Merkitään
A={f | f:N->N f bijektio}
Toisin sanoen A on permuutatiofunktioiden joukko
luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille
A on ylinumeroituva ja yhtä mahtava kuin avoin reaalilukuväli I=(0,1) toisin sanoen on olemassa
bijektio g:I->A
Jos nyt x noudattaa tasajakumaa x~Uniform(0,1)
Näin ollen (koska bijektio) myös f=g(x) noudattaa
tasajakaumaa.
Nyt P(f(0)=X) on yhtäsuuri kaikille luonnollisille luvuille X.
Eli meillä on numeroituvasti ääretön jakauma
jonka todennäköisyydet ovat yhtäsuuret.
Tätä ei varmaankaan käytännössä pystytä konstruoimaan mutta onko päätelmäni oikea, eli teoriassa tällainen todennäköisyysjakauma on olemassa???
A={f | f:N->N f bijektio}
Toisin sanoen A on permuutatiofunktioiden joukko
luonnollisilta luvuilta luonnollisille luvuille
A on ylinumeroituva ja yhtä mahtava kuin avoin reaalilukuväli I=(0,1) toisin sanoen on olemassa
bijektio g:I->A
Jos nyt x noudattaa tasajakumaa x~Uniform(0,1)
Näin ollen (koska bijektio) myös f=g(x) noudattaa
tasajakaumaa.
Nyt P(f(0)=X) on yhtäsuuri kaikille luonnollisille luvuille X.
Eli meillä on numeroituvasti ääretön jakauma
jonka todennäköisyydet ovat yhtäsuuret.
Tätä ei varmaankaan käytännössä pystytä konstruoimaan mutta onko päätelmäni oikea, eli teoriassa tällainen todennäköisyysjakauma on olemassa???
Vastaukset 4
Vanhimmat
"-- myös f=g(x) noudattaa tasajakaumaa."
Ilmeisesti tarkoitat tässä, että g:n arvot ovat tasajakautuneet eli g(I) = A on tasajakautunut.
"Nyt P(f(0)=X) on yhtäsuuri kaikille luonnollisille luvuille X."
Tämä ei seuraa edellisestä. Tiedetään vasta, että P(g(x) = f) on funktiosta f riippumaton vakio. Eli tasajakautunut on edelleenkin vain se ylinumeroituva joukko A, ei N.
> Jos nyt x noudattaa tasajakumaa x~Uniform(0,1)
> Näin ollen (koska bijektio) myös f=g(x)
> noudattaa tasajakaumaa.
Kannattaa muistaa, että oikeasti tasajakauma ei
tarkoita jakaumaa, jossa jokaisella välin (0,1)
*pisteellä* on sama todennäköisyys. Se tarkoittaa
jakaumaa, jossa (Lebesgue-) integraalimitaltaan
samankokoisilla (0,1):n *osajoukoilla* on sama
todennäköisyysmitta. Todennäköisyydet määritellään
ylinumeroituvassa tapauksessa osajoukoille eikä
pisteille.
Jotta f=g(x) olisi myös tasajakauma, pitäisi olla
niin, että kaksi x:ien integraalimitaltaan
samansuuruista joukkoa kuvautuu kahdeksi
integraalimitaltaan samankokoiseksi osajoukoksi.
Eipä taida onnistua.
> Nyt P(f(0)=X) on yhtäsuuri kaikille
> luonnollisille luvuille X.
Etkö olisi voinut heti aluksi määritellä
g:n funktioksi I:ltä N:lle ja se olisi sama
asia kuin tämä? Siinäkin on sama ongelma, että
vaikka kuvaus on olemassa, sitä ei voi valita
sillä tavalla että samankokoiset osajoukot
kuvautuvat samankokoisiksi osajoukoiksi.
> Eli meillä on numeroituvasti ääretön jakauma
> jonka todennäköisyydet ovat yhtäsuuret.
> Tätä ei varmaankaan käytännössä pystytä
> konstruoimaan mutta onko päätelmäni oikea, eli
> teoriassa tällainen todennäköisyysjakauma on
> olemassa???
Sori vaan, ei ole.
"Se tarkoittaa
jakaumaa, jossa (Lebesgue-) integraalimitaltaan "
Miksi Lebesgue-mitallinen? Eikö mikä tahansa mitta kävisi, kunhan se on monotoninen?
Siis jos T on joukon X sigma-algebra, niin funktio f:T -> [0,infty[ on mitta X:ssä jos
i) f(emptyset) = 0
ii) Kaikilla A_i in T, i in N, A_i:t erillisiä -> f( U_{i in N} A_i) = U_{i in N} f(A_i)
Nyt f on suoraan myös monotoninen ja siitä saadaan todennäköisyysmitta jos f(X) = 1.
Missä tarvitaan nimenomaan Lebesguen mittaa? En ymmärrä.
suuri guru samuli selittää miksi
olen pahoillani. anteeksi.