Kts. esim. Wikipedia (eng.) : gradient.
Meillä on avaruus R^n, siinä piste p ja pisteessä p sijaitsevat tangenttiavaruus ja kotangenttiavaruus.
Funktiolla f on pisteessä p (jos siis on) gradientti grad (f(p)). Se on tangenttiavaruuden vektori.
Suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v(p) (tämä v(p) siis tangenttiavaruuden vektori) :
Df(v(p)) = (v(p) , grad f(p)) (siis noiden vektorien sisätulo).
Koska Df operoi tangenttiavaruuden vektoria v(p) se on itse kotangenttiavaruuden vektori.
(Oikeastaan kyse on vektorikentistä joiden arvoja psteessä p tässä tutkiskellaan.)
Nyt tuo suunnattu derivaatta määritellään näin :
Df(v(p)) = v(p) (f) (p) = lim (t-> 0) ( f(p + t v) - f(p)) /t.
Mutta p on tuon R^3:n vektori ja v on ntangenttiavaruuden (pisteessä p) vektori.
Kuinka ne eri avaruuksien vektorit voidaann laskea yhteen?
Missä gradientti asuu?
3
288
Vastaukset
- Anonyymi00001
Eli määrittelit n=3, mutta unohdit sen samalla?
- Anonyymi00002
En ymmärrä kommenttiasi. Selitän vielä lyhyesti, mitä kysyn.
f on määritelty R^3-avaruudessa, p on R^3:n vektori joten f(p) on määritelty.
Mutta v on vektori joka kuuluu R^3-avaruuden pisteessä p olevaan tangenttiavaruuteen. Tämän pitäisi näkyä siitä esiselvityksestäni ja myös voi katsoa tuota Wikipedian artikkelia (myös juttua "directional derivative").
Määritelmässä esiintyy f(p + tv). p on R^3:n vektorir mutta v ja siis myös t v on tuon tangenttiavaruuden vektori. Miten ne eri avaruuksien vektorit voidaan laskea yhteen?
Jos taas katsottaisiin että v on R^3:n vektori niin miten nvoidaan muodostaa sisätulo (pistetulo, skalaaritulo) (v, grad f(p) ) sillä gradf(p) on tangenttiavaruuden vektori.
Ja Df on nkotangenttiavaruuden vektori. Miten se voisi operoida vektoriin v jos tämä olisikin R^3:n vektori eikä tangenttiavaruuden vektori?
n= 3 tässä vain yksinkeraisuuden, havainnollisuuden, vuoksi. Tietysti sama kysymys syntyy vaikka R:n dimensio olisi muukin n kuin n=3.Tangentti- ja kotangenttiavaruuksien dimensio on sama n kuin R:n dimensio. - Anonyymi00003
No lopulta ymmärsin. Tarkoitit, että alussa oli R^n mutta loppupuolella R^3. Pikku fibaus.
Voi ajatella yleistä n:n arvoa mutta havainnollisempaa ehkä arvolla n =3.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1621394
Kauhavan häiriköijistä
Juttua Iltalehdessä. Pakko sanoa että noi nuoret on kyllä ihan pimeitä. Putkin peltoja jupksevat kiusaamaan kun ei tietä40985Haluan sinut, kuuletko minua.
Haluan sinut. Toivon, että voisimme olla yhdessä. Mietin pystynkö täyttämään toiveesi, olemaan arvoisesi. Voisitko saad38715- 14630
Miksi Lapset kiusaa yöllä
Miksi Lapset kiusaa yöllä ihmisiä? Miksi vanhemmat antaa tämän tapahtua? Eikö ne huomaa ettei lapset ole kotona vai eivä28622- 36616
Tehdäänkö tänään toiveista totta?
Poikkea tänä illasta siinä lähellä ja annetaan silmien puhua ja sen jälkeen puhu sinä lopulta mitä ajattelet..46607Sama ransetti taas!
Keikkui tällä kertaa Honkavaaran tien varressa muutaman sadan metrin päässä Louhenkoskelta.. Otin rekisterin ylös ja ver20592Ajatteletko ollenkaan minua
Naiselle, jonka kanssa vahva tunne yhteydestä. Jota kipeästi kaipaan, mutta jota ei juuri näe. Onko siitä jo kolme vuott30577Viimeinen lankafest
Käykää viimeisessä lanka festissä. Ensivuonna sitä ei enää ole. Rahat on loppu. Harmi .17553