Kaikki äärettömän pinnan laatoittamat Hat-laatoitukset muodostuvat seitsemän H8 superlaatan muodostamista "kuusikulmioista". Yksi on keskellä ja muut 6 sen ympärillä.
Jokainen H8 laatta on samanaikaisesti jonkun "kuusikulmion" keskipisteenä ja kuuden muun H8:n ympärillä. Näitä H8-superlaattojen muodostamia erilaisia äärettömän pinnan laatoittavia "kuusikulmiota" on vain 18 kpl. Yli 90 % vaihtoehdoista on karsiutunut pois.
Jos laatoitus on piirretty siten, että kaikkien H8:ien keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on kello 1, 3, 5, 7, 9 tai 11 kohdalla, niin jokainen seitsemästä H8:sta muodostuvan "kuusikulmion" rakenne voidaan määritellä täysin yksikäsitteisesti 7:n peilikuvalaatan käännöskulmien listana. Listaan laitetaan ensimmäiseksi keskipiste ja sitten muut oikeasta yläkulmasta alkaen myötäpäivään kiertämällä.
Käännetään (ohjelmalla tai paperilapuilla) kaikki muodostetut listat ( "kuusikulmiot") asentoon, jossa keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on vaakasuorassa (kello 3). Saadaan 18 erilaista normalisoitua listaa:
[3, 1, 1, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 1, 7, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 1, 11, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 1] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 5] ,
[3, 5, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 5, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 11, 1, 7, 11, 9, 11] ,
[3, 11, 1, 11, 3, 1, 11] ,
Valitaan keskelle joku noista "kuusikulmioista" ja yritetään ympäröidä se H8-laatoilla. Tähän tarvitan aina 12 kpl H8-laattaa ja sitten jokaiseen uuteen kierrokseen aina kuusi laattaa enemmän. Vai tuleeko isoissa laatoituksissa jossakin vaiheessa pieniä poikkeuksia? Alkaa muodostua lähes täydellinen iso kuusikulmio.
Jokaisen lisätyn H8-laatan on oltava sellaisessa käännöskulmassa, ettei mihinkään synny tai ole syntymässä epäkelpoa listarakennetta. Useita samanaikaisia rajoituksia monelta eri suunnalta. Tutkikaa jonkun ison varmasti oikein tehdyn Hat-laatoituksen peilikuvalaattojen käännöskulmia ja ihmetelkää, miten kaikki toimii aina joka kohdassa.
Löytyykö netistä tieto, kuinka monella eri tavalla (renkaalla) 7:n H8-laatan muodostamat "kuusikulmiot" voidaan ympäröidä äärettömässä laatoituksessa? Eli sarja 0, 18, ...?
Tuolta löytyy vaikkapa Inkscapeen .svg muodossa olevia H8-laattoja ja niiden muodostamia laatoituksia:
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/h7h8.html
Painakaa 3 tai 4 kertaa Build Supertiles ja sitten Save SVG. Ja InkScapessa File/Import ja Edit/Preferencies/Behaviour/Steps 60 degree. Ja Object /UnGroup.
Erilaisten jaksottomien Hat-laatoitusten laatiminen H8-superlaatoilla.
6
376
Vastaukset
- Anonyymi
Hat-superlaatan peilikuva muodostaa aina "kuusikulmion" ja käännöskulmista muodostuu todellakin täydellinen iso kuusikulmio. H8-laatoilla voidaan ympäröidä jokainen muodosunut lista noudattaen sarjakehitelmää 0, 18,.... Tällöin ei esiinny epäkelpoa rakennetta. Hat-laattojen eri rengasominaisuuksista johtuen saadaan tosiaan 18 erilaista listaa. Nyt pitää muistaa, että superlaatta on aina yksikäsitteisesti supersymmetrinen peilikuva akselinsa suhteen. Nyt jos rajoitutaan rekursiivisiin H8-laattojen muodostamaan aliavaruuteen, niin voidaan lähestyä itse ongelmaa. Nyt lista [3,11,1,7,11,9,11] osoittautuu läpimenon kannalta helpoimmaksi reitiksi. Lisäksi kannattaa käyttää pallokoordinaatistoa. Tästä laskemalla sain 1024 eri tapaa, miten "kuusikulmiot" voidaan ympäröidä äärettömässä laatoituksessa.
- Anonyymi
Kusikulmiotkin ovat mielenkiintoisia!
- Anonyymi
Voisiko joku alan matemaatikko selvittää, miksi seitsemästä H8:sta laadittu "kuusikulmio"
[3,5,1,11,11,9,5]
voidaan ympäröidä yli 30:llä kerroksella Hat-laattoja ennen virheellisyyden paljastumista? Vastaa n. 16 kerrosta H8 superlaattoja? Onko joku ennätys? Vaikea tutkia miljoonia laatoituksia, jos niiden laatoittavuutta ei käytännössä pysty oiken mitenkän varmistamaan.
Helppo kokeilla esim. selaimessa pyörivällä nopealla SAT Solverilla:
https://www.nhatcher.com/hats/
Ohjelmalle riittää laittaa tarkasti oikeille paikoilleen 4 peilikuvalaattaa [3, 5, *,11, 11, *, *] ja niiden väliin "sovituspaloiksi" vähintään kaksi kaksi toisiaan koskettavaa tavallista laattaa. SAT Solver löytää varmasti sen ainoan mahdollisen oikean aloituksen.
Tehtyä tutkittavan laatoituksen alkua ei pysty tallentamaan, joten sen tekeminen kannattaa optimoida. Laatoitettava ikkuna kannattaa säätää lähes neliömäiseksi. Ei tule miljoonia turhia lausekkeita. Gridiä on turha näyttää. Ctrl a:lla voi valita koko laatoituksen alun ja siirtää sen mahdollisimman keskelle ikkunaa. Kokeilkaa aluksi pienellä (<25) Columns arvolla, jotta voitte todeta tekemänne laatoituksen alun olevan varmasti oikea. Tai tehkää tahallisesti pieniä virheitä ja todetkaa ohjeman ilmoittavan heti Failed: unsat.- Anonyymi
Säädin laatoitettavan alueen neliön muotoiseksi ihan mittanauhan avulla ja laitoin keskimmäisen peilikuvalaatan mahdollisimman keskelle tätä aluetta.
Column-arvolla 125 laatoittaa koko alueen n. 10000:lla Hat-laatalla. Isommilla arvoilla Failed: unsat. Ei riippune mitenkään selaimesta tai näyttöpäätteen koosta tai tarkkuudesta.
Yritän laskea InkScapeen siirretyn Screenshotista Hat-laattakerrosten määrän piirtämällä kuvan päälle Bezier- käyrällä ohuita renkaita. Alku sujuu nopeasti, mutta hidastuu renkaiden koon kasvaessa. Ennen klikkausta on joka kerta katsottava tarkkaan kuuluuko laatta edelliseen renkaaseen. Hidasta kiemurtelua. Saattaa mennä useita tunteja.
Jos laattoja on 100x100 matriisi, niin ei tule tietystikään 46 ehjää kierrosta. Ehkä n. 30.
Neliömäiselle alueelle mahtuvien Hat-laattojen määrän voi laskea Column-arvon (c) funktiona kaavalla:
c^2*3*sqrt(3)/8.
- Anonyymi
Erilaisia mahdollisuuksia ympäröidä 18 kuusikulmiota kahdellatoista H8-laatalla on yhteensä 47 kpl. Suuri osa (9 kpl) voidaan ympäröidä vain yhdellä tavalla.
Muutin kulmat (kellonajat) (1,3,5,7,9,11) hiukan helpommin laskettaviksi ja tulostettaviksi (0,1,2,3,4,5).
[0,0,2,2,4,2] : [0,5,4,5,0,1,0,1,2,3,0,5]
[0,0,3,5,4,2] : [0,5,2,1,1,1,2,3,3,3,0,5],[0,5,2,4,4,4,2,3,3,3,0,5]
[0,0,5,1,0,2] : [0,5,2,4,0,2,0,1,3,1,2,1]
[0,0,5,5,4,2] : [0,5,2,4,0,2,0,1,5,3,0,5]
[1,0,3,1,2,3] : [0,1,5,2,4,2,2,2,4,0,5,1],[0,1,5,2,4,3,5,5,4,0,5,1],[0,1,5,2,4,5,5,1,0,0,5,1],
[0,1,5,2,4,5,5,5,4,0,5,1],[2,1,5,2,4,3,5,1,0,2,1,3],[2,1,5,2,4,5,5,1,0,2,1,3]
[1,0,5,1,2,3] : [0,1,5,4,0,2,0,1,3,3,5,1]
[1,3,2,2,4,2] : [3,1,0,4,2,4,0,1,2,3,0,5]
[1,3,5,1,0,2] : [3,1,0,4,3,2,0,1,3,1,2,1],[3,1,0,4,5,4,0,1,3,1,0,5],[3,1,0,4,5,4,0,1,3,1,2,1]
[1,3,5,5,4,2] : [3,1,0,4,3,2,0,1,5,3,0,5],[3,1,0,4,5,4,0,1,5,3,0,5]
[1,5,0,1,3,0] : [2,0,0,0,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,1,3,3,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,1,3,5,4,0,5,1,2,5,1,0],
[2,1,3,5,4,0,5,1,2,5,1,2],[2,2,0,0,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,3,3,3,2,4,3,1,2,5,1,2],
[5,5,0,0,2,4,3,1,2,5,1,5]
[1,5,0,1,3,2] : [3,1,0,0,2,4,3,1,2,1,3,5]
[2,0,3,5,4,2] : [4,1,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,3,3,3,2,3],
[4,1,2,4,4,4,2,3,3,3,2,3],[4,3,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,3,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3]
[2,0,5,1,0,2] : [4,1,2,4,0,2,0,1,3,1,2,3]
[3,3,2,2,4,2] : [3,5,2,1,1,1,0,1,2,3,0,5],[3,5,2,4,2,4,0,1,2,3,0,5],[3,5,2,4,4,4,0,1,2,3,0,5],
[3,5,4,5,3,1,0,1,2,3,0,5]
[3,3,5,1,0,2] : [3,5,2,4,3,2,0,1,3,1,2,1]
[3,3,5,5,4,2] : [3,5,2,4,3,2,0,1,5,3,0,5],[3,5,2,4,5,4,0,1,5,3,0,5]
[5,0,3,5,4,5] : [4,1,5,2,4,2,2,0,0,0,5,3],[4,1,5,2,4,2,2,3,3,3,5,3],[4,1,5,4,4,4,2,0,0,0,5,3],
[4,1,5,4,4,4,2,3,3,3,5,3],[4,3,5,1,1,1,2,0,0,0,5,3],[4,3,5,1,1,1,2,0,4,0,5,3]
[5,0,5,1,0,5] : [4,1,5,4,0,2,0,1,3,1,5,3]
Kaikki nuo ja vain nuo löytyvät myös kaikista isoista vamasti oikeista Hat-laatoituksista.- Anonyymi
Kuusikulmio [2,0,3,5,4,2] voidaankin ympäröidä neljällä eri tavalla:
[2,0,3,5,4,2] : [4,1,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,3,3,3,2,3],[4,1,2,4,4,4,2,0,0,0,2,3]
Ilman neljättä tapaa laatoituksesta alkoi tulla liikaa virheitä eikä sitä voinut jatkaa.
Helpointa on yksinkertaisesti yrittää sijoittaa jokaisen tunnetun n-sivuisen kuusikulmion sisimmän 1-sivuisen kuusikulmion nurkkiin (6 kpl) näitä samoja tunnettuja n-sivuisia kuusikulmiota. Niistä muodostuu yhdessä uusi (n+1)-sivuinen kuusikulmio. Päällekkäin menevät uuden renkaan osat on oltava samoja.
Kaikki väärät vaihtoehdot karsiutuvat jossakin vaiheessa pois. .
Jokaisen mahdollisen uuden vaihtoehdon on aina oltava mukana. Jos joku välttämätön puuttuu, niin se aiheuttaa jossakin vaiheessa ketjureaktiona kaikkien vaihtoehtojen karsiutumisen pois.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa kansainvälinen etsintäkuulutus Poliis
Poliisi: Kymmenhenkinen pohjalaisperhe ollut vuoden kateissa – kansainvälinen etsintäkuulutus Poliisi pyytää yleisön apu2722410Tässä totuus jälleensyntymisestä - voit yllättyä
Jumalasta syntyminen Raamatussa ei tässä Joh. 3:3. ole alkukielen mukaan ollenkaan sanaa uudestisyntyminen, vaan pelkä2991299- 1081201
En kadu sitä, että kohtasin hänet
mutta kadun sitä, että aloin kirjoittamaan tänne palstalle. Jollain tasolla se saa vain asiat enemmän solmuun ja tekee n831201Oisko mitenkään mahdollisesti ihan pikkuisen ikävä..
...edes ihan pikkuisen pikkuisen ikävä sulla mua??.. Että miettisit vaikka vähän missähän se nyt on ja oiskohan hauska n581155Noniin rakas
Annetaanko pikkuhiljaa jo olla, niin ehkä säilyy vienot hymyt kohdatessa. En edelleenkään halua sulle tai kenellekään mi811096- 44962
Helena Koivu : Ja kohta mennään taas
Kohta kohtalon päivä lähestyy kuinka käy Helena Koivulle ? Kenen puolella olet? Jos vastauksesi on Helenan niin voisi67897Au pair -työ Thaimaassa herättää kiivasta keskustelua somessa: "4cm torakoita, huumeita, tauteja..."
Au pairit -sarjan uusi kausi herättää keskustelua Suomi24 Keskustelupalvelussa. Mielipiteitä ladataan puolesta ja vastaa22860- 33767