Kaikki äärettömän pinnan laatoittamat Hat-laatoitukset muodostuvat seitsemän H8 superlaatan muodostamista "kuusikulmioista". Yksi on keskellä ja muut 6 sen ympärillä.
Jokainen H8 laatta on samanaikaisesti jonkun "kuusikulmion" keskipisteenä ja kuuden muun H8:n ympärillä. Näitä H8-superlaattojen muodostamia erilaisia äärettömän pinnan laatoittavia "kuusikulmiota" on vain 18 kpl. Yli 90 % vaihtoehdoista on karsiutunut pois.
Jos laatoitus on piirretty siten, että kaikkien H8:ien keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on kello 1, 3, 5, 7, 9 tai 11 kohdalla, niin jokainen seitsemästä H8:sta muodostuvan "kuusikulmion" rakenne voidaan määritellä täysin yksikäsitteisesti 7:n peilikuvalaatan käännöskulmien listana. Listaan laitetaan ensimmäiseksi keskipiste ja sitten muut oikeasta yläkulmasta alkaen myötäpäivään kiertämällä.
Käännetään (ohjelmalla tai paperilapuilla) kaikki muodostetut listat ( "kuusikulmiot") asentoon, jossa keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on vaakasuorassa (kello 3). Saadaan 18 erilaista normalisoitua listaa:
[3, 1, 1, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 1, 7, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 1, 11, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 1] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 5] ,
[3, 5, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 5, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 11, 1, 7, 11, 9, 11] ,
[3, 11, 1, 11, 3, 1, 11] ,
Valitaan keskelle joku noista "kuusikulmioista" ja yritetään ympäröidä se H8-laatoilla. Tähän tarvitan aina 12 kpl H8-laattaa ja sitten jokaiseen uuteen kierrokseen aina kuusi laattaa enemmän. Vai tuleeko isoissa laatoituksissa jossakin vaiheessa pieniä poikkeuksia? Alkaa muodostua lähes täydellinen iso kuusikulmio.
Jokaisen lisätyn H8-laatan on oltava sellaisessa käännöskulmassa, ettei mihinkään synny tai ole syntymässä epäkelpoa listarakennetta. Useita samanaikaisia rajoituksia monelta eri suunnalta. Tutkikaa jonkun ison varmasti oikein tehdyn Hat-laatoituksen peilikuvalaattojen käännöskulmia ja ihmetelkää, miten kaikki toimii aina joka kohdassa.
Löytyykö netistä tieto, kuinka monella eri tavalla (renkaalla) 7:n H8-laatan muodostamat "kuusikulmiot" voidaan ympäröidä äärettömässä laatoituksessa? Eli sarja 0, 18, ...?
Tuolta löytyy vaikkapa Inkscapeen .svg muodossa olevia H8-laattoja ja niiden muodostamia laatoituksia:
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/h7h8.html
Painakaa 3 tai 4 kertaa Build Supertiles ja sitten Save SVG. Ja InkScapessa File/Import ja Edit/Preferencies/Behaviour/Steps 60 degree. Ja Object /UnGroup.
Erilaisten jaksottomien Hat-laatoitusten laatiminen H8-superlaatoilla.
6
385
Vastaukset
- Anonyymi
Hat-superlaatan peilikuva muodostaa aina "kuusikulmion" ja käännöskulmista muodostuu todellakin täydellinen iso kuusikulmio. H8-laatoilla voidaan ympäröidä jokainen muodosunut lista noudattaen sarjakehitelmää 0, 18,.... Tällöin ei esiinny epäkelpoa rakennetta. Hat-laattojen eri rengasominaisuuksista johtuen saadaan tosiaan 18 erilaista listaa. Nyt pitää muistaa, että superlaatta on aina yksikäsitteisesti supersymmetrinen peilikuva akselinsa suhteen. Nyt jos rajoitutaan rekursiivisiin H8-laattojen muodostamaan aliavaruuteen, niin voidaan lähestyä itse ongelmaa. Nyt lista [3,11,1,7,11,9,11] osoittautuu läpimenon kannalta helpoimmaksi reitiksi. Lisäksi kannattaa käyttää pallokoordinaatistoa. Tästä laskemalla sain 1024 eri tapaa, miten "kuusikulmiot" voidaan ympäröidä äärettömässä laatoituksessa.
- Anonyymi
Kusikulmiotkin ovat mielenkiintoisia!
- Anonyymi
Voisiko joku alan matemaatikko selvittää, miksi seitsemästä H8:sta laadittu "kuusikulmio"
[3,5,1,11,11,9,5]
voidaan ympäröidä yli 30:llä kerroksella Hat-laattoja ennen virheellisyyden paljastumista? Vastaa n. 16 kerrosta H8 superlaattoja? Onko joku ennätys? Vaikea tutkia miljoonia laatoituksia, jos niiden laatoittavuutta ei käytännössä pysty oiken mitenkän varmistamaan.
Helppo kokeilla esim. selaimessa pyörivällä nopealla SAT Solverilla:
https://www.nhatcher.com/hats/
Ohjelmalle riittää laittaa tarkasti oikeille paikoilleen 4 peilikuvalaattaa [3, 5, *,11, 11, *, *] ja niiden väliin "sovituspaloiksi" vähintään kaksi kaksi toisiaan koskettavaa tavallista laattaa. SAT Solver löytää varmasti sen ainoan mahdollisen oikean aloituksen.
Tehtyä tutkittavan laatoituksen alkua ei pysty tallentamaan, joten sen tekeminen kannattaa optimoida. Laatoitettava ikkuna kannattaa säätää lähes neliömäiseksi. Ei tule miljoonia turhia lausekkeita. Gridiä on turha näyttää. Ctrl a:lla voi valita koko laatoituksen alun ja siirtää sen mahdollisimman keskelle ikkunaa. Kokeilkaa aluksi pienellä (<25) Columns arvolla, jotta voitte todeta tekemänne laatoituksen alun olevan varmasti oikea. Tai tehkää tahallisesti pieniä virheitä ja todetkaa ohjeman ilmoittavan heti Failed: unsat.- Anonyymi
Säädin laatoitettavan alueen neliön muotoiseksi ihan mittanauhan avulla ja laitoin keskimmäisen peilikuvalaatan mahdollisimman keskelle tätä aluetta.
Column-arvolla 125 laatoittaa koko alueen n. 10000:lla Hat-laatalla. Isommilla arvoilla Failed: unsat. Ei riippune mitenkään selaimesta tai näyttöpäätteen koosta tai tarkkuudesta.
Yritän laskea InkScapeen siirretyn Screenshotista Hat-laattakerrosten määrän piirtämällä kuvan päälle Bezier- käyrällä ohuita renkaita. Alku sujuu nopeasti, mutta hidastuu renkaiden koon kasvaessa. Ennen klikkausta on joka kerta katsottava tarkkaan kuuluuko laatta edelliseen renkaaseen. Hidasta kiemurtelua. Saattaa mennä useita tunteja.
Jos laattoja on 100x100 matriisi, niin ei tule tietystikään 46 ehjää kierrosta. Ehkä n. 30.
Neliömäiselle alueelle mahtuvien Hat-laattojen määrän voi laskea Column-arvon (c) funktiona kaavalla:
c^2*3*sqrt(3)/8.
- Anonyymi
Erilaisia mahdollisuuksia ympäröidä 18 kuusikulmiota kahdellatoista H8-laatalla on yhteensä 47 kpl. Suuri osa (9 kpl) voidaan ympäröidä vain yhdellä tavalla.
Muutin kulmat (kellonajat) (1,3,5,7,9,11) hiukan helpommin laskettaviksi ja tulostettaviksi (0,1,2,3,4,5).
[0,0,2,2,4,2] : [0,5,4,5,0,1,0,1,2,3,0,5]
[0,0,3,5,4,2] : [0,5,2,1,1,1,2,3,3,3,0,5],[0,5,2,4,4,4,2,3,3,3,0,5]
[0,0,5,1,0,2] : [0,5,2,4,0,2,0,1,3,1,2,1]
[0,0,5,5,4,2] : [0,5,2,4,0,2,0,1,5,3,0,5]
[1,0,3,1,2,3] : [0,1,5,2,4,2,2,2,4,0,5,1],[0,1,5,2,4,3,5,5,4,0,5,1],[0,1,5,2,4,5,5,1,0,0,5,1],
[0,1,5,2,4,5,5,5,4,0,5,1],[2,1,5,2,4,3,5,1,0,2,1,3],[2,1,5,2,4,5,5,1,0,2,1,3]
[1,0,5,1,2,3] : [0,1,5,4,0,2,0,1,3,3,5,1]
[1,3,2,2,4,2] : [3,1,0,4,2,4,0,1,2,3,0,5]
[1,3,5,1,0,2] : [3,1,0,4,3,2,0,1,3,1,2,1],[3,1,0,4,5,4,0,1,3,1,0,5],[3,1,0,4,5,4,0,1,3,1,2,1]
[1,3,5,5,4,2] : [3,1,0,4,3,2,0,1,5,3,0,5],[3,1,0,4,5,4,0,1,5,3,0,5]
[1,5,0,1,3,0] : [2,0,0,0,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,1,3,3,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,1,3,5,4,0,5,1,2,5,1,0],
[2,1,3,5,4,0,5,1,2,5,1,2],[2,2,0,0,2,4,3,1,2,5,1,2],[2,3,3,3,2,4,3,1,2,5,1,2],
[5,5,0,0,2,4,3,1,2,5,1,5]
[1,5,0,1,3,2] : [3,1,0,0,2,4,3,1,2,1,3,5]
[2,0,3,5,4,2] : [4,1,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,3,3,3,2,3],
[4,1,2,4,4,4,2,3,3,3,2,3],[4,3,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,3,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3]
[2,0,5,1,0,2] : [4,1,2,4,0,2,0,1,3,1,2,3]
[3,3,2,2,4,2] : [3,5,2,1,1,1,0,1,2,3,0,5],[3,5,2,4,2,4,0,1,2,3,0,5],[3,5,2,4,4,4,0,1,2,3,0,5],
[3,5,4,5,3,1,0,1,2,3,0,5]
[3,3,5,1,0,2] : [3,5,2,4,3,2,0,1,3,1,2,1]
[3,3,5,5,4,2] : [3,5,2,4,3,2,0,1,5,3,0,5],[3,5,2,4,5,4,0,1,5,3,0,5]
[5,0,3,5,4,5] : [4,1,5,2,4,2,2,0,0,0,5,3],[4,1,5,2,4,2,2,3,3,3,5,3],[4,1,5,4,4,4,2,0,0,0,5,3],
[4,1,5,4,4,4,2,3,3,3,5,3],[4,3,5,1,1,1,2,0,0,0,5,3],[4,3,5,1,1,1,2,0,4,0,5,3]
[5,0,5,1,0,5] : [4,1,5,4,0,2,0,1,3,1,5,3]
Kaikki nuo ja vain nuo löytyvät myös kaikista isoista vamasti oikeista Hat-laatoituksista.- Anonyymi
Kuusikulmio [2,0,3,5,4,2] voidaankin ympäröidä neljällä eri tavalla:
[2,0,3,5,4,2] : [4,1,2,1,1,1,2,0,0,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,0,4,0,2,3],[4,1,2,1,1,1,2,3,3,3,2,3],[4,1,2,4,4,4,2,0,0,0,2,3]
Ilman neljättä tapaa laatoituksesta alkoi tulla liikaa virheitä eikä sitä voinut jatkaa.
Helpointa on yksinkertaisesti yrittää sijoittaa jokaisen tunnetun n-sivuisen kuusikulmion sisimmän 1-sivuisen kuusikulmion nurkkiin (6 kpl) näitä samoja tunnettuja n-sivuisia kuusikulmiota. Niistä muodostuu yhdessä uusi (n+1)-sivuinen kuusikulmio. Päällekkäin menevät uuden renkaan osat on oltava samoja.
Kaikki väärät vaihtoehdot karsiutuvat jossakin vaiheessa pois. .
Jokaisen mahdollisen uuden vaihtoehdon on aina oltava mukana. Jos joku välttämätön puuttuu, niin se aiheuttaa jossakin vaiheessa ketjureaktiona kaikkien vaihtoehtojen karsiutumisen pois.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ikävöin sinua kokoyön!
En halua odottaa, että voisin näyttää sinulle kuinka paljon rakastan sinua. Toivon, että uskot, että olen varsin hullun533906KALAJOEN UIMAVALVONTA
https://www.kalajokiseutu.fi/artikkeli/ei-tulisi-mieleenkaan-jattaa-pienta-yksinaan-hiekkasarkkien-valvomattomalla-uimar912310Jos sinä olisit pyrkimässä elämääni takaisin
Arvelisin sen johtuvan siitä, että olisit taas polttanut jonkun sillan takanasi. Ei taida löytyä enää kyliltä naista, jo451982- 221773
- 281516
Kadonnut poika hukkunut lietteeseen mitä kalajoella nyt on?
Jätelautta ajautunut merelle ja lapsi uponnut jätelautan alle?261511- 151162
- 311118
- 1091074
Emme voi elää velaksi, sanoi Riikka
Valtionvelan odotetaan nousevan 86,3 prosenttiin bruttokansantuotteesta vielä kuluvan vuoden aikana. https://www.iltale791032