Tehtävä on seuraava:
Prove that in a normed space the closure of a convex set is convex.
Muu on selvää, paitsi se tärkein, eli kuinka yleisen normiavaruuden konveksisuus on määritelty (täsmällisesti). Osaisiko joku auttaa?
Prove that in a normed space the closure of a convex set is convex.
Muu on selvää, paitsi se tärkein, eli kuinka yleisen normiavaruuden konveksisuus on määritelty (täsmällisesti). Osaisiko joku auttaa?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Friedman määrittelee kirjassaan Foundations of Modern Analysis jotakuinkin seuraavasti:
Vektoriavaruus K on konveksi, jos jokaiselle x ja y \in K pätee tx (1-t)y \in K, kun 0 < t < 1. Ts. konveksissa joukossa jokaisen pisteparin yhdysjanan jokainen pistee kuuluu joukkoon.
Normiavaruudet ovat vektoriavaruuksia, joten tämä on varmaankin se hakemasi määritelmä.
Ajatusvihre. Sen sijaan, että kirjoitin "Vektoriavaruus K on konveksi, jos jokaiselle x ja y \in K pätee tx (1-t)y \in K, kun 0 < t < 1.", olisi tietenkin pitänyt kirjoittaa "Vektoriavaruuden _osajoukko_ K on konveksi, jos ...".
Tottahan toki jokainen vektoriavaruus itse on konveksi.
Mietin vain sitä, että jos käsitellään vain yleistä normiavaruutta, jossa (osa)joukon alkiot kuuluvat johonkin mielivaltaiseen kuntaan (ei välttämättä reaali- tai kompleksiluvut), niin voidaanko määritelmä esittää antamassasi muodossa?
Tietämätön: "-- jos käsitellään vain yleistä normiavaruutta, -- niin voidaanko määritelmä esittää antamassasi muodossa?"
En tiedä. Tuntuisi kuitenkin aika omituiselta, jos konveksisuuden käsitettä ei olisi yleistetty yleisempiin vektoriavaruuksiin. Ainakin, jos kerroinkunnassa on jonkinlainen järkevä järjestys (jotta määritelmän kohta "0 < t < 1" ei olisi mieletön), tuntuisi sama määritelmä toimivan. Vähintäänkin, jos konveksisuudella olisi yleisessä tapauksessa jotain käyttöä, sellaisen luulisi olevan määritelty.
Pikagooglaus ei avartanut asiaa yhtään; kaikkialla puhutaan vain joko reaalisista tai kompleksisista vektoriavaruuksista.
Kiitoksia vaivannäöstä. Aloin pohtimaan, että onko mitään järkeä (tai mahdollista) määritellä konveksisuutta yleisessä normiavaruudessa.. Tehtävässä ollut sanamuoto on vain hämäävä: "..in a normed space..".