Kts. esim. Wikipedia (eng.) : gradient.
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Missä gradientti asuu?
3
292
Vastaukset 3
- Anonyymi00001
Eli määrittelit n=3, mutta unohdit sen samalla?
- Anonyymi00002
En ymmärrä kommenttiasi. Selitän vielä lyhyesti, mitä kysyn.
f on määritelty R^3-avaruudessa, p on R^3:n vektori joten f(p) on määritelty.
Mutta v on vektori joka kuuluu R^3-avaruuden pisteessä p olevaan tangenttiavaruuteen. Tämän pitäisi näkyä siitä esiselvityksestäni ja myös voi katsoa tuota Wikipedian artikkelia (myös juttua "directional derivative").
Määritelmässä esiintyy f(p + tv). p on R^3:n vektorir mutta v ja siis myös t v on tuon tangenttiavaruuden vektori. Miten ne eri avaruuksien vektorit voidaan laskea yhteen?
Jos taas katsottaisiin että v on R^3:n vektori niin miten nvoidaan muodostaa sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) (v, grad f(p) ) sillä gradf(p) on tangenttiavaruuden vektori.
Ja Df on nkotangenttiavaruuden vektori. Miten se voisi operoida vektoriin v jos tämä olisikin R^3:n vektori eikä tangenttiavaruuden vektori?
n= 3 tässä vain yksinkeraisuuden, havainnollisuuden, vuoksi. Tietysti sama kysymys syntyy vaikka R:n dimensio olisi muukin n kuin n=3.Tangentti- ja kotangenttiavaruuksien dimensio on sama n kuin R:n dimensio. - Anonyymi00003
No lopulta ymmärsin. Tarkoitit, että alussa oli R^n mutta loppupuolella R^3. Pikku fibaus.
Voi ajatella yleistä n:n arvoa mutta havainnollisempaa ehkä arvolla n =3.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kysely : Juuri kukaan ei halua nykyisen hallituksen jatkavan
Ylen kysely: Juuri kukaan ei halua nykyisen hallituksen jatkavan – eivät edes hallituspuolueiden omat kannattajat Kes1261506Salaisuudet paljastuu
Viimeiset hetket meneillään ottaa yhteyttä. Kertoa totuus ja selvittää asioita. Viimeiset hetket meneillään jos joku1431348Kelan mukaan veronpalautukset ovat tuloa tuet lähti
https://www.is.fi/taloussanomat/art-2000012225387.html Verohallinnon maksama veronpalautus tulee niille, jotka ovat mak109814Sinkkujen tilanne kiinassa katastrofaalinen
800 naista osallistui sinkkujen iltaan, paikalle saapui 0 miestä. Ei mahdollisuuksia, kun nainen on 38 -vuotias, ja120771- 62715
- 53691
- 37571
Minne katosi Sofian Jeff-rakas ystävä?
Seiskalehden mukaan Jeffreytä ei ole näkynyt, kuin kesäkuussa maininta Sofian ommissassa insramissa. Onko jo tullut ero144559Stubbin ylimielinen uho vie Suomea sotaan!!?
https://m.youtube.com/watch?v=aQ3c540lm9o Miten voi olla että maamme presidentii toimii näin vastuuttomasti kuten hölöt286529- 6515