Siirrymme tänne toiselta palstalta, jotta meitä ei lueta häiriköiksi. Toki muutkin saa osallistua.
Annatko esimerkin sellaisesta matematiikan perustotuudesta jota ei voi todistaa oikeaksi?
Yleensähän matematiikka lähtee määritelmistä ja niistä johdetaan tuolksia. Onko nyt niin, että vain tarkoitat, että nuo määritelmät eivät voi olla riittävävn hyviä vai mitä?
Annatko esimerkin sellaisesta matematiikan perustotuudesta jota ei voi todistaa oikeaksi?
Yleensähän matematiikka lähtee määritelmistä ja niistä johdetaan tuolksia. Onko nyt niin, että vain tarkoitat, että nuo määritelmät eivät voi olla riittävävn hyviä vai mitä?
Vastaukset 21
Vanhimmat
tosin minulle ainakin tässä on jo riittävästi:
http://www.exploratorium.edu/complexity/CompLexicon/godel.html
kaikki tietävät, että on olemassa matemaattisia ongelmia jota ei voi ratkaista ja kysymys on aina siitä miten asiat määritellään. Ja se että eri määritelmistä saa aikaan erilaisia tuloksia on
ihan luonnollista.
Kuten: Olkoon A sellaisten joukkojen joukko jotka eivät sisällä itseään. Onko A joukko? Vrt. Voiko Jumala luoda niin ison kiven mitä ei voi itse siirtää.
Kuitenkaan en ymmärrä kommenttiasi:
"Mutta ehkä lohduttaa, että edes matematiikan perusteita ei voida _todistaa_ oikeiksi..."
sillä kysymyshän on aina määritelmistä. Toinen asia on sitten jos kyseenalaistaa logiikan toimivuuden.
mÄÄRITELEMÄSI JOUKKOJEN KOKELMA EI JOUKKO-OPIN
aksioomien mukaan ole joukko, usein puhutaan
luokista (class) tässä yhteydessä.
Gödelin todistus antaa vaan vastauksen, että
mikään äärellinen (ristiriidaton) joukko aksioomia, ei ole niin täydellinen, että jokaiseen mahdolliseen väittämään löytyisi
todistus joka saadaan hyväksyttyjen päättelysääntöjen avulla aksioomista käsin.
(Siis, vielä mikäli se järjestelmä oletetaan
riittävän laajaksi, esim. kokonaislukuaritmetiikka, eli aika suppea riittää kuitenkin)
Aksioomat oletaan tosiksi. Niitä ei siis
epäillä. Niistä lähdetään.
Yksittäisistä lauseista ei kuitenkaan
osata sanoa onko se todistuva
esim. Goldbachin lause jokainen parillinen luku
voidaan esittää 2 alkuluvun summana.
Tätä ei ole todistettu (vielä) ja voihan olla
että tämä lause on (ZFC-järjestelmässä)
todistumaton.
Voidaan toki konstruoida lauseita jotka
eivät ole todistuvia (niin gödelkin teki)
Mutta onko jokin "luonnollinen" lause ei-todistuva,
tällaista ei ole toistaiseksi todistettu.
jatkoax: "Yksittäisistä lauseista ei kuitenkaan
osata sanoa onko se todistuva."
Ei kai nyt ihan noinkaan. Esimerkiksi väittämästä "0 = 1" voidaan kyllä ihan heti sanoa, ettei se todistu ;-)
Eli kyse on siis _tosista_ todistumattomista väittämistä.
Lisäksi tulee mieleen kolmikko valinta-aksiooma, Zornin lemma ja hyvinjärjestyslause, joille ei todistusta ZF-joukko-opissa ole. Ja vielä minulle on jostain jäänyt pinttynyt mielikuva, että jokin aivan luonnollinen lukuteoreettinen väittämä ja sen vastaväittämä olisi osoitettu todistumattomaksi. Ehkä muistan höpöjä, joku korjannee.
oletin A:n joukoksi. Hmm.
Ongelmallista on se kuuluuko A itseensä vai ei. Koska oletan A:n joukosi, niin silloin A sisältää itsensä. Toisaalta koska oletan A:n koostuvan niistä joukoista jotka eivät sisällä itseään ei A voi sisältää itseään.
Eiköhän tuo kuitenkin todistu - nimittäin epätodeksi normaalissa algebrassa.
Kunta-aksioomissa taitaa olla peräti aksiooma: 0 erisuuri kuin 1. Tästähän triviaalisti seuraa, että 0=1 on epätosi, joten lause on tässä järjestelmässä todistettu.
Naam kirjoitti väittämästä "0 = 1": "Eiköhän tuo kuitenkin todistu - nimittäin epätodeksi normaalissa algebrassa."
No ei. Ei epätosia voi todistaa. Todistaminen tarkoittaa, että näytetään jonkin asian olevan totta. Vastaväite "0 ei ole yhtä kuin 1" todistuu kyllä helposti, mutta millään ei voi näyttää todeksi epätotta väittämää "0 = 1".
Huomaa, että väittämät "0 = 1" ja "väittämä '0 = 1' on epätosi" ovat kaksi eri väittämää: edellinen on epätosi, jälkimmäinen on tosi.
Viittaan erääseen vanhaan vitsiin jossittelusta:
"Jos tädillä olisi munat, hän olisikin setä!"
Suuta soittamalla voi periaatteessa todistella mitä vaan... ja kaikkee on todellakin yritetty... eri asia on se, että se ei varsinaisesti muuta mitään todellisuutta!
Olkoon
E = { A on joukko | A ei sisällä itseään alkiona } joukko.
Sisältääkö E itsensä alkiona ?
Joukko-opissa alkio joko kuuluu joukkoon tai ei kuulu, mutta ei mitään siltä väliltä.
Oletetaan aluksi, että E ei kuulu joukkoon E alkiona. Tällöinhän E ei sisällä itseänsä alkiona, joten se kuuluu E:hen.
Oletetaan sitten, että E kuuluu joukkoon E alkiona. Nyt E siis sisältää itsensä alkiona, joten E ei kuulu joukkoon E.
Ei siis voida päättää, että kuuluuko E alkiona E:hen.
Eikö tässä ole kyseessä kaksi joukkoa A ja E, jotka ovat samoja. Se jossittelu joka liittyy A:han pätee myös E:hen????
>E = { A on joukko | A ei sisällä itseään alkiona }.
Tämä tarkoittaa, että E on kokelma, joka sisältää kaikki sellaiset joukot A, jotka eivät sisällä itseään alkiona.
Piti vielä sen verran tarkentaa, että E on tietysti kokoelma ja kysytään, että onko E joukko?
Ongelma tunnetaan nimellä Russel'n paradoksi...
Kylässä on monia miehiä, joista osa leikkaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran ainoastaan niiltä miehiltä, jotka eivät leikkaa omaa partaansa. Entä leikkaako parturi oman partansa?
Kyllä. Koska koko touhu perustunee siihen määräykseen, että kaikilta parta pois!
Jossitteluahan voi lisätä sillä, että kutsuu naapurikylän parturin leikkaamaan tämän parturin parran. Taikka parturin vaimo leikkaa sen? :D
Kun hieman uudelleenmuotoilee tekstiä, niin homma on selvempää!
VERSIO 1:
"Kylässä on monia miehiä, joista osa leikkaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran KAIKILTA miehiltä, joilla SITÄ VIELÄ ON."
VERSIO 2:
"Kylässä on monia miehiä, joista osa leikkaa oman partansa. Kylän parturi leikkaa parran VAIN ASIAKKAILTAAN."
-------------
Makuasia miten tätä vääntelee, aina saa liikaa teoritisoimalla tai yksinkertaistamalla syntymään ongelmia. Välineen käyttöarvon ratkaisee viimekädessä sillä saadut KÄYTÄNNÖN tulokset!
Kiintoisa keskustelu josta tosin tipuin kärryiltä jo kättelyssä. Mutta tulihan siinä selväksi että matikkamaasta löytyy paradokseja jne. Muuten olen ei-matemaatikkona saanut sellaisen käsityksen että matematiikassa on teoriallakin sijansa, eikä vain käytännölliseen hyötyyn tähtäävällä laskemisella. Ja "hyödytön" teoria saattaa avata yllättäviä sovellusmahdollisuuksia?
Käsittääkseni matematiikka tarjoaa myös puhtaan kontemplaation ja oivaltamisen iloa joillekin ihmisille.
Jos hyödyllä tarkoitetaan loputonta aineellisen tuotannon ja voiton maksimointia, niin siinä vasta onkin varsinainen globaali dead end havaittavisssa jo näköetäisyydellä.
ongelman jota ei voi ratkoa voi aina keksiä, mutta en vieläkään ole sitä mietlä, että matematiikan perusteissa olisi jotakin mätää. Hommahan perutuu aina määritelmiin ja oletuksiin joista johdetaan tuloksia. Matematiikka on vain mallimaailma ei siis todellinen maailma. Todellisen maailman tutkimusta kutsutaan fysiikaksi ja se onkin ihan eri juuttu. Osa noista mallimaailman jutista toki soveltuu todellisen maailman kuvauksen kieleksi.
Omalta osaltani annan loppupuheenvuoron matemaatikolle:
"Gödelin epätäydellisyyslauseet kannattaisi mainita jo matematiikan kouluopetuksessa. Muidenkin ihmisten kuin matemaatikoiden olisi hyvä tietää, ettei tieteiden kuningattarella ole tarjottavanaan absoluuttista ja universaalia vastausta kaikkiin kysymyksiin. Jos matematiikan perusteet jonain päivänä sotkeutuvat vielä nykyistä pahemmin, matemaatikot joutuvat myöntämään, ettei heidän tieteensä olekaan todellisuuden perustiede.
Kurt Gödelin epätäydellisyyslauseet ovat opettavainen vertaus. Jos ne kuuluisivat kaikkien ihmisten yleissivistykseen siinä missä alkeisaritmetiikka, maailmassa kenties olisi vähemmän kaikenlaista dogmaattisuutta ja fanatismia. Moni uskoo tietävänsä koko totuuden yhtä varmasti kuin kaksi ynnä kaksi on neljä. Gödelin jälkeen matemaatikot eivät enää kuulu tähän joukkoon.
Gödelin epätäydellisyyslauseiden tarkempi pohtiminen voi viedä järjen sellaiselta ihmiseltä, jonka koko ajatusmaailma on lukkiutunut johonkin suljettuun systeemiin. Mielestäni järjen menetys ei kuitenkaan ole pahin vaihtoehto ihmiselle, joka kykenee ajattelemaan elämästä ja maailmasta vain yhdellä ainoalla tavalla. G. K. Chestertonin tunnetun mietelauseen mukaan ihminen ei tule hulluksi menettämällä järkensä, vaan menettämällä kaiken muun paitsi järjen."
(Osmo Pekonen: Logiikan tappava kauneus. Helsingin Sanomien kuukausliitteessä 4.3.1995, julkaistu myös teoksessa Minä ja Dolly s. 153. Sitaatti on päätös kirjoitukseen, joka on kokonaisuudessaan lukemisen arvoinen.)
(joka binääri Pekosenakin tunnetaan) ihan elävässä elämässä tavanneena en aio lukea hänen kirjaansa. Sillä hänellä todellisella maailmalla on yhtäpaljon tekemistä keskenään kuin Joulpukilla ja kvanttimekaniikalla.
ihmiset ovat. Sanoin vain tuossa oman mielipiteeni. Olisi tylsää jos kaikki olisivat kaikesta samaa mieltä. (Enkä tietty allekirjoita OP:n jokaista näkemystä.) Lienee täysin mahdollista elää kehdosta hautaan alkeisaritmetiikan, matemaattisen formalismin, sosiaalisen konformismin ja Newtonin fysiikan varassa. Silti ihmisen ajatusmaailman rajaaminen niihin olisi epäinhimillistä ja epätieteellistä. Mutta tältä erää poistun Matikkamaasta. Pitää nimittäin hoitaa arkiasioita sillä alkeisaritmetiikalla. :)