Kts. esim. Wikipedia (eng.) : gradient.
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Vastaukset 15
Vanhimmat
Eli määrittelit n=3, mutta unohdit sen samalla?
En ymmärrä kommenttiasi. Selitän vielä lyhyesti, mitä kysyn.
f on määritelty R^3-avaruudessa, p on R^3:n vektori joten f(p) on määritelty.
Mutta v on vektori joka kuuluu R^3-avaruuden pisteessä p olevaan tangenttiavaruuteen. Tämän pitäisi näkyä siitä esiselvityksestäni ja myös voi katsoa tuota Wikipedian artikkelia (myös juttua "directional derivative").
Määritelmässä esiintyy f(p + tv). p on R^3:n vektorir mutta v ja siis myös t v on tuon tangenttiavaruuden vektori. Miten ne eri avaruuksien vektorit voidaan laskea yhteen?
Jos taas katsottaisiin että v on R^3:n vektori niin miten nvoidaan muodostaa sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) (v, grad f(p) ) sillä gradf(p) on tangenttiavaruuden vektori.
Ja Df on nkotangenttiavaruuden vektori. Miten se voisi operoida vektoriin v jos tämä olisikin R^3:n vektori eikä tangenttiavaruuden vektori?
n= 3 tässä vain yksinkeraisuuden, havainnollisuuden, vuoksi. Tietysti sama kysymys syntyy vaikka R:n dimensio olisi muukin n kuin n=3.Tangentti- ja kotangenttiavaruuksien dimensio on sama n kuin R:n dimensio.
No lopulta ymmärsin. Tarkoitit, että alussa oli R^n mutta loppupuolella R^3. Pikku fibaus.
Voi ajatella yleistä n:n arvoa mutta havainnollisempaa ehkä arvolla n =3.
Näin itse ajattelen. En tosin ole ajaa juuri lukenut.
Gradientista puhutaan usein vähän huolimattomasti “derivaatan vektorina”, mutta täsmällisemmin asia menee näin.
Jos f on sileä reaaliarvoinen funktio, niin sen luonnollinen derivaatta pisteessä p on differentiaali df_p. Tämä ei ole ensisijaisesti vektori, vaan kovektori eli lineaarikuvaus tangenttiavaruudesta reaalilukuihin.
Toisin sanoen df_p ottaa sisään tangenttivektorin v ja palauttaa suunnatun derivaatan siihen suuntaan.
Gradientti saadaan vasta, kun avaruudessa on sisätulo eli Riemannin metriikka g. Metriikan avulla kovektori df_p voidaan muuttaa tangenttivektoriksi. Gradientti on se tangenttivektori grad f(p), jolle pätee:
sisätulo(grad f(p), v) = df_p(v)
kaikilla tangenttivektoreilla v.
Lyhyesti: differentiaali df on luonnollinen derivaatta. Gradientti on differentiaali muutettuna vektoriksi metriikan eli sisätulon avulla.
Tavallisessa R^n-avaruudessa tämä näyttää yksinkertaisemmalta, koska tangenttiavaruus pisteessä p voidaan samaistaa itse R^n:n kanssa ja metriikka on tavallinen pistetulo. Siksi saadaan tuttu kaava: gradientti on osittaisderivaattojen muodostama vektori.
Eli jos f riippuu muuttujista x_1, ..., x_n, niin gradientin koordinaatit ovat funktion osittaisderivaatat näiden muuttujien suhteen.
Tämä on syy siihen, miksi perusanalyysissä sanotaan usein vain, että gradientti on derivaatan vektori. Täsmällisemmin df on kovektori ja gradientti on sitä vastaava vektori valitun sisätulon/metriikan kautta.
Lähteenä käytin: John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds
Olet oikeassa, että p ja tangenttivektori v kuuluvat lähtökohtaisesti eri avaruuksiin. Merkinnässä p + tv käytetään kuitenkin sitä, että Rⁿ:n tangenttiavaruus pisteessä p voidaan kanonisesti samaistaa Rⁿ:n kanssa. Tangenttivektori v esitetään siis tavallisena Rⁿ:n nopeusvektorina, ja juuri tämä esitys lisätään pisteeseen p.
Täsmällisemmin voisi kirjoittaa p + t·i_p(v), missä i_p on tämä samaistus. Tavallisesti i_p jätetään merkinnästä pois.
Yleisellä monistolla tällaista yhteenlaskua ei ole. Siellä valitaan käyrä gamma, joka kulkee pisteen p kautta ja jonka tangenttivektori siinä on v. Suunnattu derivaatta on silloin funktion f(gamma(t)) derivaatta kohdassa t = 0.
Täsmällinen selitys on tämä: avaruudessa ℝⁿ on kanoninen samaistus
Vektoria a ∈ ℝⁿ vastaa tangenttivektori, joka on käyrän γ(t) = p + ta nopeus hetkellä t = 0. Jokainen pisteen p tangenttivektori saadaan näin yksikäsitteisesti.
Kun siis kirjoitetaan p + tv, tangenttivektorista v käytetään tämän samaistuksen kautta saatua ℝⁿ:n vektoria. Merkintä jättää samaistuksen näkyvistä. Eri avaruuksien alkioita ei lasketa yhteen ilman sitä.
Samoin df_p ottaa sisään tangenttivektorin, ja sisätulo lasketaan tangenttiavaruudessa. Samaistus mahdollistaa niiden esittämisen tavallisilla koordinaattivektoreilla.
Yleisellä monistolla summaa p + tv ei yleensä ole määritelty. Silloin valitaan sileä käyrä γ, jolla γ(0) = p ja γ′(0) = v, ja määritellään
Tulos riippuu vain tangenttivektorista v, ei valitusta käyrästä.
Ei ongelma sillä ratkea että selityksenä käytetään termiä, jonka merkitys jää hämäräksi!
"Kanoninen samaistus" ?
Tässä ”kanoninen samaistus” tarkoittaa luonnollista lineaarista bijektiota Rⁿ:n ja pisteen p tangenttiavaruuden välillä: vektoria a vastaa suoran γ(t) = p + ta tangenttivektori hetkellä t = 0. Jokainen tangenttivektori saadaan näin yksikäsitteisesti.
”Kanoninen” tarkoittaa, ettei vastaavuus vaadi ylimääräisiä valintoja, vaan tulee Rⁿ:n vektoriavaruusrakenteesta. Merkinnässä p + tv käytetään tangenttivektoria v vastaavaa Rⁿ:n vektoria.
No mitenkä se tangenttiavaruuden vektoria v(p) vastaava R^3:n vektori V löytyy? Ei riitä sanoa, että sillä on samat koordinaatit kuin tangenttivektorilla v(p). Nämähän riippuvat käytetyistä kantavektoreista.
Esim. R^3:n vektori (1,0,0) voisi olla se tuttu i mutta jos kanta eimolekaan i,j,k vaan ne(1),e(2),e(3) niin (1,0,0) onkinn e(1).
Painovirheitä: p.o.: ...ei olekaan i,j,k vaan e(1),e(2),e(3) niin (1,0,0) onkin e(1)-
Minusta kanoninen samaistus voidaan määritellä ilman minkään kannan valitsemista.
Jos tangenttivektoria v(p) edustaa pisteen p kautta kulkeva käyrä γ, sitä vastaava R³:n vektori V saadaan raja-arvona:
V = lim (t → 0) (γ(t) − p) / t.
Erotus γ(t) − p on R³:n vektori, joten lasku ei vaadi tangenttiavaruuden ja R³:n ennalta tehtyä samaistamista. Samaa tangenttivektoria edustavat käyrät antavat saman raja-arvon.
Tuo kantariippuvuutta koskeva huomio on oikea, mutta samaistusta ei määritellä sanomalla vain ”samat koordinaatit”.
Lee käsittelee tämän kirjassa Introduction to Smooth Manifolds (2. painos), propositiossa 3.13. R³:n vektori V määrää tangenttivektorin, joka toimii sileään funktioon f näin: otetaan funktion t ↦ f(p + tV) derivaatta kohdassa t = 0. Tässä määritelmässä ei valita mitään kantaa.
Lee todistaa tämän kuvauksen lineaariseksi bijektioksi. Siksi annettua tangenttivektoria v(p) vastaa yksikäsitteinen V.
V:n voi myös laskea: valitaan R³:n kanta e₁, e₂, e₃ ja siihen liittyvät koordinaattifunktiot x¹, x², x³. Tällöin
V = v(p)(x¹)e₁ + v(p)(x²)e₂ + v(p)(x³)e₃.
Kantaa vaihdettaessa myös koordinaattifunktiot vaihtuvat, ja summa antaa edelleen saman vektorin V. Lee korostaa erikseen, että samaistuksen määritelmä on kannasta riippumaton, vaikka isomorfisuuden todistuksessa käytetään kantaa.
Tuon kirjan voinee vaikka tilata lähikirjastoon ja lukea ajatuksella, niin eiköhän asiat siitä selviä. Voin toki koettaa toisinaan seurata keskustelua ja kirjoittaa jos mieleen tulee jotain selventävää.
Kiertelet ja kaartelet: "otetaan funktion t -> f(p + t V) derivaatta kohdassa t = 0".
p on R^3:n vektori ja siis myös V on, muutenhan niitä ei voisi laskea yhteen ja muodostaa vektoria p + t V.
Mikä se tangenttivektori v(p) eksplisiittisesti on?
Minulla muuten on tuo Leen kirja, tosin 1. painos.
Ei eri avaruuksien vektoreita lasketa yhteen. Vektorien yhteenlaskussa a+b kumpikin vektori on saman vektoriavaruuden V alkio. Tehtävässä olevaa vektoreita ei siis lasketa suoraan yhteen, vaan tuollainen summa lienee aina lyhennetty konstruktio jostain, missä a ja b kuvataan samaan avaruuteen ja lasketaan siellä yhteen.
Minkähän takia puhutaan joskus (esim.) R^3:n "pisteistä" p ja "vektoreista" v. Näillähän on kummallakin 3 koordinaattia (komponenttia).
Samoja otuksiahan ne ovat!
Ja entä sitten vektorikenttä: jokaiseen "pisteeseen" p liittyy "vektori" v(p). Ja kuvissa näytetetään tämä siten, että on nuseita pisteitä joista lähtee vektori. Mutta kaikki R^3:n vektorit "lähtevät" origosta.