Mietin vaan että kuinka tällasta pitäis päässä ajatella. tiedän ratkasun mutten saanut sitä helpolla. eli:
lim [x->1] (x^2-1)/(x^3-1)=...
kuinka siis tuolaista kannattaisi lähestyä?
[x^2 tarkoitan (x toiseen)]
lim [x->1] (x^2-1)/(x^3-1)=...
kuinka siis tuolaista kannattaisi lähestyä?
[x^2 tarkoitan (x toiseen)]
Vastaukset 7
Vanhimmat
Esimerkiksi L'Hospitalin säännöllä:
lim[x -> 1] (x^2 - 1)/(x^3 - 1)
= lim[x -> 1] 2x / 3x^2
= 2 / 3
Miä lähtisin vääntää sit jotenki näin
lim [x->1] (x^2-1)/(x^3-1)
=lim [x->1] ((x-1)*(x 1))/((x-1)*(x^2 x 1))
=lim [x->1] (x 1)/(x^2 x 1)
=2/3
Koska alkuperäinen kysyjä kysyi miten pitäisi ajatella, lisätään se tieto.
Nyt .... tutki, onko x-1 tekijänä osoittajassa ja nimittäjässä, koska ne ovat polynomeja, ja saavat arvot nolla kun x=1. Hän otti tämän tekijän kummastakin erilleen ja supisti ne pois. Näin kannattaa yleensä tehdä kun on murtolauseke, jonka osoittaja *ja* nimittäjä menevät nollaksi raja-arvoa tutkittavassa kohdassa.
Siis ajatusmalli on seuraava:
osoittaja nollaksi
nimittäjä nollaksi
ovat polynomeja
=> onko yhteinen tekijä supistettavissa pois
Polynomien tekijöihinjakoa kannattaa siis osata. Pienillä polynomeilla kaavat on helppo muista yleisesti ja niistä voi aina varmistua pikaisella kertolaskulla.
Kiitos. Selkeytti. Viel et mulle tuotti eniten vaikeuksia ton alemman polynomin jakaminen tekiöihin.
eli näkeekö sen tai pitäiskö se nähdä suoraan että:
x^3-1 = (x-1)*(x^2 x 1) ?
Jos polynomilla joka on muotoa
x^n ... cx^2 bx a, missä kertoimet a,b,c,..
ovat kokonaislukuja niin mahdolliset kokonaislukujuuret ovat luvun a tekijöitä.
eli tässä tapauksessa x^3-1, jos kokonaislukujuuria niin ne ovat -1 tekijöitä eli -1 tai 1. Siis polynomi voi olla jaollinen
x 1 tai x-1. Kokeillaan ja kappas toimi!
Ja on olemassa myös yleinen sääntö
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1 * b a^n-2 *b^2 ... a*b^n-1)
UUps
Siis piti olla
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1 a^n-2 * b
a^n-3 * b^2 ... a * b^n-2 b^n-1)
L'Hospitalen sääntöhän tuossa toimii. Ennen kuin lähtee kyseistä sääntöä (tässä tapauksessa L'Hospitale I) alkaa soveltamaan, niin kannattaa tarkastaa oletukset jotka vaaditaan ko. säännön soveltamiseen. Lisäksi ensimmäinen asia joka kannattaa ottaa huomioon että L'Hospitale toimii 0/0, inf/inf, jne. - tyyppisiin raja-arvoihin
Eli: Olkoot f,g: B(x0, r) -> R funktioita s.e
1) f(x0) = g(x0) = 0
2) Derivaatat f'(x0) ja g'(x0) ovat olemassa.
3) g'(x0) erisuuri kuin nolla.
Tällöin lim x -> x0 f(x0) / g(x0) = f'(x0) / g'(x0).
Eli tässä tapauksessa:
f(x) = x^2 - 1
g(x) = x^3 - 1 ja x0 = 1.
Oletuksista: f(1) = 1 - 1 = 0 ja g(1) = 1 - 1 = 0. Eli oletus 1 on O.K
Sekä nimittäjä että osoittaja ovat polynomeina molemmat jatkuvia ja derivoituvia. Siis derivaatat ovat olemassa. Eli oletus 2 O.K.
Ja kolmas oletus: g'(1) = 3*1^2 = 3.
Derivointi: f'(x) = D (x^2 - 1) = 2x - 0 = 2x
g'(x) = D ( x^3 - 1 ) = 3x^2 - 0 = 3x^2.
Nyt L'Hospitalen I sääntöä voidaan käyttää:
lim x -> 1 (x^2 - 1)/(x^3 - 1) = lim x -> 1 2x / 3x^2 = 2 * 1 / 3 * 1^2 = 2 / 3 = 0,667.