Kts. esim. Wikipedia (eng.) : gradient.
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Missä gradientti asuu?
3
294
Vastaukset 3
- Anonyymi00001
Eli määrittelit n=3, mutta unohdit sen samalla?
- Anonyymi00002
En ymmärrä kommenttiasi. Selitän vielä lyhyesti, mitä kysyn.
f on määritelty R^3-avaruudessa, p on R^3:n vektori joten f(p) on määritelty.
Mutta v on vektori joka kuuluu R^3-avaruuden pisteessä p olevaan tangenttiavaruuteen. Tämän pitäisi näkyä siitä esiselvityksestäni ja myös voi katsoa tuota Wikipedian artikkelia (myös juttua "directional derivative").
Määritelmässä esiintyy f(p + tv). p on R^3:n vektorir mutta v ja siis myös t v on tuon tangenttiavaruuden vektori. Miten ne eri avaruuksien vektorit voidaan laskea yhteen?
Jos taas katsottaisiin että v on R^3:n vektori niin miten nvoidaan muodostaa sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) (v, grad f(p) ) sillä gradf(p) on tangenttiavaruuden vektori.
Ja Df on nkotangenttiavaruuden vektori. Miten se voisi operoida vektoriin v jos tämä olisikin R^3:n vektori eikä tangenttiavaruuden vektori?
n= 3 tässä vain yksinkeraisuuden, havainnollisuuden, vuoksi. Tietysti sama kysymys syntyy vaikka R:n dimensio olisi muukin n kuin n=3.Tangentti- ja kotangenttiavaruuksien dimensio on sama n kuin R:n dimensio. - Anonyymi00003
No lopulta ymmärsin. Tarkoitit, että alussa oli R^n mutta loppupuolella R^3. Pikku fibaus.
Voi ajatella yleistä n:n arvoa mutta havainnollisempaa ehkä arvolla n =3.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 43935
- 95903
Tiesitkö? Jorma Uotisen EX-rakas on Helena Lindgren - Nämä ovat välit nyt: "Me ollaan..."
Jorma Uotinen ja Helena Lindgren olivat avoliitossa v. 1982-1999. Pariskunta oli aikansa näyttävä julkkispari, missä i19775- 116721
Anteeksi J-mies
Anteeksi että myötävaikutin siihen että rakastuit minuun, jota et voi koskaan saada. Viimeksi kun näimme ja katselimme t80668- 43621
Olet nainen ollut vaikein rasti
Eniten olet tunteitani myllännyt ja niitä kuluttanut, ja tuottanut. 🤔34604Minä muistan
Minä muistan sinut nauravana. Sellaisena, joka sai tavallisenkin hetken tuntumaan vähän kevyemmältä, kuin huoneeseen ol45600- 19586
- 46568
Kenen viisautta on ollut laittaa tie väärällä murskeella pilalle
Kenen viisautta on ollut kun Siimeksen/Kylmänpurontie pantu pilalle kun on ajettu liian karkeaa mursketta. Rengasliikke20535- 33533
Siinä kävi mies nyt niin että tämä ämmä muuttaa ulkomaille
Vuonojen maa kutsuu, joten ei hätää. Et kuule minusta enää. 😂 Lycka till! Ämmä riittää.66509- 36502
- 25492
Ähtäri on taas TV: n ja radion ykkösuutinen
Uusi podcast on julkaistu ja on nyt kuunneltavissa. Mot on tehnyt hyvää työtä! Mikko Savola ja kepu ei ota mitään vast44476Koska Martina viettää aikaansa lapsiensa kanssa
Äiti vaan juoksee miehen perässä Tallinnassa, Lontoossa, Turussa. Kyllä oli kätilö oikeassa, kun sanoi, että ei olisi ka132460Mitä muuta on olemassa kuin lisääntyminen
Jos mies ei pääse lisääntymään niin mikä hänen osansa elämässä on? mitä jää jäljelle? Hän on vain muiden palvelija kok105458- 44454
Pahkalassa tapahtuu
Mitäs on tapahtunut yöllä pahkalan kerrostaloilla.oli poliisia ja ambulanssia taas vaihteeksi7427