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x+y+z = 3, saadaan
x^2+y^2+z^2 + 2*( sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) ) >= 3 (x+y+z) = (x+y+z)^2 =
x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 yz + 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiO n n e a v a a n k e v ä ä n y l i o p p i l a s m a t e m a t i i k a n k i r j o i t u k s i i n
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiAi niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta, - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta,C-Sch ei oikein ole tuon muotoinen. Enpä usko että siitä löytyisi todistus. Vaan eihän sitä koskaan tiedä mitä joku saattaa keksiä!
- Anonyymi
🍑🍒🍑🍒🍑🍒🍑🍒🍑
❤️ Kuumat tytöt odottavat sinua -> https://us4.fun/kissgirl?18306063
🔞💋❤️💋❤️💋🔞💋❤️💋❤️💋🔞
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Naiset miltä kiihottuminen teissä tuntuu
Kun miehellä tulee seisokki ja ja sellainen kihmelöinti sinne niin mitä naisessa köy? :)765715Haistoin ensin tuoksusi
Käännyin katsomaan oletko se todellakin sinä , otin askeleen taakse ja jähmetyin. Moikattiin naamat peruslukemilla. Tu242506- 261997
- 601738
- 121601
Miksi kohtelit minua kuin tyhmää koiraa?
Rakastin sinua mutta kohtelit huonosti. Tuntuu ala-arvoiselta. Miksi kuvittelin että joku kohtelisi minua reilusti. Hais51398- 91307
Kyllä poisto toimii
Esitin illan suussa kysymyksen, joka koska palstalla riehuvaa häirikköä ja tiedustelin, eikö sitä saa julistettua pannaa141301"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu"..
"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu".. Näin puhui jo aikoinaan Jeesus, kun yksi hänen opetuslapsistaan löi miekalla71249- 141203