Kts. esim. Wikipedia (eng.) : gradient.
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Missä gradientti asuu?
3
101
Vastaukset
- Anonyymi00001
Eli määrittelit n=3, mutta unohdit sen samalla?
- Anonyymi00002
En ymmärrä kommenttiasi. Selitän vielä lyhyesti, mitä kysyn.
f on määritelty R^3-avaruudessa, p on R^3:n vektori joten f(p) on määritelty.
Mutta v on vektori joka kuuluu R^3-avaruuden pisteessä p olevaan tangenttiavaruuteen. Tämän pitäisi näkyä siitä esiselvityksestäni ja myös voi katsoa tuota Wikipedian artikkelia (myös juttua "directional derivative").
Määritelmässä esiintyy f(p + tv). p on R^3:n vektorir mutta v ja siis myös t v on tuon tangenttiavaruuden vektori. Miten ne eri avaruuksien vektorit voidaan laskea yhteen?
Jos taas katsottaisiin että v on R^3:n vektori niin miten nvoidaan muodostaa sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) (v, grad f(p) ) sillä gradf(p) on tangenttiavaruuden vektori.
Ja Df on nkotangenttiavaruuden vektori. Miten se voisi operoida vektoriin v jos tämä olisikin R^3:n vektori eikä tangenttiavaruuden vektori?
n= 3 tässä vain yksinkeraisuuden, havainnollisuuden, vuoksi. Tietysti sama kysymys syntyy vaikka R:n dimensio olisi muukin n kuin n=3.Tangentti- ja kotangenttiavaruuksien dimensio on sama n kuin R:n dimensio. - Anonyymi00003
No lopulta ymmärsin. Tarkoitit, että alussa oli R^n mutta loppupuolella R^3. Pikku fibaus.
Voi ajatella yleistä n:n arvoa mutta havainnollisempaa ehkä arvolla n =3.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Eläkeläiset siirrettävä muuttotappioalueille
Joutoväki pois ruuhkauttamasta elättäjien arkea. Samalla putoaa jokaisen asumiskulut ja rahaa jää enemmän kuluttamiseen.2762530Riikka runnoo: datakeskuksille tulee UUSI yritystuki
"Suomen valtio erikseen tukee esimerkiksi kryptovaluuttaan tai aikuisviihteeseen tai muuhun keskittyviä datakeskuksia."772433SDP pelastaa uppoavan Suomen
2027 kun SDP voittaa ylivoimaisesti vaalit alkaa Suomen uusi raju syöksy kohti täystyöllisyyttä ja turvallisempaa yhteis201639- 1201598
Jopa Espanjassa talous kasvaa, Purra vain irvistelee
Huomaa kuinka Purra on Suomen historian huonoin miniseteri, joka ei ole saanut aikaiseksi kuin tuhoa, Siis jopa vasemmis531518Kauppalehti - Törkeä skandaali paljastui: Espanja käytti EU-rahoja ihan muuhun kuin piti
Espanja on käyttänyt miljardeja euroja EU:n elpymisavustuksia eläkkeisiin ja sosiaalimenoihin – ja pyytää lisää. Espanj651397- 1341376
En kerro nimeäsi nainen
Sillä olet nyt salaisuus jota kannan sydämessäni. Tämä mitä tunnen ja kuinka sinuun vahvasti ihastuin on jo niin erikoin711250Auta mua mies
Ota vielä yhteyttä, keksi oikeat sanat että vuosien ajan kasvanut muuri murtuu meidän väliltä vaikka aluksi vain vähän.821059Olet kiva ihminen
En kiellä sitä yhtään. Sinussa on hyvin paljon erinomaisia puolia, enemmän varmasti kun meissä muissa. Sitten on puoli741049