moro
Rupesin tuossa miettimään ongelmaa, johon en keksinyt ratkaisua..
Elikkä jos otetaan joku epälineaarinen funktio, jonka kuvaajaa pitkin laitetaan piste etenemään vakonopeudella, niin onko olemassa menetelmää jolla tuon pisteen paikka voidaan laskea ajan hetkellä t.
Sovellus: jos piste liikkuu funktion f(x)=x^2 kuvaajan muotoista rataa pitkin tasaisella nopeudella 0,5 m/s, mikä on sen paikka ajanhetkellä t=4 s. Oletetaan, että x:n yksikkö on 1 m. Lisäksi ajanhetkellä 0 piste on origossa.
Itsellä tyssäsi ajatus siihen, että sain määritettyä mallin nopeusvektorin x:n suuntaiselle komponentille. Onko näin, että tässäkin tapauksessa x-akselin suuntainen paikan yhtälö saadaan integroimalla x-akselin suuntaista nopeuden yhtälöä?
Rupesin tuossa miettimään ongelmaa, johon en keksinyt ratkaisua..
Elikkä jos otetaan joku epälineaarinen funktio, jonka kuvaajaa pitkin laitetaan piste etenemään vakonopeudella, niin onko olemassa menetelmää jolla tuon pisteen paikka voidaan laskea ajan hetkellä t.
Sovellus: jos piste liikkuu funktion f(x)=x^2 kuvaajan muotoista rataa pitkin tasaisella nopeudella 0,5 m/s, mikä on sen paikka ajanhetkellä t=4 s. Oletetaan, että x:n yksikkö on 1 m. Lisäksi ajanhetkellä 0 piste on origossa.
Itsellä tyssäsi ajatus siihen, että sain määritettyä mallin nopeusvektorin x:n suuntaiselle komponentille. Onko näin, että tässäkin tapauksessa x-akselin suuntainen paikan yhtälö saadaan integroimalla x-akselin suuntaista nopeuden yhtälöä?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Jotain tällaista voisi yrittää:
Vakionopeus ja käyrälläpysymisehdot voi kirjoittaa muotoon
(dx/dt)^2 (dy/dt)^2 = 0.5^2
y = x^2
Derivoidaan jälkimmäinen t:n suhteen:
dy/dt = 2 dx/dt x
Sijoitetaan ensimmäiseen saadaan lopulta yhtälö
dx/dt = 0.5 / sqrt(4 x^2 1)
Siispä integroimalla yllä olevaa differentiaaliyhtälöä numeerisesti lähtien alkuehdosta x(0)=0 saat sen paikan ajan funktiona. Suljetun muodon ratkaisua ei taida olla olemassa. Ja joka hetkellä on tietysti voimassa y = x^2.
Moi
Juuri tuollaiseen lausekkeeseen päädyin itsekin laskiessani nopeusvektorille x-akselin suuntaisen komponentin.. Pitänee kokeilla numeerista integrointia.
Mietiskelin myös seuraavaa: Jos pisteellä on vakionopeus, niin kuljettu matkahan saadaan kaavasta v=s/t => s=vt. Näin olisi tiedossa "kuinka pitkä pätkä käyrää" on kuljettu ajan hetkellä t. Nyt voitaisiin soveltaa määrättyä integraalia, jolla lasketaan käyrän kaaren pituus s=int (sqrt(1 f´(x)^2))dx. Näinollen voidaan ratkaista integroimisväli, jonka loppupään arvohan olisi x:n arvo ajanhetkellä t. Eikö?
parabelin kaarenpituus ratkeaa suljetussa muodossa, mutta voihan sen numeerisestikin laskea. Suunnilleen noin.
Yhtälö sille paikalle on siis yleistä muotoa
dx/dt = v / sqrt(1 f'(x)^2)
jos ratkaistaan separoimalla, saadaan
int sqrt(1 f'(x)^2) dx = int v dt
Eli juuri tuo käyrän pituuden yhtälö. Nyt itse
asiassa, jos f'(x) = 2x, niin vasemman
puolen integraali voidaan laskea. Mutta ongelma
tulee siitä, että sitä seuraavan yhtälön eli sen
x:n ratkaisu t:n funktiona ei onnistu:
1/2 x sqrt(4x^2 1) 1/4 asinh(2x) = vt
Ratkaisepa x.