Erilaisten jaksottomien Hat-laatoitusten laatiminen H8-superlaatoilla.

Kaikki äärettömän pinnan laatoittamat Hat-laatoitukset muodostuvat seitsemän H8 superlaatan muodostamista "kuusikulmioista". Yksi on keskellä ja muut 6 sen ympärillä.

Jokainen H8 laatta on samanaikaisesti jonkun "kuusikulmion" keskipisteenä ja kuuden muun H8:n ympärillä. Näitä H8-superlaattojen muodostamia erilaisia äärettömän pinnan laatoittavia "kuusikulmiota" on vain 18 kpl. Yli 90 % vaihtoehdoista on karsiutunut pois.

Jos laatoitus on piirretty siten, että kaikkien H8:ien keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on kello 1, 3, 5, 7, 9 tai 11 kohdalla, niin jokainen seitsemästä H8:sta muodostuvan "kuusikulmion" rakenne voidaan määritellä täysin yksikäsitteisesti 7:n peilikuvalaatan käännöskulmien listana. Listaan laitetaan ensimmäiseksi keskipiste ja sitten muut oikeasta yläkulmasta alkaen myötäpäivään kiertämällä.

Käännetään (ohjelmalla tai paperilapuilla) kaikki muodostetut listat ( "kuusikulmiot") asentoon, jossa keskellä olevan peilikuvalaatan pitkä sivu on vaakasuorassa (kello 3). Saadaan 18 erilaista normalisoitua listaa:

[3, 1, 1, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 1, 1, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 1, 7, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 1, 11, 3, 5, 7] ,
[3, 3, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 3, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 1] ,
[3, 3, 11, 1, 3, 7, 5] ,
[3, 5, 1, 7, 11, 9, 5] ,
[3, 5, 1, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 5, 5, 9, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 3, 1, 5] ,
[3, 7, 7, 11, 11, 9, 5] ,
[3, 11, 1, 7, 11, 9, 11] ,
[3, 11, 1, 11, 3, 1, 11] ,

Valitaan keskelle joku noista "kuusikulmioista" ja yritetään ympäröidä se H8-laatoilla. Tähän tarvitan aina 12 kpl H8-laattaa ja sitten jokaiseen uuteen kierrokseen aina kuusi laattaa enemmän. Vai tuleeko isoissa laatoituksissa jossakin vaiheessa pieniä poikkeuksia? Alkaa muodostua lähes täydellinen iso kuusikulmio.

Jokaisen lisätyn H8-laatan on oltava sellaisessa käännöskulmassa, ettei mihinkään synny tai ole syntymässä epäkelpoa listarakennetta. Useita samanaikaisia rajoituksia monelta eri suunnalta. Tutkikaa jonkun ison varmasti oikein tehdyn Hat-laatoituksen peilikuvalaattojen käännöskulmia ja ihmetelkää, miten kaikki toimii aina joka kohdassa.

Löytyykö netistä tieto, kuinka monella eri tavalla (renkaalla) 7:n H8-laatan muodostamat "kuusikulmiot" voidaan ympäröidä äärettömässä laatoituksessa? Eli sarja 0, 18, ...?

Tuolta löytyy vaikkapa Inkscapeen .svg muodossa olevia H8-laattoja ja niiden muodostamia laatoituksia:

https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/h7h8.html

Painakaa 3 tai 4 kertaa Build Supertiles ja sitten Save SVG. Ja InkScapessa File/Import ja Edit/Preferencies/Behaviour/Steps 60 degree. Ja Object /UnGroup.