Tämä probleema tuli esille toisella palstalla, eikä asiaan tullut selvyyttä, joten ajattelin kysäistä täällä.
Kyse on siis todennäköisyydestä saada satunnaisesti valittua etukäteen annettu reaaliluku väliltä (0,1), kun aikaa tehdä näitä satunnaisia valintoja on ikuisuus.
Selvää tietenkin on, että jos valintoja on yksi, todennäköisyys osua satunnaisesti etukäteen annettuun lukuun on 0, koska reaalilukujen määrä välillä (0,1) on ääretön.
Mutta entäpä tilanne, missä voimme yrittää uudestaan ikuisesti, niin monta kertaa kuin haluamme? Mikä on todennäköisyys tällöin?
a) Todennäköisyys on 1, koska lopulta osuisimme varmasti annettuun lukuun. Tämä pitää varmasti paikkansa tilanteissa, missä mahdollisia vaihtoehtoija on vain hyvin suuri, mutta ei ääretön, määrä (esim. apina kirjoittamassa Shakespearen teoksia). Intuitiivisesti ajateltuna 1 kuulostaa oikealta vastaukselta, mutta ei välttämättä sitä ole.
b) Matemaattisesti ajateltuna todennäköisyys valita n valinnalla oikea m vaihtoehdosta on tietenkin 1-(1-1/m)^n. Tämän raja-arvo jos m=n ja m ja n lähestyvät ääretöntä on 1-1/e, eli todennäköisyys olisi luokkaa 0,632. Mutta m ja n eivät tässä tapauksessa ilmeisesti ole yhtäsuuret, ja eikös Komogorov todistanut, että joidenkin tällaisten äärettömien tapausten todennäköisyys on aina 0 tai 1, ei koskaan mitään siltä väliltä. Tämä ratkaisu lienee siis virheellinen.
c) Todennäköisyys on 0, koska reaalilukujen joukko (0,1) on suurempaa kokoluokkaa oleva ääretön kuin valintojemme määrä. Tekemiemme valintojen määrä on järjestettävissä oleva äärettömyys (1. valinta, 2. valinta jne.), eli sen kardinaalisuus on sama kuin luonnollisten lukujen (aleph_0). Reaalilukuja taas ei voi järjestää, ja reaalilukujen joukon (tai vaikkapa tuon (0,1) osajoukon) kardinaalisuus (C) on suurempi kuin luonnollisten lukujen. (C = n^aleph_0, n > 1) Emme siis voi rakentaa 1:1 vastaavuutta valintojemme ja niiden mahdollisten kohteiden välille, vaan mahdollisia valittavia kohteita on äärettömän paljon enemmän kuin tekemiämme valintoja (vaikka niitäkin on ääretön määrä).
Kysymys:
Olenko oikeassa ajatellessani, että vaihtoehto c) on oikea tapa lähestyä tätä probleemaa, ja että 0 on oikea todennäköisyys? Asiaa hetken ajateltuani olen kallistumassa tälle kannalle, vaikkei se kuulostakaan intuitiivisesti ajateltuna minusta yhtä järkevältä kuin todennäköisyys 1 (vaihtoehto a).
Jatkokysymys:
Jos olen oikeassa ja c) on oikea vastaus, miten vastaus muuttuisi, jos valinta tehtäisiinkiin rationaalilukujen eikä reaalilukujen joukosta? Tällöinhän valintojen ja valittavien kardinaalisuus olisi sama. Olisiko todennäköisyys tässä tapauksessa 1?
Kyse on siis todennäköisyydestä saada satunnaisesti valittua etukäteen annettu reaaliluku väliltä (0,1), kun aikaa tehdä näitä satunnaisia valintoja on ikuisuus.
Selvää tietenkin on, että jos valintoja on yksi, todennäköisyys osua satunnaisesti etukäteen annettuun lukuun on 0, koska reaalilukujen määrä välillä (0,1) on ääretön.
Mutta entäpä tilanne, missä voimme yrittää uudestaan ikuisesti, niin monta kertaa kuin haluamme? Mikä on todennäköisyys tällöin?
a) Todennäköisyys on 1, koska lopulta osuisimme varmasti annettuun lukuun. Tämä pitää varmasti paikkansa tilanteissa, missä mahdollisia vaihtoehtoija on vain hyvin suuri, mutta ei ääretön, määrä (esim. apina kirjoittamassa Shakespearen teoksia). Intuitiivisesti ajateltuna 1 kuulostaa oikealta vastaukselta, mutta ei välttämättä sitä ole.
b) Matemaattisesti ajateltuna todennäköisyys valita n valinnalla oikea m vaihtoehdosta on tietenkin 1-(1-1/m)^n. Tämän raja-arvo jos m=n ja m ja n lähestyvät ääretöntä on 1-1/e, eli todennäköisyys olisi luokkaa 0,632. Mutta m ja n eivät tässä tapauksessa ilmeisesti ole yhtäsuuret, ja eikös Komogorov todistanut, että joidenkin tällaisten äärettömien tapausten todennäköisyys on aina 0 tai 1, ei koskaan mitään siltä väliltä. Tämä ratkaisu lienee siis virheellinen.
c) Todennäköisyys on 0, koska reaalilukujen joukko (0,1) on suurempaa kokoluokkaa oleva ääretön kuin valintojemme määrä. Tekemiemme valintojen määrä on järjestettävissä oleva äärettömyys (1. valinta, 2. valinta jne.), eli sen kardinaalisuus on sama kuin luonnollisten lukujen (aleph_0). Reaalilukuja taas ei voi järjestää, ja reaalilukujen joukon (tai vaikkapa tuon (0,1) osajoukon) kardinaalisuus (C) on suurempi kuin luonnollisten lukujen. (C = n^aleph_0, n > 1) Emme siis voi rakentaa 1:1 vastaavuutta valintojemme ja niiden mahdollisten kohteiden välille, vaan mahdollisia valittavia kohteita on äärettömän paljon enemmän kuin tekemiämme valintoja (vaikka niitäkin on ääretön määrä).
Kysymys:
Olenko oikeassa ajatellessani, että vaihtoehto c) on oikea tapa lähestyä tätä probleemaa, ja että 0 on oikea todennäköisyys? Asiaa hetken ajateltuani olen kallistumassa tälle kannalle, vaikkei se kuulostakaan intuitiivisesti ajateltuna minusta yhtä järkevältä kuin todennäköisyys 1 (vaihtoehto a).
Jatkokysymys:
Jos olen oikeassa ja c) on oikea vastaus, miten vastaus muuttuisi, jos valinta tehtäisiinkiin rationaalilukujen eikä reaalilukujen joukosta? Tällöinhän valintojen ja valittavien kardinaalisuus olisi sama. Olisiko todennäköisyys tässä tapauksessa 1?
Vastaukset 19
Vanhimmat
Välillä (0,1) on ylinumeroituva määrä pisteitä, mutta yrityksiä on vain numeroituva määrä, joten tod.näk. on 0.
Miten tilanne muuttuu, jos kyseessä onkin rationaalilukujen (vaikkapa väliltä (0,1), sillähän ei ole mitään väliä) eikä reaalilukujen joukko?
Nythän valintojen määrä on yhtä suuri kuin valittavien määrä. Molemmat ovat numeroituvia äärettömyyksiä, samankokoisia siis kuin luonnollisten lukujen joukko, ja valintojen ja kohdelukujen joukon välille voidaan rakentaa 1:1 riippuvuus.
Onkos todennäköisyys tässä tapauksessa lopulta osua oikeaan sitten 1? (Jos se nyt reaalilukujen osalta ilmeisesti siis oli 0.)
...,että se lähestyisi mitään muuta kuin nollaa.
Jos olisi tilanne, että meillä olisi äärettömän suuri korttipakka, jonka jäseniä olisi rationaaliluvut väliltä (0,1) (rationaaliluvuthan ovat numeroituvia ja sen takia näin voidaan menetellä) ja suoritettaisiin toistokoe siten, että nostettu kortti poistettaisiin aina pakasta. Tällöinhän todennäköisyys äärettömässä toistokokeessa saada mikätahansa rationaaliluku tuolta väliltä on 1. Eikö vaan? Mutta aina äärellisellä määrällä toistoja tn=0.
Mutta tässä tilanteessahan "kortti pistetään takaisin pakkaan" jokaisen toiston jälkeen ja sen takia juuri on vaikea uskoa, että todennäköisyys olisi muuta kuin 0.
Itse tiedän näistä asioista aika vähän, joten korjatkaa viisaammat :).
Rationaalilukujen päälle rakennetussa tn-jakaumassa kylläkin jokaiselle yksittäiselle luvulle voidaan määrittää todennäköisyys, joka _voi olla_ ja joillakin luvuilla _on_ nollasta poikkeava. Näiden todennäköisyyksien summan nimittäin täytyy olla 1. Tämä on fundamentaali ero numeroituvan (välin (0,1) rationaaliluvut) ja numeroitumattoman (välin (0,1) kaikki reaaliluvut) joukon välillä. Numeroitumattomassa tapauksessahan kunkin alkeistapauksen tn on 0, mutta _integraali_ koko välin yli on 1.
Jos siis etukäteen valitulla rationaaliluvulla on tn p tulla 'rationaalipakasta' yhdellä vedolla, niin tn, että toistokokeessa saadaan lopulta tämä tietty luku, on
p (onnistuminen 1. yrityksellä)
(1-p)p (epäonnistuminen 1. ja onnistuminen 2. yrityksellä)
(1-p)(1-p)p (kaksi epäonnea ja sitten onnistuminen)
jne. hamaan ikuisuuteen asti
Tämän summan arvo on 1, jos p>0, ja luonnollisesti 0, jos p=0.
Luonnollisesti tuossa reaalitapauksessakin voi valita jonkun numeroituvan määrän _yksittäisiä_ pisteitä, joiden pistetodennäköisyys poikkeaa nollasta, ja määritellä muualle jonkun 'jatkuvamman' jakauman. Noiden piste-tn:n summan ja loppujakauman integraalin pitää sitten yhteensä olla 1. Rationaalilukutapaus on sitten tästä vain erikoistapaus, jossa tuo numeroituva määrä pisteitä ovat juuri ne rationaaliluvut ja 'jatkuvampi' jakauma on pelkkää nollaa.
Tulos on tällaisella jakaumalla sama kuin edellä; riippuen sen valitun pisteen pistetodennäköisyydestä lopputulos on joko 0 tai 1.
Alkuperäisen kysymyksen vastaus riippuu siis ihan siitä, millaista jakaumaa tarkastellaan. Ilmeisesti kysyjillä ja vastaajilla on ollut implisiittisenä ajatuksena tasajakauma (tai joku vastaava 'siisti' tapaus), mutta näin ei siis asian tietenkään tarvitse olla eikä vastaus aina ja kaikkialla ole 0.
...oletit tuossa, että jollakin rationaaliluvulla on suurempi todennäköisyys tulla valituksi kuin toisella ja tottakai tällöin ääretön toistokoe menee ykköseen. Käsittääkseni kyse oli kuitenkin tilanteesta, jossa kaikki rationaaliluvut välillä (0,1) ovat yhtä todennäköisiä (?) ja tällöinhän yksittäinen todennäköisyys on 0 ja toistokoekin menee nollaan.
Sellaista rationaalilukujen joukon tn-jakaumaa ei olekaan, jossa jokaisen rationaaliluvun tn on yhtä suuri. Koska kokonais-tn on _aina_ 1 ja kaikkien rationaalilukujen (numeroituva määrä!) kokonais-tn:n voi laskea summana yksittäisistä tn:stä, vähintään yhden piste-tn:n pitää poiketa nollasta. Kaikki piste-tn:t taas eivät voi olla sama nollasta poikkeava luku, koska kokonais-tn:stä tulisi silloin ääretön (joka taas ei ihan ole 1).
Tasajakauma on siis rationaalilukujen joukossa täysin mieletön käsite. Tarkemmat perustelut kuitenkin menisivät sen verran syvälle mittateorian salaisuuksiin, että sinun on nyt vain parempi luottaa minuun. Trust me, I know what I'm doing. :)
Entäs sitten se tilanne mistä aiemmin kirjoitin, että "kortti poistetaan pakasta" ? Meneekö todennäköisyys 1:seen vai 0:aan ? Vai onko tuokin mieletöntä?
Tn-laskun kannalta tuollaisen tilanteen mallintaminen on vähän hankalaa: Joka kerta, kun pakasta poistetaan kortteja, tn-jakauma muuttuu, koska jäljellä olevan pakan kokonais-tn:n pitää aina olla 1 (määritelmän mukaan). Riippuu siis ihan tästä jakaumien ketjusta, mitä kortteja pakasta luetaan.
Joka tapauksessa siis kortteja katsotaan numeroituvan monta. Mutta voihan olla, että esimerkiksi kaikkien 1/2 pienempien lukujen pistetn on alusta hamaan ikuisuuteen 0 ja koko tn-massa on kertynyt isoille korteille. Niitäkin on äärettömän monta, joten niitä voidaan vedellä pakasta loputtomasti. Tässä tapauksessa esimerkiksi luku pi/sqrt(71) (< 1/2) esiintyisi vedetyissä korteissa tn:llä 0 (eli sitä ei olisi melkein varmasti).
Muita skenaarioita:
Vuorotellen aina kunkin kortin tn on 1. Tällöin saadaan (melkein varmasti) kaikki kortit ennalta määrätyssä järjestyksessä. Kunkin luvun esiintymis-tn sarjassa on 1.
Aluksi luvun 1/2 tn p (>0) ja luvun 1/sqrt(2) loput 1-p. Tämän jälkeen joka kierroksella kummankin luvun tn 0. Luvun 1/2 esiintymis-tn koko sarjassa on tällöin p ja luvun 1/sqrt(2) se 1-p. Muista luvuista ei voi sanoa mitään näillä tiedoilla.
Tämä poistopakka tarjoaa siis ihan mitä tahansa vaihtoehtoja jakaumista riippuen. Keksit epäilemättä itse lisää esimerkkejä.
>>Rationaalilukujen päälle rakennetussa tn-jakaumassa kylläkin jokaiselle yksittäiselle luvulle voidaan määrittää todennäköisyys, joka _voi olla_ ja joillakin luvuilla _on_ nollasta poikkeava. Näiden todennäköisyyksien summan nimittäin täytyy olla 1. Tämä on fundamentaali ero numeroituvan (välin (0,1) rationaaliluvut) ja numeroitumattoman (välin (0,1) kaikki reaaliluvut) joukon välillä. Numeroitumattomassa tapauksessahan kunkin alkeistapauksen tn on 0, mutta _integraali_ koko välin yli on 1.ääretön) 1/x = 0. Koska kaikilla vaihtoehdoilla on sama todennäköisyys, ja vaihtoehtoja on ääretön määrä, ei tn voi olla suurempi kuin 0.
...eiväthän nuo ihan kaikki 'rationaalilukuni' niitä taida olla. :) Pointti toivottavasti tuli kuitenkin selväksi.
Yksi tn-laskun (tulee itse asiasta siitä mittateoriasta) perusoletuksista on, että laskettaessa kokonais-tn:ttä numeroituvan monen erillisen tapauksen yhdisteelle voidaan itse asiassa tavallaan oikaista ja laskea erillisten tn:ksien summa. Nyt tapaukset 'saadaan rationaaliluku q' ovat erillisiä (koska eri luvut ovat eri lukuja).
Jos jokaisen yksittäisen rationaaliluvun tn nyt olisi 0, myös tapauksen 'saadaan mikä tahansa välin (0,1) rationaaliluku' tn olisi näiden kaikkien nollien summana 0. Koko tn-massa (yht. 1) pitäisi kuitenkin olla tuossa, joten tämä ei ole mahdollista. Vähintään siis jollakin yksittäisellä rationaaliluvulla on positiivinen todennäköisyys. Kaikilla luonnollisesti ei voi olla sama positiivinen tn, koska silloin tuosta kokonaistodennäköisyysdestä tulisi ääretön (joka ei sekään ole 1). Rationaalilukujen tasajakaumaa ei siis yksinkertaisesti ole olemassa.
Tästä tietenkin seuraa sellainen kierous, että jos tarkastellaan _reaalilukuvälin_ (0,1) tasajakaumaa, todennäköisyys, että arvottava luku on rationaalinen, onkin siis 0! Rationaalilukuja on siis aika todella paljon vähemmän kuin reaalilukuja yhteensä.
Vaikka siis silmämääräisesti näyttääkin, että reaalilukuväli (0,1) tulee ihan täyteen jo pelkistä rationaaliluvuista, niin tämä on pelkkää optista harhaa.
Pakko kai äärettömien joukkojen todennäköisyyksiäkin on voida tasajakaumalla laskemaan. Mitä jos meillä olisi luonnollisten lukujen joukko N = {0,1,2,...} ja otetaan mielivaltainen luku tästä joukosta, jossa kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin
P(valittu luku on jaollinen kolmella) = 1/3.
>>Tästä tietenkin seuraa sellainen kierous, että jos tarkastellaan _reaalilukuvälin_ (0,1) tasajakaumaa, todennäköisyys, että arvottava luku on rationaalinen, onkin siis 0! Rationaalilukuja on siis aika todella paljon vähemmän kuin reaalilukuja yhteensä.
Vaikka siis silmämääräisesti näyttääkin, että reaalilukuväli (0,1) tulee ihan täyteen jo pelkistä rationaaliluvuista, niin tämä on pelkkää optista harhaa.>Rationaalilukujen tasajakaumaa ei siis yksinkertaisesti ole olemassa.
>>Vai onko niin, että perusongelma onkin tässä:
Ei ehkä olekaan rakennettavissa tapaa valita satunnaisesti yhtä lukua luonnollisten lukujen joukosta siten, että kaikilla luvuilla olisi sama todennäköisyys tulla valituksi. Tämähän on analoginen ongelma tuon rationaaliluvun valitsemisen kanssa, ja näin äkkiseltään en kyllä keksi keinoa millä tuon voisi tehdä.
Koska rationaalilukujen joukko on numeroituva, on rationaaliluvut mahdollista laittaa järjestykseen (jonoon) siten, että jono käy läpi kaikki rationaaliluvut (tämä seuraa suoraan numeroituvuuden määritelmästä). Näin ollen valitsetpa minkä rationaaliluvun tahansa, se tulee vastaan tässä jonossa i:ntenä jonon alkiona jollain äärellisellä i:llä. Koska toistoja tehdään äärettömän paljon, tulee tämä i:s alkio aina varmasti vastaan kyseisessä jonossa (huomaa, että i on äärellinen!!) ja näin ollen kysytty todennäköisyys on 1.
Kyllä jokaisen rationaaliluvun todennäköisyys on yhtä suuri, mutta koska toistoja on ääretön määrä, ei kokonaistodennäköisyyttä voida laskea toistot*tn -kaavalla. Näin laskettaessa päädytään nolla kertaa ääretön -tilanteeseen, jota ei tässä ole määritelty (toisin kuin mittateoriassa yleensä nollaksi).
Sen takia edellä oleva laskutapa ei johda mihinkään tulokseen ja pitää etsiä uusi lähestymistapa.
Miten niin on pakko? Miten ajattelit sen tehdä (esimerkiksi ideaalimaailmassa)? Niitä lukujahan kuitenkin on mielivaltaisen suuria.
Tuo sinun kaavasi tietenkin pitää paikkansa _sillä_ehdolla_, että luonnollisilla luvuilla on olemassa tasajakauma (eli kaikki ovat yhtä todennäköisiä tai käytetään jotain muuta jakaumaa, jossa kolmasosa tn-massasta on kolmella jaollisilla luvuilla). Yleisesti ottaenhan äärettömyys tarkoittaa muiden muassa, että kolmella jaollisia lukuja on ihan yhtä paljon kuin kaikkia kokonaislukuja yhteensä (bijektio: x3x).
Sitä tasajakaumaa _ei_ kuitenkaan ole olemassa eivätkä kaikki nuo luvut siis millään voi olla yhtä todennäköisiä. Matemaattinen maailma on sillä tavalla 'kiero' näiden numeroituvasta äärettömien joukkojen kohdalla.