x,y ja z ovat positiivisia reaalilukuja ja ja x+y+z = 3 ..
Todista että
sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= xy + yz + zx .
Todista epäyhtälö
Anonyymi-ap
12
441
Vastaukset 12
- Anonyymi
Tehdään muuttujanvaihdos x=1+a, y=1+b, z=1+c, jotta "tarkasteltava kohta" (eli se, jossa epäyhtälö on yhtälö), siirtyy origoon.
Nyt pitää osoittaa että kaikille a,b,c>-1, joille a+b+c=0, pätee
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c) >= ab + bc + ca + 3.
Käytetään neliöjuurelle arviota sqrt(1+x) >= 1 + 1/2*(x-x^2):
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c)
>= 3 + 1/2(a+b+c) - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2).
Riittää siis osoittaa, että
a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca) <= 0.
Mutta tämähän on itseasiassa yhtälö:
0 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab + bc + ca).- Anonyymi
Jos a+b+c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 + b^2 +c^2 = - 2(ab+bc+ca)
a^2+b^2+c^2 >= 0. Siis ab+bc+ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Huomaa kolmonen tuolla 4. rivin oikealla puollella. Se tulee siitä kun
xy+yz+zx
= (1+a)(1+b) + (1+b)(1+c) + (1+c)(1+a)
= 3 + 2*(a+b+c) + ab+bc+ca
= 3 + ab+bc+ca.
Se kumoutuu 8. rivin kolmosen kanssa ja päädytään 10. riviin. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Jos a b c = 0 kuten sinulla on, niin sen neliökin = 0.
a^2 b^2 c^2 = - 2(ab bc ca)
a^2 b^2 c^2 >= 0. Siis ab bc ca <= 0
Olet todistanut että sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= luku, joka on < = 3 etkä sitä mitä pyydettiin.Todistettavan epäyhtälön oikea puoli on ab + bc + ca + 3, joten ihan oikeaa asiaa on todistettu. Toki on helppo nähdä, että alkuperäisen epäyhtälön oikea puoli on enimmillään 3, mutta tämä ei tee todistuksesta väärää.
- Anonyymi
Sait tuossa tuloksen, että
sqrt(1+a) + sqrt(1+b) + sqrt(1+c ) >= 3 - 1/2*(a^2+b^2+c^2)
Mutta a^2 + b^2 + c^2 > = 0
joten tuo neliöjuurien summa > = luku, joka on korkeintaan 3.
Dixi - Anonyymi
Olet todistanut, että
sqrt(x)+sqrt(y) + sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) + (y-1) (z-1) + (z-1) (x-1) + 3 =
6+xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z = xy + yz + zx + 6 - 2*3 = xy + yz + zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Olet todistanut, että
sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) >= ((x-1)(y-1) (y-1) (z-1) (z-1) (x-1) 3 =
6 xy yz zx - 2x - 2y - 2z = xy yz zx 6 - 2*3 = xy yz zx
Oikealtahan tuo näyttää.
Aloittaja-anonyymiMutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1+x) >= 1 + 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on. - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mutta lukijoille voisi selventää mistä sait tuon arvion
sqrt(1 x) >= 1 1/2 (x-x^2). Kyllähän se tosi on.Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Sen voi ihan funktiota tutkimalla. Tavallaan laitetaan suurin mahdollinen paraabeli neliöjuuren alle (koskettaa -1:ssä ja 0:ssa).
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 + sqrt(x) + sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x+y+z = 3, saadaan
x^2+y^2+z^2 + 2*( sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) ) >= 3 (x+y+z) = (x+y+z)^2 =
x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 yz + 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymi - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiO n n e a v a a n k e v ä ä n y l i o p p i l a s m a t e m a t i i k a n k i r j o i t u k s i i n
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Tässä toinen todistus:
Keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
x^2 sqrt(x) sqrt(x) >= 3 x. Samanlainen epäyhtälö pätee muuttujille y ja z. Laskemalla nämä yhteen ja muistaen, että x y z = 3, saadaan
x^2 y^2 z^2 2*( sqrt(x) sqrt(y) sqrt(z) ) >= 3 (x y z) = (x y z)^2 =
x^2 y^2 z^2 2 x y 2 yz 2 zx
mot
Aloittaja-anonyymiAi niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta, - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ai niin AM-GM, ja kuutiojuuren alle tulee x^3. Sehän onkin kätevää.
Liekö koko lausekkeelle jotain Cauchy-Schwarz tms. tyyppistä todistusta (että ei yksittäisiä termejä arvioida)? Oikea puoli näyttää painotetulta keskiarvolta,C-Sch ei oikein ole tuon muotoinen. Enpä usko että siitä löytyisi todistus. Vaan eihän sitä koskaan tiedä mitä joku saattaa keksiä!
Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1861573
- 851352
- 1041058
- 48899
Suhde sinuun on ollut yhtä draamaa
ilman draamaa ja suhdetta. 😅 Oikeasti ei naurata. Nainen, olet pitänyt minut pihdeissäsi. Tunne on välillä vahva ja su40783Leski ja Volvomies
Mitä se Volvomies kulkee sen nuoren lesken luona.. joko leski surunsa surrut ja uusi jo katottu..10767Haluatko, että kierrän sinut kauempaa
Kun näyttää, ettet minusta innostu. Voisit edes täällä kertoa selvät sävelet.83646Joko seuraava hallitus uskaltaa puuttua 7,5 viikon vuosilomiin
Onhan se törkeää eriarvoisuutta ja verovarojen törkeää tuhlausta.105627Yritit nainen sammuttaa kiinnostukseni
mutta se tehtävä epäonnistui. Se oli sitä bitch -mode vaihetta silloin. Lopputulos on nyt se, että rakastan sinua tällä30621Kyllä mä tiedän et me kuulutaan yhteen ja se on tähtiin kirjoitettu!!
En vain halua satuttaa sua. Olen aivan perseestä epävakaan ja ADHD oireiluin vuoksi. Ja kun olisi aika "vapauttaa" ne su45577